习题13.2重积分的性质与计算 1.证明重积分的性质8。 证不妨设g(x)≥0,M、m分别是f(x)在区域Ω上的上确界、下确界, 由mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)、性质1和性质3,可得 mg(x)d≤f(x)g(x)d≤M|g(x)dl 当∫g(xd=0,积分中值定理显然成立。当s(xM≠0,则 f(x)g(x) g(x)dr 所以存在∈[m,M],使得 f(xg(x)dk x)di 即 ∫(x)g(x)=」g(xd 如果∫在有界闭区域Ω上连续,由介值定理,存在ξ∈Ω,使得 f()=4,所以 (x)(x)=/(5)s(x) 2.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小 (1)(x+y)do与∫(x+y)h,其中D为x轴,y轴与直线 +y=1所围的区域 (2)x+y)dd与∫mx+y)dd,其中D为闭矩形35×10 解(1)因为在D上成立0<x+y<1,所以(x+y)2>(x+y)3,于是 ‖(x+y)dd>‖(x+y)2dd (2)因为在D上成立x+y≥3,所以ln(x+y)<[n(x+y)2,于是 ∫j(x+y)tod<∫mx+y)】abh 3.用重积分的性质估计下列重积分的值: (1)x(x+yddy,其中D为闭矩形o× 100+cos- x+coS- y ,其中D为区域{(x,y)|xH+y≤10};
习 题 13.2 重积分的性质与计算 1．证明重积分的性质 8。 证 不妨设 g(x) ≥ 0，M 、m分别是 f (x)在区域Ω上的上确界、下确界， 由 mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x)、性质 1 和性质 3，可得 ∫ ∫ ∫ ， Ω Ω Ω m g(x)dV ≤ f (x)g(x)dV ≤ M g(x)dV 当 ( ) = 0，积分中值定理显然成立。当 ，则 ∫ Ω g x dV ( ) ≠ 0 ∫ Ω g x dV M g x dV f x g x dV m ≤ ≤ ∫ ∫ Ω Ω ( ) ( ) ( ) ， 所以存在µ ∈[m, M ]，使得 = µ ∫ ∫ Ω Ω g x dV f x g x dV ( ) ( ) ( ) ， 即 ∫ ∫ Ω Ω f (x)g(x)dV = µ g(x)dV 。 如果 f 在有界闭区域Ω 上连续，由介值定理，存在ξ ∈ Ω ，使得 f (ξ ) = µ ，所以 ∫ ∫ 。 Ω Ω f (x)g(x)dV = f (ξ ) g(x)dV 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) ∫∫ + 与 ，其中 为 D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ + D x y dxdy 3 ( ) D x 轴， y 轴与直线 x + y = 1所围的区域； (2) ∫∫ + 与 D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ + D x y dxdy 2 ln( ) ，其中D为闭矩形[ , 3 5] ×[0 1, ]。 解（1）因为在D上成立 0 < x + y < 1，所以 ，于是 2 3 (x + y) > (x + y) ∫∫ + D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ > + D x y dxdy 3 ( ) 。 （2）因为在D上成立 x y + ≥ 3，所以 ，于是 2 ln(x + y) < [ln(x + y)] ∫∫ + D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ < + D x y dxdy 2 ln( ) 。 3．用重积分的性质估计下列重积分的值： (1) ∫∫ + ，其中 为闭矩形[ , D xy(x y)dxdy D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ + + D x y dxdy 2 2 100 cos cos ，其中D为区域{(x y, )| | x|+| y|≤ 10}； 1
dxdxdz (3)+x2+y2+:,其中9为单位球{(xy)x2+y2+2≤1 解(1)因为在D上成立0≤x(x+y)≤2,所以 0≤ y(x+y)ddy≤2 (2)因为在D上成立1≤ 102-100+c052x+c0s2y0,所以 < 2 51D100+cos x+cos y (3)因为在g上成立≤ ≤1,所以 21+x2+y2+ dxdxdz 丌≤ 4.计算下列重积分: (1)/x3+3xy+y)ddy,其中D为闭矩形×0]; (2) ye dxa,其中D为闭矩形b×le小 dxdydz 其中Ω为长方体[12】×[12]×[12] Q2(x+y+z 解(1)(x2+3x2y+y2)d=4(x3+3x2y+y) (2) xye +y dxdy=w,yh=42-e2)2-) dxd小d (x+y+= (x+y+2)2(x+y+1)2 du In +4x+3x+2 5.在下列积分中改变累次积分的次序: (1)(xy)(a<b) (2)Ja)m-f(x, y)dy (a>O (3)7(x,yb (4)ayL f(x, y)dx+l, dy f(x,y)dx: (5)4”(xyk(改成先y方向,再x方向和:方向的次
