习题12.3 Taylor公式 1.对函数f(x,y)= sin x cos y应用中值定理证明:存在θ∈(,1),使得 3_z 证设(x)=(0.).(△xAy)=(3 z,z),对函数f(x,y)= SIn x cos y应用微分 中值定理(即k=0时的 Taylor公式),可知存在∈(O,1),使得 3-ft f(。22)-f(0,0)=f,(ONx,的y)Ax+f,(Ox,的y)A sin-sin 2.写出函数f(x,y)=3x3+y3-2x2y-2xy2-6x-8y+9在点12)的 Taylor 展开式 解f(x,y)=3(x-1)++[(y-2)+2-2(x-1)+(y-2)+2] 2(x-1)+1](y-2)+2]2-6(x-1)+11-8(y-2)+2]+9 -14-13(x-1)-6(y-2)+5(x-1)2-12(x-1)(y-2)+4(y-2) +3(x-1)3-2(x-1)2(y-2)-2(x-1)(y-2)2+(y-2)3 注本题也可设u=x-1,v=y-2,于是 f(x,y)=f(u+1,v+2) =3(+1)+(v+2)3-2(u+1)2(v+2)-2(u+1)(v+2)2-6(u+1)-8(v+2)+9 展开后再用u=x-1,v=y-2代换回来 3.求函数f(x,y)= sin x In(+y)在(0.0)点的 Taylor展开式(展开到三阶 导数为止)。 解f(x,y)=(x +O(y)) 4.求函数f(x,y)=e在(0,0)点的n阶 Taylor展开式,并写出余项 解f(x,y)=1+(x+y)+(x+y)2+…+-(x+y)”+Rn
习 题 12.3 Taylor 公式 1. 对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用中值定理证明：存在θ ∈ (0, 1)，使得 6 sin 3 sin 6 6 cos 3 cos 4 3 3 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 证 设 0 0 ( , ) (0,0), ( , ) ( , ) 3 6 x y x y π π = ∆ ∆ = ，对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用微分 中值定理（即k = 0时的 Taylor 公式），可知存在θ ∈ (0, 1)，使得 3 (,) (0,0) 4 3 6 f f π π = − = ( , ) ( , ) x y f θ∆x y θ θ ∆ ∆x + f ∆x y θ∆ ∆y cos cos sin sin 3 3 6 6 3 6 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 2. 写出函数 在点 的 Taylor 展开式。 ( , ) 3 2 2 6 8 9 3 3 2 2 f x y = x + y − x y − xy − x − y + (1,2) 解 3 3 2 f x( , y) = − 3[(x 1) +1] +[( y − 2) + 2] − − 2[(x 1) +1] [( y − 2) + 2] 2 − − 2[(x y 1) +1][( − 2) + 2] −6[(x y − + 1) 1]−8[( − 2) + 2]+ 9 2 2 = −14 −13(x y −1) − 6( − 2) + 5(x −1) −12(x −1)( y − 2) + 4( y − 2) 3 2 2 3 + 3(x −1) − 2(x −1) ( y − 2) − 2(x −1)( y − 2) + ( y − 2) 。 注 本题也可设u x = −1, v = y − 2 ，于是 f x( , y) = + f (u 1, v + 2) 3 3 2 2 = + 3(u v 1) + ( 2 + ) − + 2(u 1) (v + 2) − 2(u +1)( 2 v + ) − 6(u +1) −8( 2 v + ) + 9， 展开后再用u x = −1, v = y − 2 代换回来。 3. 求函数 在 点的 Taylor 展开式（展开到三阶 导数为止）。 f (x, y) = sin x ln(1+ y) (0,0) 解 3 2 3 3 3 ( , ) ( ( ))( ( )) 6 2 3 x y y f x y = −x + o x y − + + o y ( ) 1 2 2 2 ( ) 2 = − xy xy + o x + y 3 。 4. 求函数 f (x, y) = ex+ y 在(0,0) 点的n阶 Taylor 展开式，并写出余项。 解 n n x y R n f x y = + x + y + x + y + + ( + ) + ! 1 ( ) 2! 1 ( , ) 1 ( ) 2 " , 1
