复旦大学：《数学分析》教材习题全解（下册）第十二章 多元函数的微分学 习题 12.2 多元复合函数的求导法则

习题12.2多元复合函数的求导法则 1.利用链式规则求偏导数: (31+2 求 d t 2) =ex-2y x=sint, y=t3,求 d-z ,y= asin,z=cosx,求" (4) - In 求 y (5)u=e++, ==y2 x, x (6)=(x+y+)sin(x2+y2+z2),x=le,y=e',z=e”,求 at (7)==x'+y+cos(x+y), x=u+v, y=arcsin, x au aau 以下假设∫具有二阶连续偏导数 (8)u=fxy,,求 auau ax ay day ay 9)u=f(x2+y2+z2),求 au auau au a (10)w=f(x,y,z),x=+",y=l-",z=,求 解(1)记u=3+2x2-y2,则 ddd止( u au dx au d dt du dt du at ar dt ay dt [3+4x(-)-2y]ec dt ax dt ay dt 2ex-2.3t2 6) (cost-6l z2(cost-61)=emr(cost-62)2-sin-12门]

习题 12.2 多元复合函数的求导法则 1． 利用链式规则求偏导数： （1） y t t z = t + x − y x = , = 1 tan(3 2 ), 2 2 ，求 t z d d ； （2） z = ex−2 y , x = sin t, y = t 3 ，求 2 2 d d t z ； （3） 1 ( ) 2 + − = a e y z w ax ， y = a sin x， z = cos x，求 x w d d ； （4） v x y y x z u ln v, u , 3 2 2 = = = − ，求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （5） ， ，求 2 2 2 x y z u e + + = z y sin x 2 = y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （6）w = (x + y + z)sin(x 2 + y 2 + z 2 )，x = tes ，y = et ，z = es+t ，求 t w s w ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （7） z = x 2 + y 2 + cos(x + y)， x = u + v， y = arcsin v ，求 v u z u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , ； 以下假设 f 具有二阶连续偏导数。 （8） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x u f xy, ，求 2 2 2 , , , y u x y u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （9）u = f (x 2 + y 2 + z 2 ) ，求 x y u x u z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 , , , , ； （10）w = f (x, y,z)， x = u + v ， y = u − v， z = uv，求 u v w v w u w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , , 。 解 (1) 记u t = + 3 2x 2 − y 2 ，则 dz dt = ( ) dz du dz u u dx u dy du dt du t x dt y dt ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 1 1 [3 4 ( ) 2 ]sec 2 x y u t t = + ⋅ − − ⋅ = 2 3 2 4 2 (2 )sec (2t ) t t − + 。 (2) dz dt = 2 2 2 cos 2 3 (cos 6 ) z dx z dy x y x y e t e t z t x dt y dt ∂ ∂ − − + = − ⋅ = − ∂ ∂ 2 t ， 3 2 2 2 sin 2 2 2 2 (cos 6 ) (cos 6 ) [(cos 6 ) sin 12 ] d z dz d t t t t z t t e t t t t dt dt dt − = − + − = − − − 。 1

)22+0女 a cos x sIn a2+1 2unv.-+-3 n(3x-2y)+ 2(3x-2 azaz a 2ulnv(-2)+-(-2) 2x2 2x2 n(3x-2y)- y2(3x-2 (5)如=amha a or d ar u2x +u. 22.ycosx r(2x+2y sin x cos x) au au du az l·2y+l·2-·2 sinx (2y+4y sin2x) 记=x-+y-+2-,=x+γ+2。 则 aw ax a ay aw az as Cx as ay as a- as x(sin u+ 2xv cos u)+o(sin u+ 2yv u)+=(sin u+ 2=v cos u) te(sin u+ 2xvcosu)+e(sin u+2-v cos u) e(sin u+2xv cos u)+y(sin u+2 yv cos u)+=(sin u+2=v cos u) e(sin u+ 2xvcosu)+e(sin u+ 2yv cosu)+e(sin u+ 2= u)

