习题10.3幂级数 1.求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 (2)21+1+…+-x-1)”; In(n n+ n=2 n (8) (n)2 (2n)! ∑ (2n)! (2n+1) 解(1)设∑3+2)x”=∑anx”,m=3,所以收敛半径为R=1。 当x=时,∑anx=∑1+(-2y门,级数发散。 当x=-时,∑anx"=∑-(-12+(2)],级数收敛。 n=l n 所以收敛区域为D 33 (2)设∑(+2+…+x-y=a1(-1),mp=1,所以收敛半 径为R=1 当x=2时,(y(++,级数发散 当x=0时,∑a(x-1y=∑(-1+1+…+1),通项不趋于零,级 数也发散。 所以收敛区域为D=(0.2)
习 题 10. 3 幂级数 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 ⑴ ∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ; ⑵ n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ; ⑶ ∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ； ⑸ n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ; ⑹ 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ; ⑺ n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ； ⑻ n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ; ⑼ n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! 。 解（1）设∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ∑ ∞ = = n 1 n n a x ，lim = 3 →∞ n n n a ，所以收敛半径为 3 1 R = 。 当 3 1 x = 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = + − 1 ) ] 3 2 [1 ( 1 n n n ，级数发散。 当 3 1 x = − 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = − + 1 ) ] 3 2 [( 1) ( 1 n n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − 3 1 , 3 1 D 。 （2）设 n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1。 当 x = 2时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + 1 1 2 1 1 n n " ，级数发散。 当 x = 0时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + + + 1 1 2 1 ( 1) 1 n n n " ，通项不趋于零，级 数也发散。 所以收敛区域为D = (0,2)。 52
(3)设∑-1)=∑anx”,imyn=im =,所以收敛 半径为R=√2。 当x=±√时,∑anx ,级数收敛 所以收敛区域为D=√2。 (4)设∑(-Dy0+(x+1y=∑a2(x+1,m=1,所以收敛半 径为R=1。 当x=0时,∑n(x+1y”=2(-1ym+是 Leibniz级数,所以收敛 当x=-2时,∑an(x+1y=∑如m+,级数发散 所以收敛区域为D=(-20] 5)设(2) =∑an(x-1)”,1imam+=lm/-31 nl.2" n+1)2 所以收敛半径为R=+∞,收敛区域为D=(-∞,+∞)。 (6)设 =∑anx",lim n-70vlQn lim m/In2 n 所以收敛半径为 R=1。 当x=±1时,显然∑anx”收敛,所以收敛区域为D=[1 (7)设∑n”=∑anx",mn=lm(+1.m|=1,所以收敛半 n=l n (n+1)n 径为R=e 当x=±e时,∑anx"=∑"(±e)",应用 Stirling公式 (n→>∞)
（3）设∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = →∞ n n n lim a 2 1 2 ( 1) lim 2 = ⋅ − →∞ n n n n n ，所以收敛 半径为R = 2 。 当 x = ± 2 时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = − = 1 ( 1) n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为D = [− 2, 2]。 （4）设∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ∑ ∞ = = + 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1 。 当 x = 0时，∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n a x ∑ ∞ = + + = − 1 1 ln( 1) ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = −2时， ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n a x ∑ ∞ = + + = 1 1 ln( 1) n n n ，级数发散。 所以收敛区域为D = (− 2,0]。 （5）设 n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 0 3 !2 ( 1)!2 3 lim 1 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ + ⋅ + + →∞ n n n n n n n ， 所以收敛半径为R = +∞ , 收敛区域为D = (− ∞,+∞)。 （6）设 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = →∞ n n n lim a 1 ln lim 2 2 = →∞ n n n n n ，所以收敛半径为 R = 1。 当 x = ±1时，显然 ∑ 收敛，所以收敛区域为 ∞ n=1 n n a x D = [−1,1]。 （7）设 n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim n e n n n n n n 1 ( 1) ! ( 1)! lim 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + + →∞ ，所以收敛半 径为R = e。 当 x = ± e时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = = ± 1 ( ) ! n n n e n n ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 53
可知级数的通项"(±e)不趋于零,因而发散。 所以收敛区域为D=(-e,e) (8)设m)子 y)x=∑anx",m=lm/【(n+l)2(2n) 所以收 n=1 n-an|→2(n+l)!(m) 敛半径为R=4。 当x=±4时,∑anx"=∑(±4)”,应用Sing公式 1(2n)! n~√2丌n"e-"(n→∞), 可知级数的通项(±4)不趋于零,因而发散 所以收敛区域为D=(-44) (9)设(2n) x"=>ax n+1 lin/(2n+2)!(2n+ 所 (2n+3)!(2n)! 以收敛半径为R=1。 当x=-1时,∑anx"=∑(-12川是 Leibniz级数,所以收敛 当x=1时,∑ax=(2),令bn=2 limn(,"-1) (2n+1)!! 由Rabe判别法可知级数发散。 所以收敛区域为D=[-1 2.设a>b>0,求下列幂级数的收敛域 a"+b (3)ax+bx2+a2x3+b2x4+…+a"x2n-1+b"x2n+…。 解(1)lim a,所以收敛半径为 yoo nn a 当x2时5((,y),级数收敛