其中Rn ∫(x,y) (1)求f(x,y)在(10)点的 Taylor展开式(展开到二阶导数),并 计算余项R (2)求f(x,y在(1,0)点的k阶 Taylor展开式,并证明在(10)点的某 个领域内,余项R满足当k→∞时,R4→0 解(1)f(x,y)=1-(x-1)+(x-1)2-y2+R2 R2 1)+yf(+x-1,0y) ∞(x-1-出(x-1)2y+05(x-1)y2+y 其中 (x-1),n=6y,0<6<1 (2)f(xy)=1+[∑C(-1)(n-)coy(2ax-)"y1+Rk, R, (ki 2ck s(n+T( 当x=1时,5=1,对任意y∈(-,+∞),R4→0(k→∞)显然成立; 当04x-1k时 2 于是对任意y∈(-∞,+∞),有 352 Rk Is (k+1) (k+1)!=0(k+1-) k+1-j) I5I |x-1+-/lyP 因此也成立R4→0(k→∞) 6.利用 Taylor公式近似计算89620(展开到二阶导数)。 解考虑f(x,y)=(9+x)2+在0.0)点的 Taylor公式 f(x,y)=81+18X+81ln9y+x2+(9+18n9)x+01n29y2+R2(x,y), 于是 8.9620=f(-0.04,003)≈81+18(-0.04)+8l9.0.03
其中 1 ( ) ( ) ( 1)! 1 n x y n x y e n R + + + + = θ 。 5. 设 , 0 cos ( , ) = x > x y f x y 。 （1） 求 在 点的 Taylor 展开式（展开到二阶导数），并 计算余项 ； f (x, y) (1,0) R2 （2） 求 在 点的k 阶 Taylor 展开式，并证明在 点的某 个领域内，余项 满足当 f (x, y) (1,0) (1,0) Rk k → ∞时，Rk → 0。 解 （1） 2 2 2 2 1 f (x, y) = 1− (x −1) + (x −1) − y + R ， 3 2 1 ( 1) (1 ( 1), 3! R x y f x ) x y θ θ y ⎡ ⎤ ∂ ∂ = − + + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ 3 2 2 4 3 2 cos sin cos sin ( 1) ( 1) ( 1) 2 6 3 x x y x y y η η η ξ ξ ξ = − − − − + − + η ξ ， 其中ξ = 1+θ (x −1) ，η = θ y ，0 < θ < 1。 （2） ∑ ∑ = − − = = + − − − + n j k j n j n j j n k n x y R j C n j n f x y 1 0 )( 1) ] 2 ( 1) ( )!cos( ! 1 ( , ) 1 [ π ， ∑ + = + − − + + − + − + − + − + = 1 0 1 2 1 1 )( 1) 2 cos( 1 ( 1) ( 1 )! ( 1)! 1 k j k j j k j j k j k k x y j C k j k R η π ξ 。 当 x = 1时，ξ = 1，对任意 y ∈ (−∞,+∞)，Rk → 0 (k → ∞) 显然成立； 当 3 1 0 <| x −1|< 时， 3 4 3 2 < ξ < ， 2 1 1 < − ξ x ，于是对任意 y ∈ (−∞,+∞)，有 ∑ + = + − − + + − − + − + + ≤ 1 0 1 2 | 1| | | | | 1 ( 1 )! !( 1 )! ( 1)! ( 1)! 1 | | k j k j j k j k k j x y j k j k k R ξ j k j k j y x j + − + = ∑ − = 1 1 0 1 ! 1 1 ξ ξ j j k x y j x ∑ ∞ = + − − ≤ 0 1 ! 1 1 1 1 ξ ξ ξ 1 1 1 1 − + − = x k y e x ξ ξ ξ ， 因此也成立 → 0（ ）。 Rk k → ∞ 6. 利用 Taylor 公式近似计算8.962.03（展开到二阶导数）。 解 考虑 2 ( , ) (9 ) y f x y x + = + 在(0,0)点的 Taylor 公式: 2 2 2 2 81 ( , ) 81 18 81ln 9 (9 18ln 9) ln 9 ( , ) 2 f x y = + x + y + x + + xy + y + R x y ， 于是 2.03 8.96 = f ( 0− .04,0.03) ≈ + 81 18(−0.04) + 81ln9⋅0.03 2
+(-0.04)2+(9+18n9)(004)0.03+81/2ln2(9)-0.032 ≈8574。 7.设f(x,y)在R2上可微。l与l2是R2上两个线性无关的单位向量(方 向)。若 (x,y)≡0,i=1,2, l 证明:在R2上f(x,y)=常数 证设l=(cosa,sina),l2=(cosa2sina2)。由于f(x,y)在R2上可微, f (x, y)=f(x, y)cosa,+f(x, y)sina,=0 (,y)=f(x, y)cos a,+f(x, y)sina,=0 因为与l2线性无关,所以 0a4sna|≠0, 因此上面的线性方程组只有零解,即 (x,y)≡0,J(x,y)=0。 于是由推论12.3.1知道f(x,y)≡常数。 8.设f(x,y)=sn2(x≠0),证明 f(x,y)≡0,k≥1。 证因为 所以当k>1时成立 f(x,y)=x