(3) dw w w dy w dz dx x y dx z dx ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 ( ) cos ( sin ) 1 1 1 ax ax ax ae y z e e a x x a a a − = + ⋅ − ⋅ − + + + sin ax = e x。 (4) dz z u z dv dx u x v dx ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ 2 1 2 ln 3 u u v y v = ⋅ + ⋅ 2 2 2 2 3 ln(3 2 ) (3 2 ) x x x y y y = − + x − y ， z z u z v y ∂ y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 ln ( ) ( 2) x u u v y v = ⋅ − + ⋅ − 2 2 3 2 2 2 ln(3 2 ) (3 2 ) x x x y y y = − − − x − y 。 (5) u u du z x x dz ∂ ∂ = + ∂ ∂ x x ∂ ∂ 2 = ⋅ u x2 2 + u z ⋅ ⋅ y cos x 224 2 sin 4 (2 2 sin cos ) x y y x e x y x + + = + u u du z y y dz y ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ = ⋅ u y 2 2 + u ⋅ z⋅ 2y sin x 224 2 sin 3 2 (2 4 sin ) x y y x e y y + + = + x 。 (6) 记u = x 2 + y 2 + z 2，v = x + y + z 。则 w w x w y w s x s y s z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z s = x(sin u + 2xv u cos ) + + 0(sin u 2yv u cos ) + + z(sin u 2zv cosu) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s s t te u xv u e u zv u + = + + + w w x w y w t x t y t z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z t (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s = + e u xv u + y u + yv u + z u + zv u (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s t s t e u xv u e u yv u e u zv u + = + + + + + 。 2

()O= 0= ax_ cy [2x-sin(x+y)].1+[2y-sin(x+y)].0 2(u+v)-sin(u+v+arcsin v), a2=8a Ovau av au 2-cos(u+v+arcsin v(1 (8)记 ax av ax aw ax ay ay salry,2-5+ au au av au aw f2l xy,+ xyfu xy, xy ay a 则 df av x dy ax ixf( au df av ay dv ay az dy az

(7) z z x z y u ∂ ∂ = − [2x x sin( + y)]⋅1+[2y − sin(x + y)]⋅0 u x u y ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + 2(u v) − sin(u v + + arcsin v)， 2 ( ) z z v u v u ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ 2 1 2 cos( arcsin )(1 ) 1 u v v v − + + + − 。 (8) 记 , x v xy w y = = ，则 u u v u w x v x w x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 2 1 , , x x yf xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , u u v u w y v y w ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 , , x x x xf xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , 2 ( ) u u x y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 1 2 1 , , , , x x x x f xy f xy x f xy f xy y y y x y y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x = 1 2 2 1 , , x x f xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + y x f xy y x y x xyf xy, , 11 3 22 , 2 2 ( ) u u y y y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 3 2 2 1 2 2 , , , x x x x f xy x f xy f xy y y y y y y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x y 2 3 2 11 2 , , x x x f xy x f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x f xy y x y x f xy y x , , 2 4 22 2 2 12 2 。 (9) 记v x = +2 2 y + z 2 ，则 u df v x dv x ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' xf x( y + z ), u df v y dv y ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' yf (x y + z ) , u df v z dv z ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' zf (x y + z ) , 3

=2/(x2+y2+2)+2x(x2+y2+2) =2f(x2+y2+2)+4x2f"(x2+y2+2), a-2 =2yf( 4xyrf"(x2+y2+-2)。 a一++ ay, aw az ay av az av f-f+uf 02-=1+0- F/+a, ax a ay, a, az a, ax a, ay af, az Ox ou ay ou az ou =Jx+(+)x-fy+(-v)/+f+y=° 2.设f(x,y)具有连续偏导数,且f(x,x2)=1,f(x,x2)=x,求 f(x,x) 解在等式f(x,x2)=1两边对x求导,有 af af ay x+9=(r)+2(x)2=0, 再将f(x,x2)=x代入,即可得到 f, 2 3.设f(x,y)具有连续偏导数,且f(1,1)=1,f(,1)=2,f,(,1)=3。如 果o(x)=f(x,f(x,x),求(1) 解)=y(xy(x)+9(x,(x)2x), 其中