可知级数的通项 n n e n n ( ) ! ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − e,e 。 （8）设 n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 4 1 ( !) (2 )! [2( 1)]! [( 1)!] lim 2 2 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + →∞ n n n n n ，所以收 敛半径为R = 4 。 当 x = ± 4时， ∑ ∞ n=1 n n a x n n n n ( 4) (2 )! ( !) 1 2 = ∑ ± ∞ = ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 可知级数的通项 n n n ( 4) (2 )! ( !) 2 ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − 4,4 。 （9）设 n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 1 (2 )!! (2 1)!! (2 3)!! (2 2)!! lim =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + + →∞ n n n n n ，所 以收敛半径为R = 1。 当 x = −1时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = − 1 (2 1)!! (2 )!! ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = 1时，∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = 1 (2 1)!! (2 )!! n n n ，令 (2 1)!! (2 )!! + = n n bn ， − = + →∞ lim ( 1) n 1 n n b b n 2 1 ， 由 Raabe 判别法可知级数发散。 所以收敛区域为D = [−1,1)。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。 ⑴ n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ; ⑵ ∑ ∞ n=1 +n n n a b x ; ⑶ a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 + … + an x 2n - 1 + bn x 2n +…。 解（1） a n b n a n n n n = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ 2 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = − 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = 1 2 ( 1) ( 1) n n n n n n a b n ，级数收敛。 54
,级数发散 n n-a 所以收敛区域为D= aa (2)lim 所以收敛半径为R 月→0 x=±a ∑_x的通项不趋于零,级数发散,所以收敛区 +b 域为D=(-a,a) (3)设ax+bx2+a2x3+b2x4+…+a"x2n1+b"x2"+…=∑cnx",则 ma/Ic, lim nva" 所以收敛半径为R 当x=±产,Σcnx"的通项不趋于零,级数发散,所以收敛区域 为D= 3.设∑ax”与∑bx”的收敛半径分别为R1和R2,讨论下列幂级数的 收敛半径 anx (2)∑(an+bn)x” ab x 解(1)设∑anx2的收敛半径为R。 当<√R时,∑ax2收敛,当>√R时,∑anx发散,所以 R=√R1 (2)设∑(an+bn)x”的收敛半径为R
当 a x 1 = 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 1 2 1 n n n n a b n ，级数发散。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − a a D 1 , 1 。 （2） a b a n n n n 1 1 lim = →∞ + ，所以收敛半径为R = a。 当 x = ±a时，∑ ∞ n=1 +n n n a b x 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区 域为D = (−a, a)。 （3）设a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 +…+ an x 2n - 1 + bn x 2n +… ∑ ，则 ∞ = = n 1 n n c x = →∞ n n n lim c a a n n n = − →∞ 2 1 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = ± ， 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域 为 ∑ ∞ n=1 n n c x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a a D 1 , 1 。 3. 设 ∑ 与 的收敛半径分别为R ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x 1和R2, 讨论下列幂级数的 收敛半径： (1) ∑ ; (2) ∑ ; ∞ =0 2 n n n a x ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x (3) ∑ 。 ∞ n=0 n n n a b x 解 （1）设∑ 的收敛半径为 ∞ =0 2 n n n a x R 。 当 R1 x < 时，∑ 收敛，当 ∞ =0 2 n n n a x R1 x > 时，∑ 发散，所以 ∞ =0 2 n n n a x R = R1 。 （2）设∑ 的收敛半径为 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x R 。 55
当x<min(R,R2)时,∑(an+bn)x"收敛。 当>min(R,R2),R≠R2时,∑(an+bn)x"发散 但当R=R2时,∑(an+b)x"的收敛半径有可能增加,例如 ∑ax=∑x",收敛半径为1,∑bx=2(-1p2收敛半径也为 n=0 n=0(2n 但∑(an+bn)x"的收敛半径为2。 所以R≥min(R,R2)。 (3)设∑abx”的收敛半径为R。 由 lim/a, b s lim llan lim /bn,可知R≥RR2 上式等号可能不成立,例如 收敛半径为 ∑anx"=∑x2,收敛半径也为1,但∑abnx”的收敛半径为R=+ 4.应用逐项求导或逐项求积分等性质,求下列幂级数的和函数,并 指出它们的定义域 =62n+1 n(n+1) (5)∑m(m+1) (6)1+ (2n)! ∑ 解(1)级数∑nx"的收敛半径为R=1,当x=±1时,级数发散,所以 定义域为D=(-1) 设S(x)=∑m”,f()=5(=∑nx,利用逐项求积分,得到
当 x < ( ) 1 2 min R , R 时，∑ 收敛。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 当 x > ( ) 1 2 min R , R ，R1 ≠ R2 时，∑ 发散。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 但当 时， 的收敛半径有可能增加，例如 ，收敛半径为1， R1 = R2 ∑ ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = n 0 n x ∑ ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 2 1 n n n x 收敛半径也为1， 但∑ 的收敛半径为 。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 2 所以R ≥ min( ) R1,R2 。 （3）设∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R 。 由 ≤ →∞ n n n n lim a b n n n a →∞ lim n n n b →∞ ⋅ lim ，可知R ≥ R1R2 。 上式等号可能不成立，例如 ∑ ，收敛半径为1， ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = 0 2 n n x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + = 0 2 1 n n x ，收敛半径也为1，但∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R = +∞ 。 4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并 指出它们的定义域。 ⑴ ∑ ∞ n=1 n nx ； ⑵ ∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x ； ⑶ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x ； ⑷ ∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x ； ⑸ ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n n x ； ⑹ ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x ； ⑺ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 。 解 （1）级数∑ 的收敛半径为 ∞ n=1 n nx R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所以 定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = = 1 ( ) n n S x nx ∑ ∞ = − = = 1 1 ( ) ( ) n n nx x S x f x ，利用逐项求积分，得到 56