2 2 +(-0.04) +(9+18ln9)⋅ ⋅ (-0.04) 0.03+81/2⋅ln (9)⋅0.032 ≈85.74。 7．设 f (x, y)在 2 R 上可微。l1与l2 是 2 R 上两个线性无关的单位向量（方 向）。若 ( , ) ≡ 0 ∂ ∂ x y l f i ， i = 1,2 ， 证明：在 2 R 上 f (x, y) ≡ 常数。 证 设 1 1 1 l = (cosα ,sinα ) 2 2 2 (cos ,sin )。由于 f (x, y)在 2 ，l = α α R 上可微， 1 1 1 ( , ) ( , ) cos ( , )sin 0 x y f x y f x y f x y l α α ∂ = + ∂ ≡ ， 2 2 2 ( , ) ( , ) cos ( , )sin 0 x y f x y f x y f x y l α α ∂ = + ∂ ≡ 。 因为l1与l2 线性无关，所以 1 1 2 2 cos sin 0 cos sin α α α α ≠ ， 因此上面的线性方程组只有零解，即 ( , ) 0 x f x y ≡ ， ( , ) 0 y f x y ≡ 。 于是由推论 12.3.1 知道 f (x, y) ≡ 常数。 8．设 x y f (x, y) = sin （ x ≠ 0），证明： ( , ) ≡ 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ f x y y y x x k ，k ≥ 1。 证 因为 2 1 ( , ) cos cos 0 y y y x y f x y x y x y x x x x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⋅ ≡ , 所以当k >1时成立 ( , ) k x y f x y x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∂ 1 ( , ) 0 k x y x y f x y x y x y − ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ≡ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ 。 3
习题12.4隐函数 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数 求 d y 2) 求 d y (3)mx2+y2= arctan 2,求 (4) arctan+y-y=0,求 d y和 x d (5)x=hn三,求2和 y (6)c2-xz=0,求,,和 求,,9和 axon (8)(x+y+:+x)=0,求和; 求 (10)f(x,x+y,x+y+z)=0, a求 和aa 和 解(1)设F(x,y)=siny+e2-x2=0,则 d y F dx F cos y-2xy (2)设F(x,y)=x2-y2=0,则 dx F. x(y x-x 注本题也可先在等式x=y2两边取对数,然后设 G(x, y)=yInx-xIn y=0 (3)设F(x,y)=hyx2+y2-acan2=0,则 ￠,F_x F xyy
习 题 12.4 隐函数 1． 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数： （1）sin y + ex − xy 2 = 0，求 x y d d ； （2） x y = y x ，求 x y d d ； （3） x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 x y d d ； （4）arctan − = 0 + a y a x y ，求 x y d d 和 2 2 d d x y ； （5） ln x z z y = ，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （6）ez − xyz = 0，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 ； （7） z 3 − 3xyz = a 3 ，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 ； （8） f (x + y, y + z,z + x) = 0，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （9） z = f (xz,z − y) ，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ 和 2 2 x z ∂ ∂ ； （10） f (x, x + y, x + y + z) = 0，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 解 （1）设 ，则 2 ( , ) sin 0 x F x y = +y e − xy = 2 cos 2 x x y dy F y e dx F y xy − = − = − 。 （2）设 ( , ) 0，则 y x F x y = − x y = ( ln ) ( ln ) x y dy F y x y y dx F x y x x − = − = − 。 注 本题也可先在等式 x y = y x 两边取对数，然后设 G x( , y) =−= y ln x x ln y 0。 （3）设 2 2 ( , ) ln arctan 0 y F x y x y x = + − = ，则 x y dy F x y dx F x y + = − = − 。 4
(4)设F(x,y)= arctan+y-y=0,则 Fy( d( dy [a2+(x+y)]。 x (5)设F(x,y,)=--ln二=0,则 F ay F. y (6)设F(x,y,z)=e-xz=0,则 F F x2 (7)设F(x,y,)=x3-3xz-a3=0,则 = F yz az Fyxc Ox F Oy F az x a- (8)由f(x+y,y+x,x2+x)=0即可得到
（4）设 ( , ) arctan 0 x y y F x y a a + = − = ，则 2 2 ( ) x y dy F a dx F x y = − = + ， 2 2 2 3 2 1 ( ) d y d dy a dy dx dx dx x y dx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎠ = = ⎜ ⎟ − ⎜ + ⎝ ⎠ + ⎝ 2 2 2 5 2 [ ( ) ( ) a a x y x y = − + + + ]。 （5）设 ( , , ) ln 0 x z F x y z z y = − = ，则 x z z z F x F x z ∂ = − = ∂ + ， 2 ( ) y z z z F y F y x z ∂ = − = ∂ + 。 （6）设 F x( , y,z) = 0 z e − xyz = ，则 x z z z y F z x F e xy ∂ = − = ∂ − y z z z x F z y F e xy ∂ = − = ∂ − ， ， 2 2 z z x x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 2 ( ) z z z y z yz z e y e xy x e xy x ∂ ∂ ⎛ ⎞ = ⋅ − ⎜ ⎟ − − ∂ − ⎝ ⎠ ∂ 2 2 2 ( ) z y z e xy = − 3 2 2 (e xy) y z e z z − − ， 2 z z x y x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 2 1 ( ) z z z z xz z z x e y e xy x e xy x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = + ⎜ ⎟ − ⎜ − ∂ ⎝ ⎠ − ⎝ ∂ ⎞ − ⎟ ⎠ z z e xy = − 2 ( ) 2 e xy xyz z − + 3 2 (e xy) xyz e z z − − 。 （7）设 3 3 F( , x y,z) = z − − 3xyz a = 0，则 x z z F x F ∂ = − ∂ 2 yz z xy = − ， y z z F y F ∂ = − ∂ 2 xz z xy = − ， 2 2 z z x x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 2 2 2 2 ( ) y z yz z z y z xy x z xy x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ∂⎝ ⎠ − ⎝ ∂ ⎠ − ＝ 2 3 3 ( ) 2 z xy xy z − − ， 2 z z x y x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 2 2 2 1 2 ( ) z xz z z x z y z xy x z xy x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = + ⎜ ⎟ − ⎜ − ∂ ⎝ ⎠ − ⎝ ∂ ⎞ − ⎟ ⎠ ＝ 2 3 5 3 2 2 ( ) 2 z xy z xyz x y z − − − 。 （8）由 f (x + y, y + z,z + x) = 0即可得到 5