习题7.2定积分的基本性质 1.设f(x)在[a,b上可积,g(x)在a,b上定义,且在[a,b]中除了有限 个点之外,都有f(x)=g(x),证明g(x)在[a,b上也可积,并且有 f(x)dx=g(x)dx 证设仅在x=c(=12,…,P)处f(x)≠g(x)。对区间[ab作划分 a=x0<x1<…<xn1<xn=b,任取5∈[x21,x],则 ∑g(5)Ax-∑∫(5x=∑(g(5)-f()△x 其中∑表示仅对含有{c}中点的小区间(至多2P个)求和。 记M= sup gt(x),M2=sup(x),vE>0,取δ 则当 2p(M1+M2) =max{△x}<δ时, (g(5)-f(5)Ax<E, 所以由f(x)可积,可知g(x)也可积,且成立(x)=g(x 2.设f(x)和g(x)在a,b上都可积,请举例说明一般有 f(x)g(x)dx(x)] .g(x)dx) 解例如f(x)=g(x)=1x∈021,则∫f(x)dx=2,J,8(x)d=2, f(x)g(x)dx=2,所以f(x)g(x)dx≠f(x)t)g(x 3.证明:对任意实数ab,只要f(x),ff(x)和(x)都存 在,就成立 f(x)dx=f(xdx+lf(xdx
习 题 7.2 定积分的基本性质 1． 设 f (x)在[ , a b]上可积，g x( )在[ , a b]上定义，且在[ , a b]中除了有限 个点之外，都有 f x( ) = g(x)，证明 g x( )在[ , a b]上也可积，并且有 f x dx g x dx a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 。 证 设仅在 x c (i 1,2, , p) = i = " 处 f (x) ≠ g(x) 。对区间 作划分： ，任取 [a,b] a = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = b [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − ，则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i x ' ( ( ) ( )) i i g f ξ ξ i i g x ξ ξ f = = ∑ ∑ ∆ − ∆ i = ∑ − ∆x ， 其中 表示仅对含有{ ' ∑ ci} 中点的小区间（至多2 p 个）求和。 记 1 2 sup ( ) , sup ( ) a x b a x b M g x M f x ≤ ≤ ≤ ≤ = = , ∀ε > 0, 取 1 2 2 ( p M M ) ε δ = + ，则当 λ = ∆ < δ ≤ ≤ max{ } 1 i i n x 时, ' ( ( ) ( )) i i i ∑ g f ξ − ξ ε ∆x < , 所以由 f x( )可积, 可知 g x( )也可积, 且成立 f x dx g x dx 。 a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 2．设 f (x)和 g x( )在[ , a b]上都可积，请举例说明一般有 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 解 例如 f (x) = g(x) = 1, x ∈[0, 2]，则 2 2 0 0 f ( ) x dx = 2, g( ) x dx = 2 ∫ ∫ ， 2 0 f x( )g( ) x dx = 2 ∫ ,所以 ⎟。 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 3． 证明：对任意实数 ，只要 ， 和 都存 在，就成立 a,b, c f x dx a b ( ) ∫ f x dx a c ( ) ∫ f x dx c b ( ) ∫ f x dx f x dx f x dx a b a c c b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 。 209
证如设a<b<c,则∫f(xk=/(x)+(xk,于是 f(x)dx=f( ∫(x)dk=(x)女+/(x)。 其他情形可类推。 4.判断下列积分的大小 (1)「x和fx (2)」1xx和x2dr 厂(yd和2 (4)[sinx和「2xdr 解(1)当x∈(0)时,x>x2,所以fxt>x2d。 (2)当x∈(2)时,x<x2,所以fxdk<x。 (3)当x∈(-2,-1时,()2>2,而当x∈(01)时,2<2, 由积分第一中值定理,可得2(2)d>2d (4)当x>0时,sinx<x,所以店sinx<xk。 5.设f(x)在[a,b上连续,f(x)≥0但不恒为0,证明 f(x)dhx>0。 证证明一:不妨设∫(x)>0,xo∈(a,b)。由limf(x)=f(x)>0,存在c>0 与δ>0(6<min{a-x,b-x}),使得当x∈(x-6,x+6)时,成立f(x)>c 于是 f(x)dx= f(x)dx f(x)tr+/° Jsto / (x)axe/oto ∫(x)dx≥2co>0 f(x)>0,x=a或x=b的情况可类似证明 证明二:用反证法。若∫(x=0,则v∈a∫/(x=0。由于 F()=f(x)在回b上可导,且F()=f(∈a,所以有()=0, 与题设矛盾,从而必定成立/(x)>0。 6.设(x)在ab上连续,且∫f2(x)tx=0,证明f(x)在a,b上恒为0 210
