习题8.2反常积分的收敛判别法 1.(1)证明比较判别法(定理8.2.2); (2)举例说明,当比较判别法的极限形式中l=0或+∞时, o(x)和∫。f(x)t的敛散性可以产生各种不同的的情况 解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤Ko(x), 其中K是正常数。则 当(x)t收敛时∫f(x)k也收敛; 当∫f(x)发散时∫”o(xk也发散。 证当∫o(x)收敛时,应用反常积分的 Cauchy收敛原理, vE>0,342a,ⅥA,A≥4:4以(x)d<。 于是 f(xdxsKo(x)dx<a 所以∫f(x)也收敛 当∫。fxk发散时,应用反常积分的 Cauchy收敛原理, 36>0,VA62a,3A,24:Af(x)≥kE。 于是 x)ax 所以∫。q(x)tx也发散。 (2)设在,+)上有f(x)200x)20,且 lim /(xr)=0。则当fx x→+∞Q(x) 发散时,∫。q(x)tx也发散;但当∫f(x)收敛时,∫。q(xtx可能收敛
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0 或 时， 和 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 + ∞ ∫ +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 解 （1）定理 8.2.2（比较判别法） 设在[ , a + ∞)上恒有0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x)， 其中 K 是正常数。则 当∫ 收敛时 也收敛； +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 当∫ 发散时 也发散。 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a ϕ(x)dx 证 当∫a +∞ ϕ(x)dx 收敛时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0 ，∃A0 ≥ a， 0 ∀A, A′ ≥ A ： K x dx A A ε ∫ ϕ < ′ ( ) 。 于是 ∫ ≤ A′ A f (x)dx ϕ < ε ∫ A′ A K (x)dx ， 所以∫ 也收敛； +∞ a f (x)dx 当∫ 发散时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， +∞ a f (x)dx ∃ε 0 > 0，∀A0 ≥ a， 0 ∃A, A′ ≥ A ： f x dx Kε A A∫ ≥ ′ ( ) 。 于是 ∫ ≥ A′ A ϕ(x)dx 0 ( ) 1 ≥ ε ∫ A′ A f x dx K ， 所以∫ 也发散。 +∞ a ϕ(x)dx （2）设在[ , a + ∞)上有 f (x) ≥ 0,ϕ(x) ≥ 0，且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ x f x x ϕ 。则当 发散时，∫ 也发散；但当 收敛时，∫ 可能收敛， ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx 278
也可能发散 例如f(x)=2,x)=-(0<p<2),则 ∫(x)=0。显然有 ++(x) 「"f(x)收敛,而对于g(xt,则当1<p<2时收敛,当0<ps1时 发散。 设在+∞)上有f(x)20.(x)≥0,且m()=+0。则当 P(x) ∫"f(x)k收敛时,g(x)也收敛;但当∫"f(x)发散时,fn"o(x)r 可能发散,也可能收敛。 例如f()==,ax)=1(p>1),则m(x)=+∞。显然有 p(x) "f(发散,而对于(xM,则当<p≤1时发散,当p>1时收 敛。 2.证明 Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。 证定理8.2.3( Cauchy判别法)设在[a,+∞)c(0,+∞)上恒有f(x)≥0, K是正常数 )若(x)≤,且p>1,则“f(xM收敛 (2)若(2,且p≤1,则厂)发散。 推论( Cauchy判别法的极限形式)设在[a,+∞)c0,+∞)上恒有 x)≥0,且 f(x)=l 则 ()若0≤/<+∞,且px1,则∫f(x)收敛
也可能发散。 例如 2 1 ( ) x f x = ， (0 2) 1 ( ) = < p < x x p ϕ ，则 0 ( ) ( ) lim = →+∞ x f x x ϕ 。显然有 ∫ +∞ 1 f (x)dx收敛，而对于∫1 +∞ ϕ(x)dx ，则当1 < p < 2时收敛，当0 < p ≤ 1时 发散。 设 在 [ , a + ∞) 上 有 f (x) ≥ 0,ϕ(x) ≥ 0 ， 且 = +∞ →+∞ ( ) ( ) lim x f x x ϕ 。则当 收敛时，∫ 也收敛；但当 发散时，∫ 可能发散，也可能收敛。 ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx 例如 x f x 1 ( ) = ， ) 2 1 ( 1 ( ) = p > x x p ϕ ，则 = +∞ →+∞ ( ) ( ) lim x f x x ϕ 。显然有 ∫ +∞ 1 f (x)dx发散，而对于∫1 +∞ ϕ(x)dx ，则当 1 2 1 < p ≤ 时发散，当 时收 敛。 