(3) dxdxdz 1 x y z 2 2 + + + ∫∫∫ Ω 2 ，其中 Ω 为单位球{(x y, ,z)|x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 。 解（1）因为在D上成立 0 ≤ xy(x + y) ≤ 2，所以 0 ≤ ( + ) ≤ 2 ∫∫ D xy x y dxdy 。 （2）因为在D上成立 100 1 100 cos cos 1 102 1 2 2 ≤ + + ≤ x y ，所以 2 51 100 cos cos 100 2 2 ≤ + + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 （3）因为在 Ω 上成立 1 1 1 2 1 2 2 2 ≤ + + + ≤ x y z ，所以 π π 3 4 3 1 2 2 2 2 ≤ + + + ≤ ∫∫∫ Ω x y z dxdxdz 。 4．计算下列重积分： (1) ∫∫ + + ，其中 为闭矩形[ , D (x 3x y y )dxdy 3 2 3 D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ ，其中 为闭矩形[,] + D xy dxdy x y 2 2 e D a b × [c,d]； (3) dxdydz ( ) x y + + z ∫∫∫ 3 Ω ，其中 Ω 为长方体[ , 1 2] × [1 2, ] × [ , 1 2]。 解（1）∫∫ + + D (x 3x y y )dxdy 3 2 3 ∫ ∫ = + + 1 0 3 2 3 1 0 dy (x 3x y y )dx ) 1 4 1 ( 1 0 3 = + + = ∫ y y dy 。 （2）∫∫ + D xy dxdy x y 2 2 e = = ∫ ∫ d c y b a x xe dx ye dy 2 2 ( )( ) 2 2 2 2 4 1 b a d c e − e e − e 。 （3） dxdydz ( ) x y + + z ∫∫∫ 3 Ω ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + = − + + = 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 ( 1) 1 ( 2) 1 2 1 ( ) dy x y x y dx x y z dz dx dy 125 128 ln 2 1 2 1 3 2 4 1 2 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − + = ∫ dx x x x 。 5．在下列积分中改变累次积分的次序： (1) a dx f x y dy a b ； b a x ∫ ∫ ( , ) ( < ) (2) dx f x y dy a a ax x ax 0 2 2 2 2 0 ∫ ∫ − ( , ) ( > ) ； (3) dx f x y dy ； x 0 2 0 π ∫ ∫ ( , ) sin (4) dy f x y dx dy f x y dx ； y y 0 1 0 2 1 3 0 3 ∫ ∫ + ∫ ∫ − ( , ) ( , ) (5) dx dy f x y z dz（改成先 方向，再 方向和 方向的次 x x y 0 1 0 1 0 ∫∫∫ − + ( , , ) y x z 2
序积分); (6)4小1(xyx(改成先x方向,再y方向和:方 向的次序积分)。 解(1)广(xy=小(xy)。 (2)「amxf(x,y)zh dy +d=1(xy)+d户(xy) (3) 厂7(xy)=4(面xy)一小y(x,yk (4)b(xy)+门”(xy)=/x (5)a可”(x,y So d=lo dxr /(x,y=)dy-5 d=o dx/(x,y,=)dy 注:也可写成4(x,)+t二(x,y。 (6) 6.计算下列重积分: ()jyd,其中D为抛物线y=2mx和直线x=2(p>0所围 的区域 2a-x(a>0),其中D为圆心在(a,a),半径为a并且和坐 标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域; (3)ed,其中D为区域(x,y川+s (4)∫/x2y2)dod,其中D为直线y=x,y=x+ay=a和 y=3a(a>0)所围的区域 dxdy 其中D为摆线的 拱 x=a(t-sin1)y=a(1-cosn)(0≤1≤2x)与x轴所围的区域; 601+x2+1,其中D为直线y=xy=1和x=1所围的 区域; (7)』x2ydhd,其中D={(x,y)|x2+y2≥2x,1≤x≤2,0≤y≤x;
序积分）； (6) dx dy f x y z dz x x − − − x y − + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) （改成先 方向，再 方向和 方 向的次序积分）。 x y z 解（1）∫ ∫ = ∫ ∫ 。 b y b a x a b a dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx （2） 2 2 2 0 2 ( , ) a ax ax x dx f x y dy ∫ ∫ − 2 2 2 0 2 ( , ) a a a y y a dy f x y dx − − = ∫ ∫ ∫ ∫ + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) + ∫ ∫ a a a a y dy f x y dx 2 2 2 2 ( , ) 。 （3） dx f x y dy 。 x 0 2 0 π ∫ ∫ ( , ) sin = ∫ ∫ 1 − 0 arcsin arcsin ( , ) y y dy f x y dx π ∫ ∫ − + − − 0 1 2 arcsin arcsin ( , ) y y dy f x y dx π π （4） + = ∫ ∫ ∫ ∫ y −y dy f x y dx dy f x y dx 3 0 3 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) ∫ ∫ 2 − 0 3 2 1 ( , ) x x dx f x y dy 。 （5） dx dy f x y z dz x x y 0 1 0 1 0 ∫∫∫ − + ( , , ) = ∫ ∫ ∫ 。 1 − 0 1 0 1 0 ( , , ) x dz dx f x y z dy ∫ ∫ ∫ − − 1 0 0 0 ( , , ) z x z dz dx f x y z dy 注：也可写成∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 。 − − − + x z x x z z dz dx f x y z dy dz dx f x y z dy 1 0 1 0 1 0 1 1 0 ( , , ) ( , , ) （6） = ∫ ∫ ∫ + − − − − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) x y x x dx dy f x y z dz ∫ ∫ ∫ − − − − 1 0 2 2 2 2 ( , , ) z z z y z y dz dy f x y z dx 。 6． 计算下列重积分： (1) ∫∫ ，其中 为抛物线 和直线 D xy dxdy 2 D y 2 = 2 px x p = p > 2 ( 0) 所围 的区域； (2) ( 0) 2 > − ∫∫ a a x dxdy D ，其中 为圆心在 ，半径为 并且和坐 标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域； D ( , a a) a (3) ∫∫ ，其中 为区域{( + D dxdy x y e D x y, )| | x|+| y|≤ 1}； (4) ∫∫ + ，其中 D 为直线 D (x y )dxdy 2 2 y x = , y x = + a, y = a 和 y = 3a (a > 0)所围的区域； (5) ∫∫ ，其中 为摆线的一 拱 D ydxdy D x = a(t − sin t),y = a(1− cost) (0 ≤ t ≤ 2π ) 与 x轴所围的区域； (6) ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + D y x dxdy ( x y ) 2 1 2 2 1 e ，其中D为直线 y = x, y = −1和 所围的 区域； x = 1 (7) ∫∫ ，其中 ； D x ydxdy 2 {( , ) | 2 , 1 2, 0 } 2 2 D = x y x + y ≥ x ≤ x ≤ ≤ y ≤ x 3
(8)y2adh,其中9为曲面:=y,平面y=x,x=1和=0 所围的区域 Oxyde 其中9为平面x=0,y=0,z=0和x+y+z=1 (1+x+y+) 所围成的四面体; (10)∫doh,其中g为抛物面=x2+y2与平面 z=h(h>0)所围的区域 11)j2 dxdydz,其中g为球体 和 <2R- (R>0)的公共部分; (12)∫adb,其中!为椭球体++≤ 解(1)y,r,- 1 (2) dxd D 8 3 ∫e"dp=∫ e.e"dy+ dy (4)j(x2+y2)d=Jd!(x2+y2t =0(22-a2y+a3)hy=14a。 5)∫jw ydy (6) 1+xe y2+1 y-y +yle (7)x2yd=x∫ 分地=,x2(x2-x)=49 g:h=a小”在=门xhyb 364
(8) xy 2 3 z dxdydz ，其中 Ω 为曲面 Ω ∫∫∫ z = xy ，平面 y = x, 1 x = 和 所围的区域； z = 0 (9) dxdydz (1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ) ，其中Ω为平面 x = 0 0 , , y = z = 0 2 ) 和 所围成的四面体； x + y + z = 1 (10) ，其中 Ω 为抛物面 与 平 面 所围的区域； zdxdydz Ω ∫∫∫ z x = + y 2 z h = (h > 0 (11) ∫∫∫ ，其中 Ω 为球体 和 Ω z dxdydz 2 2 2 2 2 x + y + z ≤ R x y z 2Rz 2 2 2 + + ≤ (R > 0) 的公共部分； （12）∫∫∫ ，其中 Ω 为椭球体 Ω x dxdydz 2 1 2 2 2 2 2 2 + + ≤ c z b y a x 。 解（1）∫∫ D xy dxdy 2 = = − = ∫ ∫ ∫ − − p p p p y p p dy p y y dy xdx y ( p ) 8 1 2 4 2 2 2 2 2 2 5 21 1 p 。 （2）∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − = − a a− ax−x a x dx a x a dy a x dx a x dxdy 0 2 0 0 2 2 2 2 D = 2 3 ) 3 8 (2 2 − a 。 （3）∫∫ + D dxdy x y e = + = ∫ ∫ ∫ ∫ − − + − − − x x x y x x x y e dx e dy e dx e dy 1 1 1 0 1 1 0 1 e e 1 − 。 （4）∫∫ + D (x y )dxdy 2 2 ∫ ∫ − = + y y a a a dy (x y )dx 2 2 3 4 3 2 2 3 ) 14 3 1 (2ay a y a dy a a a = − + = ∫ 。 （5）∫∫ D ydxdy = = − = ∫ ∫ ∫ π 2π 0 3 3 ( ) 0 2 0 (1 cos ) 2 t dt a dx ydy a y x 3 2 5 a π 。 （6）∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + D y x dxdy ( x y ) 2 1 2 2 1 e ∫ ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + − 1 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 y x y ydy xe dx 3 2 ( 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 = − = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − ∫ ∫ − − + y y y e e dy y dy y y 。 （7）∫∫ D x ydxdy 2 20 49 ( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 = 2 = − = ∫ ∫ ∫ − x dx ydy x x x dx x x x 。 （8） xy z dxdydz 2 3 Ω ∫∫∫ 364 1 4 1 0 6 1 0 5 0 3 0 2 1 0 = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x xy x xdx y dy z dz x dx y dy 。 4
dxd小d +x+ 2d。d (1+x+y+) 111 5 (10)在=的=可=在 (11)JL=== =d=jlo dxdy 2=2-=2)+=(R2-2 480 (12)』x2=ex21dd bcx2(--,)x bc 7.设平面薄片所占的区域是由直线x+y=2,y=x和x轴所围成,它的 面密度为p(x,y)=x2+y2,求这个薄片的质量 解设薄片的质量为m,则 P(x,y)dxdy=l dy(x+y 4γ+4 8 Ddy 8.求抛物线y2=2mx+p2与y2=-2gx+q2(pq>0)所围图形的面积。 解联立两个抛物线方程,解得x=92,y=±m,于是两抛物线所围 的面积为 Jdy==(p+q)vpq 9.求四张平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0和 2x+3y+z=6截的的立体的体积。 解设D:0≤x≤1,0≤y≤1,利用对称性,有 dxd 于是 3y)=6-5xyy 10.求柱面y2+x2=1与三张平面x=0,y=x,z=0所围的在第一卦限的 立体的体积
（9） dxdydz ( ) 1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ∫ ∫ ∫ − − − + + + = x x y x y z dz dx dy 1 0 3 1 0 1 0 (1 ) ∫ ∫ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = x dy x y dx 1 0 2 1 0 4 1 (1 ) 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + = ∫ 1 0 4 1 2 1 1 1 2 1 dx x x 16 5 ln 2 2 1 − 。 （10） zdxdydz Ω ∫∫∫ 3 0 2 0 3 1 zdz dxdy z dz h h h z = = π = π ∫ ∫∫ ∫ Ω 。 （11）∫∫∫Ω Ω = ∫ ∫∫ R z z dxdydz z dz dxdy 0 2 2 = − + − = ∫ ∫ R R R z Rz z dz z R z dz 2 2 2 2 2 0 2 2 π (2 ) π ( ) 5 480 59 πR 。 （12）∫∫∫Ω −∫ ∫∫Ω = a a x x dxdydz x dx dydz 2 2 = − = ∫− a a dx a x bc x (1 ) 2 2 2 π a bc 3 15 4 π 。 7．设平面薄片所占的区域是由直线 x + y = 2,y = x 和 x轴所围成，它的 面密度为ρ( , x y) = x 2 + y 2 ，求这个薄片的质量。 解 设薄片的质量为m，则 ∫∫ ∫ ∫ − = = + y y D m x y dxdy dy x y dx 2 2 2 1 0 ρ( , ) ( ) 3 4 ) 3 8 4 4 3 8 ( 1 0 2 3 = − + − = ∫ y y y dy 。 8. 求抛物线 y p 2 2 = 2 x + p 与 y q 2 2 = −2 x + q ( , p q > 0) 所围图形的面积。 解 联立两个抛物线方程，解得 y pq q p x = ± − = , 2 ，于是两抛物线所围 的面积为 y dy p q pq pq p q S dy dx p q pa q q y p p y pq pq ( ) 3 2 [( ) ] 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + = = + − ∫ ∫ ∫ − − − 。 9. 求四张平面 x = = 0 0 , , y x = 1, y = 1 6 所围成的柱体被平面 z = 0 和 2 3 x + +y z = 截的的立体的体积。 解 设D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1，利用对称性，有 ∫∫ ∫∫ = D D xdxdy ydxdy ， 于是 2 7 (6 2 3 ) 6 5 1 0 1 0 = − − = − = ∫∫ ∫ ∫ V x y dxdy dx ydy D 。 10. 求柱面 y 2 + z 2 = 1与三张平面 x = 0, y = x, z = 0所围的在第一卦限的 立体的体积。 5