证 如设a < b < c，则 ，于是 ∫ ∫ ∫ = + c b b a c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx ∫ b a f (x)dx= ∫ 。 c a f (x)dx ∫ ∫ ∫ − = + b c c a c b f (x)dx f (x)dx f (x)dx 其他情形可类推。 4．判断下列积分的大小： ⑴ 0 xdx 和 ； 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ ⑵ 1 xdx 和 ； 2 ∫ x dx 2 1 2 ∫ ⑶ ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ 和 0 2 ； 1 x ∫ dx ⑷ sin xdx 0 2 π ∫ 和 xdx 0 2 π ∫ 。 解（1）当 x ∈ (0,1)时， ，所以 > 。 2 x > x xdx 0 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ （2）当 x ∈ (1, 2)时， x < x 2，所以 xdx 0 1 ∫ < x dx 2 0 1 ∫ 。 （3）当 x ∈ (−2,−1)时， ) 2 2 1 ( >x ，而当 x ∈ (0,1)时，2 < 2 x ， 由积分第一中值定理，可得 ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ > 2 0 1 x ∫ dx 。 （4）当 x > 0时，sin x < x，所以 sin xdx 0 2 π ∫ < xdx 0 2 π ∫ 。 5．设 f (x)在[ , a b]上连续， f x( ) ≥ 0但不恒为 0，证明 f x dx a b ( ) ∫ > 0。 证 证明一：不妨设 ( ) 0, ( , ) f x0 > x0 ∈ a b 。由 lim ( ) ( ) 0 0 0 = > → f x f x x x ，存在 与 c > 0 δ δ > < 0( min{a x − 0 ,b − x0})，使得当 ( , ) x ∈ x0 − δ x0 + δ 时，成立 。 于是 f (x) > c ( ) b a f x dx = ∫ 0 ( ) x a f x dx −δ + ∫ 0 0 ( ) x x f x dx δ δ + − + ∫ 0 ( ) b x f x dx +δ ≥ ∫ 0 0 ( ) x x f x dx δ δ + ∫ − ≥ 2cδ > 0 。 0 f x( ) > 0 , 0 x = a 或 0 x = b的情况可类似证明。 证明二：用反证法。若 ∫ ( ) = 0 ，则 b a f x dx [ , ], ( ) 0 t a ∀t a ∈ = b f x dx ∫ 。由于 = ∫ 在[ , 上可导，且 t a F(t) f (x)dx a b] F′(t) = f (t),t ∈[a,b]，所以有 ， 与题设矛盾，从而必定成立 。 f t( ) ≡ 0 ( ) > 0 ∫ b a f x dx 6．设 f (x)在[ , a b]上连续，且 a f x dx ，证明 在[ , 上恒为 0。 b 2 ∫ ( ) = 0 f x( ) a b] 210
证由∫(x)在[anb]上连续,可知f2(x)在[a,b]上连续,且f2(x)≥0。由 上题即可得到结论 7.设函数f(x)在[ab]上连续,在(a,b)内可导,且满足 f(x)dx=f(b)。 证明:存在ξ∈(a,b),使得f()=0 证由积分第一中值定理,3n∈[a,a+,使得 a+b (m)=22(x)=/(b) 再对∫(x)在[b上应用 Rolle定理,3∈(n,b)c(a,b),使得f(2)=0。 8.设g()在[0,a上连续,f(x)在(-∞,+∞)上二阶可导,且∫"(x)≥0。证 明 o(odts- f(o(o)dr 证将区间[0a作划分:0=10<1<…<tn1<tn=a,记 M=1-1-,12=mx1M:5;∈-4】由于/下凸,由 Jensen不等式(第 5.1节习题24),得到 q(5;) f(o(si)) 令4→0,上述不等式就转化为 ood≤f(o(m)dt 9.设f(x)在[0上连续,且单调减少,证明对任意a∈[0,成立 f(x)dx alf(x)dx 证证明一:问题等价于证明对任意a∈0,成立 211