p > 1 ⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。 证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[ , a + ∞) ⊂ ( , 0 + ∞)上恒有 f x( ) ≥ 0， K 是正常数。 ⑴ 若 f x K x p ( ) ≤ ，且 p > 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 若 f x K x p ( ) ≥ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在 [ , a + ∞) ⊂ + ( , 0 ∞) 上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim ( ) x p x f x l →+∞ = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l < +∞ ，且 p > 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx 279
(2)若0< 且ps1,则「f(x)发散。 证直接应用定理8.2.2(比较判别法)及其推论(比较判别法的极 限形式),将函数∞(x)取为 3.讨论下列非负函数反常积分的敛散性: Inx +1 dx(p,q∈R 1+x sin x I 解(1)当x→+∞时, Inx+1 所以积分∫ dx收敛。 (2)当x→+∞时, arctan 所以积分∫x在收敛 (3)因为当x≥0时有 > 1+xsin 而积分,发散,所以积分 dx发散 (4)当x→+∞时
⑵ 若0 < l ≤ +∞ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 证 直接应用定理 8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极 限形式），将函数ϕ(x)取为 p x 1 。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln ; ⑵ ∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x ; ⑶ 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | ; ⑷ x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ （ ）. + p,q ∈ R 解 （1）当 x → +∞时， ln 1 1 3 2 − + + − x e x x ～ 2 3 1 x ， 所以积分 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln 收敛。 （2）当 x → +∞时， 3 1 arctan x x + ～ 3 2x π ， 所以积分∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x 收敛。 （3）因为当 x ≥ 0时有 x x + x ≥ + 1 1 1 sin 1 ， 而积分 dx x ∫ +∞ + 0 1 1 发散，所以积分 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | 发散。 （4）当 x → +∞时， p q x x 1+ ～ p q x − 1 ， 280
所以在p-q>1时,积分 ax收敛,在其余情况下积分 1+ 「"1+女发散 4.证明:对非负函数f(x),(cp)」f(x)收敛与」f(x)dk收敛是等 价的 证显然,由」∫(x)a收敛可推出(cpv)」二f(x)dk收敛,现证明当 f(x)≥0时可由(cep)」∫(x)收敛推出」f(x)收敛。 由于(cp)∫二f(x)t收敛,可知极限 lim F(A) 存在而且有限,由 Cauchy收敛原理, E>0,34>0,VA,A≥4:|F(A)-F() 于是vA,A≥A与B,B≥A,成立 ∫f(x)bsF(4)-F()<6与B/(x(B)-F(B)<, 这说明积分tf(x)k与0f(x)都收敛,所以积分∫f(x)收敛 5.讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散, 下同): In In x (p∈R+) +op sin x arc tan x d(p∈R);(4)∫"sin(x2)dk; (pn(x)和q(x)分别是m和n次多项式 q, (x) qn(x)在x∈[a,+∞)范围无零点。) 解(1)因为F(4=smxk有界,如x在[2+)单调,且lmx=0 nx 由 Dirichlet判别法,积分∫2 In In x sin xdx收敛;