2 '( ) 2 2 2 2 2 f x y z x u = + + ∂ ∂ 2 2 2 2 ' x f x( y z ) x ∂ + + + ∂ 2 2 2 = + 2 ' f (x y + z ) 4 "( ) 2 2 2 2 + x f x + y + z , 2 u x y ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 ' y f (x y z ) x ∂ = + ∂ + ) 2 2 2 = 4 " xyf (x + y + z 。 (10) w w x w y w z u ∂ ∂ x y f f vf u x u y u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + z , w w x w y w z v ∂ ∂ x y f f uf v x v y v z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + z , 2 w u v ∂ ∂ ∂ x y z z w f f f f u u v u u u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x yyy z fff x y z fff x y f z x u y u z u x u y u z u ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = +++− − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) zzz fff x y z u x u y u z u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) xx xz yy yz z zz = + f u + v f − f + u − v f + f + uvf 。 2． 设 具有连续偏导数，且 ， ，求 。 f (x, y) ( , ) 1 2 f x x = f x x x x ( , ) = 2 ( , ) 2 f x x y 解 在等式 f (x, x 2 ) = 1两边对 x 求导，有 2 2 ( , ) 2 ( , ) 0 x y f f y f x x xf x x x y x ∂ ∂ ∂ + = + = ∂ ∂ ∂ ， 再将 f x (x, x 2 ) = x 代入，即可得到 2 1 ( , ) 2 f y x x = − 。 3．设 f (x, y)具有连续偏导数，且 f (1,1) = 1， f x (1,1) = 2， 。如 果 f y (1,1) = 3 ϕ(x) = f (x, f (x, x))，求ϕ′(1)。 解 ( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) d x f f dy x x y x x y x dx x y dx ϕ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ， 其中 4

y(x)=x,x),)=(x,x)+y(x,x)。 由于y(1)=f(1)=1,以x=1代入上述等式,得到 q(1)=f1(1,1)+Jr(,1)((1,l)+f(.1)=17 4.设:“m少、其中/(具有连续导数,且100,1+1 解 af(x -y) 2xyf' ax f(x2-y2) f(x2-y2)f2(x2-y2)2yf(x2-y2)f( 直接计算可得 x ax y ay y(x2-y2)° 5.设z= arctan,x=n+,y=n-,验证 证=ca+c az az ax az ay av ax av ay av 又由于x2+y2=(u+)2+(u-y)2=2n2+2n2,所以 az az 6.设g和v具有二阶连续导数,验证 (1)u=yo(x2-y2)满足y (2)1=0(x-a)+v(x+a)满足波动方程=a20x

y x( ) = f (x, x)， ( ) ( , ) ( , ) dy x f f x x x dx x y x ∂ ∂ = + ∂ ∂ 。 由于 y f (1) = (1,1) =1，以 x =1代入上述等式，得到 '(1) (1,1) (1,1)( (1,1) (1,1)) 17 x y x y ϕ = + f f f f + = 。 4．设 ( ) 2 2 f x y y z − = ，其中 f (t)具有连续导数，且 f (t) ≠ 0，求 y z x y z x ∂ ∂ + ∂ 1 ∂ 1 。 解. z x ∂ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 '( ( ) ( y f x y xyf x y f x y x f x y ∂ − − − = − − ∂ − ) ) ， z y ∂ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( y f x y y f x y f x y f x y y f x y f x y ∂ − − − = + − − ∂ − − '( ) ) ， 直接计算可得 ( ) 1 1 1 2 2 y yf x y z x y z x − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 5．设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v，验证 2 2 u v u v v z u z + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 z z x z u x u y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y u 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y y x x x y y ⎛ ⎞ y − = + ⎜ ⎟ − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， z z x z v x v y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y v 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y y x x x y y y + = + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 又由于 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 x + = y u + v + u − v = u + v ，所以 z z u v ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2y x y = + 2 u v u v 2 − = + 。 6．设ϕ 和ψ 具有二阶连续导数，验证 （1）u = yϕ(x 2 − y 2 )满足 u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）u = ϕ(x − at) +ψ (x + at)满足波动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 5