定理6.11（极值的第二充分条件)设f(x)在点x的某邻域U(x;)内可导，f"(x）存在.若f'(x)=0, f"(x)+0,那么x=x.是f(x)的一个极值点，并且(i)f"(x)>0,则 f(x)在x=x。处取极小值(ii)f"(x)<0,则 f(x)在x=x。处取极大值证同样我们仅证(i).因为f'(x)- f'(x)f'(x))-limf"(xo)= lim70,x-xox-xox→xo X-Xo后页返回前页
前页 后页 返回 定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0 0 0 的某邻域 内可导， 存在.若 U x f x ( ; ) ( ) 0 那么 是 的一个极值点 并且 x x f x = ( ) , 0 0 (i) ( ) , ( ) . f x f x x x = 0 则 在 处取极小值 0 0 (ii) ( ) , ( ) . f x f x x x = 0 则 在 处取极大值 证 同样我们仅证(i). 因为 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim , x x x x f x f x f x f x → → x x x x − = = − − 0 f x ( ) , = 0 0 f x ( ) , 0
所以由保号性，存在s>0,当xeU（x;8)时，f'(x) >0.x-xo从而当 xe(x-S,x)时,f'(x.)<0;当xe(xo,X, +)时,f'(x)>0.由极值判别的第一充分条件得知：x.是极小值点后页返回前页
前页 后页 返回 所以由保号性， 0 存在 当 时, 0, ( ; ) x U x 0 0 ( ) . f x x x − 0 0 从而当 时 x x x − ( , ) , 由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 . ( , ) , 当 x x0 x0 + 时 f x ( ) . 0 0 f x ( ) ; 0
注建议读者与教材上的证明方法相比较，这里的证明方法更具一般性例1求函数f(x)=3arctanx-lnx的极值点。解由31 -(x2 -3x +1)-0.f'(x)C1+xx(1+ x)r求得稳定点3-V53+V5Xi=,X2 =22后页返回前页
前页 后页 返回 注 建议读者与教材上的证明方法相比较, 这里的 例1 求函数 f (x) = 3arctan x − ln x的极值点. 解 由 0, (1 ) 1 ( 3 1) 1 3 ( ) 2 2 2 = + − − + − = + = x x x x x x f x 求得稳定点 . 2 3 5 , 2 3 5 1 2 + = − x = x 证明方法更具一般性
3-V5当0<x时,f'(x)<0;2533+当时，f'(x)>0 ;X2253+7当x时, f'(x)<0. y2y = 3arctanx-Inx所以 x 是 f(x)的极小值21点,x,是f(x)的极大值点oxix 4 x（参见右图）后页返回前页
前页 后页 返回 3 5 0 2 x − 当 时， f x ( ) ; 0 , 2 3 5 2 3 5 当 时 + − x f x ( ) ; 0 , 2 3 5 当 时 + x f x ( ) . 0 所以 1 x f x 是 的极小值 ( ) 2 点, 是 的极大值点 x f x( ) . (参见右图) x1 x2 y x x = − 3arctan lnx y O 4 2 4
例2 求函数 f(x)=(x-a)x3 的极值点与极值 .解 f(x)= x3-x 在(-00,+o0) 上连续 当x+0时，1(x)-ri-rl23/x(5x-2a)当a±0时，稳定点为x=2,不可导点为x=0；S当a=0时，稳定点为x=0，没有不可导点后页返回前页
前页 后页 返回 例2 ( ) ( ) . 3 2 求函数 f x = x − a x 的极值点与极值 解 5 2 3 3 f x x ax ( ) ( , ) . = − − + 在 上连续 当 x 0时, 2 1 5 3 2 3 ( ) 3 3 a f x x x− = −(5 2 ). 3 1 3 x a x = − 2 0 5 0 , , ; a 当 时 稳定点为 不可导点为 a x x = = 当 a = 0时， 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点