所以在 p − q > 1时，积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 收敛，在其余情况下积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 发散。 ⒋ 证明：对非负函数 ， 收敛与 收敛是等 价的。 f x( ) (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 证 显然，由 收敛可推出 收敛，现证明当 时可由 收敛推出 收敛。 f x( )dx −∞ +∞ ∫ (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f (x) ≥ 0 (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 由于(cpv) f x( )dx 收敛，可知极限 −∞ +∞ ∫ A→+∞ lim F(A) = A→+∞ lim ∫− A A f (x)dx 存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0，∃A0 > 0， 0 ∀A, A′ ≥ A ： F(A) − F(A') < ε ， 于是∀A, A′ ≥ A0与∀B, B'≥ A0 ，成立 ∫ ≤ A′ A f (x)dx F(A) − F(A') < ε 与 ∫ ≤ − − B B f x dx ' ( ) F(B) − F(B') < ε ， 这说明积分∫0 +∞ f (x)dx与∫− 0 ∞ f (x)dx 都收敛，所以积分 −∞ f x( )dx 收敛。 +∞ ∫ ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散， 下同）： ⑴ ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ ; ⑵ sin x x dx 1 p +∞ ∫ （ ）; + p ∈ R ⑶ ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p （ ）; + p ∈ R ⑷ sin(x )dx 2 0 +∞ ∫ ; ⑸ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) （ pm (x)和qn (x)分别是m和n次多项式， q (x) n 在 x ∈[a,+∞)范围无零点。） 解（1）因为 = ∫ 有界， A F A xdx 2 ( ) sin x x ln ln ln 在[2,+∞) 单调，且 0 ln ln ln lim = →+∞ x x x ， 由 Dirichlet 判别法，积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 收敛； 281
由于 InInx InIn x 1 InIn sinx≥ 1-cos2x),而积分 g"|m发散,22d收敛,所以积分1吗m发 x 散,即积分" nx sina条件收敛。 (2)当p>1时,厘1,而广1么收敛,所以当p>1时积分 too sin x dx绝对收敛 x 当0<P≤1时,因为F(=fsmx有界,在[+x)单调,且 m=0,由Dmhe判别法,积分门mxh收敛但因为当0ps1 时积分“10x发散,所以当0<P5时积分m条件收敛。 (3)当p时,師如四五,而“1收敛,所以当p>时 积分[ -d绝对收敛; 当0<P1时,因为F(4)=」smx有界,如mx在+=)单调,且 lim=0,由 Dirichlet判别法,积分广xmxh收敛:但因 为当0<P51时积分广如xmx发散,所以当0<P≤1时积分 +∞ sin x arctan x dx条件收敛 (4)令1=x2,「sim(x)d=∫0nd,由于d条件收敛,可知 积分∫。sin(x2)条件收敛。 282
由于 x ≥ x x sin ln ln ln x x x 2 sin ln ln ln (1 cos 2 ) ln ln ln 2 1 x x x = − ，而积分 ∫ +∞ 2 ln ln ln dx x x 发散， ∫ +∞ 2 cos 2 ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分 ∫ +∞ 2 sin ln ln ln x dx x x 发 散，即积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 条件收敛。 （2）当 p > 1时， p p x x sin x 1 ≤ ，而∫ +∞ 1 1 dx x p 收敛，所以当 p > 1时积分 sin x x dx 1 p +∞ ∫ 绝对收敛； 当 0 < p ≤ 1时，因为 = ∫ 有界， A F A xdx 1 ( ) sin p x 1 在[1,+∞) 单调，且 0 1 lim = →+∞ p x x ，由 Dirichlet 判别法，积分 sin x x dx 1 p +∞ ∫ 收敛；但因为当 时积分 0 < p ≤ 1 ∫ +∞ 1 | sin | dx x x p 发散，所以当0 < p ≤ 1时积分 sin x x dx 1 p +∞ ∫ 条件收敛。 （3）当 p > 1时， ≤ p x sin x arctan x p 2x π ，而∫ +∞ 1 1 dx x p 收敛，所以当 时 积分 p > 1 ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p 绝对收敛； 当0 < p ≤ 1时，因为 = ∫ 有界， A F A xdx 1 ( ) sin p x arctan x 在[1,+∞)单调，且 0 arctan lim = →+∞ p x x x ，由 Dirichlet 判别法，积分∫ +∞ 1 sin arctan dx x x x p 收敛；但因 为当0 < p ≤ 1时积分∫ +∞ 1 sin arctan x dx x x p 发散，所以当0 < p ≤ 1时积分 ∫ +∞ 1 sin arctan dx x x x p 条件收敛。 （4）令t = x 2，∫ = +∞ 0 2 sin(x )dx ∫ +∞ 0 2 sin dt t t ，由于∫ +∞ 0 2 sin dt t t 条件收敛，可知 积分 0 sin(x 2 )dx 条件收敛。 +∞ ∫ 282