证 由 f x( )在[ , a b]上连续，可知 2 f (x) 在[ , 上连续，且 。由 上题即可得到结论。 a b] 2 f x( ) ≥ 0 7．设函数 f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足 ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + 。 证明：存在ξ ∈ (a,b)，使得 f ′(ξ ) = 0。 证 由积分第一中值定理， [ , ], 2 a b η a + ∃ ∈ 使得 f ( ) η = ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + ， 再对 f (x)在[ , η b]上应用 Rolle 定理，∃ξ ∈ ⊂ ( , η b) (a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0。 8．设ϕ(t)在[0, a]上连续， f (x)在(−∞,+∞) 上二阶可导，且 。证 明 f ′′(x) ≥ 0 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 证 将区间[0, a]作划分：0 = t0 < t1 < " < tn−1 < tn = a，记 , max{ }, [ , ] 1 1 1 i i i i i n i i i t t t t t t − ≤ ≤ ∆ = − − λ = ∆ ξ ∈ 。由于 下凸，由 Jensen 不等式（第 5.1 节习题 24）,得到 f ∑ ∑ = = ∆ ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ n i i i n i i i a t f a t f 1 1 ϕ(ξ ) (ϕ(ξ )) ， 令λ → 0，上述不等式就转化为 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 9．设 f (x)在[0,1]上连续，且单调减少，证明对任意α ∈[0,1]，成立 ∫ ∫ ≥ 1 0 0 f (x)dx α f (x)dx α 。 证 证明一：问题等价于证明对任意α ∈[0,1]，成立 211
-a)rf(x)h2∫/(x。 对不等式两端应用积分第一中值定理,则存在x∈[0a]及 x∈a1,使得(-a)(x)k=a(-a)(x)及a1x)=a(-a)(x)。 由于显然有f(x)2(x),所以得到-a(x)k2af(x)。 证明二:设F(a)=(x)dx-a/x)k,则ra)=(a)-J(x)。由积 分第一中值定理,5∈[01使得/(5)=/(x),即F(a)=f(a)-f(5) 由于∫单调减少,所以当0<a<5时,FYa)≥0,即F(a)单调增加 当ξ<a<1时,F(a)≤0,即F(a)单调减少。由F(0)=F()=0,即可得 到va∈[0,成立F(a)≥0。 证明三:当a=0时,不等式显然成立。当a∈(0,时,令x=at,利用 ∫单调减少,就得到(xk=a[(am≥a)d 10.( Young不等式)设y=f(x)是[o,∞)上严格单调增加的连续函数, 且f(0)=0,记它的反函数为x=f-1(y)。证明 /()k+()h≥ab(a>0,b>0) 证先证当b=f(a)时等号成立 将区间[0a作划分:0=x<x1<…<xm<xn=a,记 y=f(x,)(=012,…n),则0=y<y<…<yn<y=b,再记 Ax=x1-x1,Ay2=y-y,于是 ∑f(x-)x+∑f(),=∑y1(x1-x-)+∑x(y1-y-) 记A=mxx},当A→0时,∑f(x)Ax+∑f()y的极限为 212
∫ ∫ − ≥ 1 0 (1 ) ( ) ( ) α α α f x dx α f x dx。 对不等式两端应用积分第一中值定理，则存在 1 x ∈[0,α] 及 2 x ∈[ , α 1]，使得 0 (1 ) f (x d) x α −α ∫ = 1 α(1−α) f (x ) 及 1 2 f ( ) x dx (1 ) f (x ) α α α= −α ∫ 。 由于显然有 f (x1 ) ≥ f (x2 )，所以得到 。 ∫ ∫ − ≥ 1 0 (1 ) ( ) ( ) α α α f x dx α f x dx 证明二：设 ，则 。由积 分第一中值定理， 1 0 0 F( ) f (x d) x f (x d) x α α = −α ∫ ∫ 1 0 F f '(α α ) = − ( ) f (x) ∫ dx ∃ ∈ξ [0,1],使得 1 0 f ( ) ξ = f x( )dx ∫ ，即F f '(α) = (α ξ ) − f ( )。 由于 f 单调减少，所以当0 <α < ξ 时，F '(α) ≥ 0，即F(α)单调增加； 当ξ <α < 1时， F '(α) ≤ 0，即 F(α) 单调减少。由 F F (0) = (1) = 0，即可得 到∀α ∈[0,1], 成立 F( ) α ≥ 0。 证明三：当α = 0时，不等式显然成立。当α ∈ (0,1]时，令 x =αt，利用 f 单调减少，就得到 。 ∫ ∫ ∫ = ≥ 1 0 1 0 0 f (x)dx α f (αt)dt α f (t)dt α 10．（Young 不等式）设 y f = (x)是[ , 0 ∞)上严格单调增加的连续函数， 且 f (0) = 0，记它的反函数为 x f = y −1( )。证明 + ∫ a f x dx 0 ( ) 1 0 ( ) b f y dy ab − ≥ ∫ （a > 0, b > 0）。 证 先证当b = f (a) 时等号成立。 将区间[0, a]作划分：0 = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = a ，记 y f (x )(i 0,1,2, , n) i = i = " ，则 0 = y0 < y1 < " < yn−1 < yn = b，再记 1 1 , ∆ i = i − i− ∆ i = i − i− x x x y y y ，于是 ∑ ∑ ∑ ∑= − = − − = − = − ∆ + ∆ = − + − n i i i i n i i i i n i i i n i i i f x x f y y y x x x y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = xn yn − x0 y0 = ab， 记 max{ } 1 i i n = ∆x ≤ ≤ λ ，当λ → 0时，∑ ∑ 的极限为 = − = − ∆ + ∆ n i i i n i i i f x x f y y 1 1 1 1 ( ) ( ) 212
f(x)+「f(), 这就证明了当b=f(a)时,(x)+f(y)h=ab 在一般情况下,设Fa)=J(x)k+广(y)d-ab,则 F(a)=f(a)-b。记f(m)=b,可知当0<a<T时,F(a)单调减少,当a>T 时,F(a)单调增加,所以F(a)在a=T处取到最小值。由上面的讨论, 可知最小值F(T)=0,从而F(a)≥0,这就是所要证明的。 注当b=(a)时,[(x)+f()h=mb的结论也可直接从几何图形 上看出。 11.证明定积分的连续性:设函数f(x)和f(x)=f(x+h)在[a,b]上可 积,则有 imn门m(x)-f(x)ax=0 证由于f(x)=f(x+h)在[a,b上可积,可知存在δ>0,使得f(x) 在-b+6]上可积。设f(x)≤M(x∈[a-0b+]) 由于f(x)在[a,b上可积,vE>0,存在对区间[a,b]n等分的划分P 使得当ba<5时,成立 ∑aAx<,其中Ax, 另外,当ba<6时,记a。.m分别是f(x)在区间[a-b=a,a和 n b,b+O上的振幅,则an≤2M,on2M。 为 广1()-f(x)dk=∑1A()-x)|dk=∑(+b)-(5)Ax, 213
+ ， ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) 这就证明了当b = f (a) 时， + ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) = ab 。 在一般情况下，设 1 0 0 ( ) ( ) ( ) a b F a f x dx f y dy ab − = + ∫ ∫ − ，则 F a'( ) = f (a) − b。记 f T( ) = b，可知当0 < a < T 时， 单调减少，当 时， 单调增加，所以 在 F a( ) a T > F a( ) F a( ) a = T 处取到最小值。由上面的讨论， 可知最小值F T( ) = 0，从而F a( ) ≥ 0，这就是所要证明的。 注 当b = f (a) 时， + ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) = ab 的结论也可直接从几何图形 上看出。 11． 证明定积分的连续性：设函数 f x( )和 f x( ) h = f x( ) + h 在[ , 上可 积，则有 a b] lim | ( ) ( )| h h a b f x f x dx → ∫ − = 0 0。 证 由于 f x h ( ) = f x( ) + h 在[ , a b]上可积，可知存在δ > 0，使得 在 f x( ) [a − δ ,b + δ ]上可积。设 f ( ) x M≤ ( x ∈[a − δ ,b + δ ])。 由于 f x( )在[ , a b]上可积，∀ε > 0，存在对区间[ , 等分的划分 ， 使得当 a b] n P 8 b a n M − ε < 时，成立 1 6 n i i i x ε ω = ∑ ∆ < ，其中 (i 1,2, ,n) n b a xi = " − ∆ = 。 另外，当 b a n δ − < 时，记 0 1 , ω ωn+ 分别是 f (x) 在区间[ , b a a a n − − ] 和 [ , ] b a b b n − + 上的振幅，则 0 ω ≤ 2M ， 1 2 ωn+ ≤ M 。 因为 1 1 1 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( ) ( ) i i n n b x h h i a x i i i i f x f x dx f x f x dx f ξ h f ξ x − = = − = ∑ − = ∑ + − ∫ ∫ ∆ ， 213