习题12.6无条件极值 1.讨论下列函数的极值: (1)f(x,y)=x4+2y-2x2-12y2+6; (2)f(x,y)=x2+y2-x2-2xy-y (3)f(x,y,z)=x2+y2 (4)f(x,y)=(y-x2)(y-x4); (5)f(x,y)=x++b,其中常数a>0,b>0 (6)f(xy,)=x++,2 (x,y,z>0) 解(1)先求驻点。由 f=4x3-4x=0 1=8y2-24y=0 解得 x=0,±y=0,±3 即函数有9个驻点。再由fn=4(3x2-1),fn=0,f=240y2-1),可知 H=96(3x2-1)(y2-1)。 应用定理1262。驻点(00),(1,√3),(1-√3),(-1,√3),(-1,-√3)满 足H>0,所以是极值点,而其余驻点不是极值点。再根据∫的符号, 可知函数在(00)点取极大值6;在(,√3),(,-√3),(-1,√3),(-1,-√3)四 点取极小值-13。 注本题可使用配方法得到 f(x,y)=(x2-1)2+2(y2-3)2-13, 由此易知(,y3),(1-√3),(-1,√3),(-1,-√3四点为函数的最小值点, 最小值为-13,函数无最大值,(00点为函数的极大值点,极大值为6。 (2)先求驻点。由
习题 12.6 无条件极值 1． 讨论下列函数的极值： （1） f (x, y) = x 4 + 2y 4 − 2x 2 −12y 2 + 6； （2） f (x, y) = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 ； （3） f (x, y,z) = x 2 + y 2 − z 2 ； （4） f (x, y) = ( y − x 2 )( y − x 4 )； （5） y b x a f x y xy 3 3 ( , ) = + + ，其中常数a > 0, b > 0； （6） y z z x y f x y z x 2 ( , , ) = + + + （ x, y,z > 0）。 解 (1) 先求驻点。由 3 3 4 4 0 8 24 x y f x x f y y ⎧⎪ = − = ⎨ ⎪ = − = ⎩ 0 ， 解得 x y = ± 0, 1; = ± 0, 3 ， 即函数有 9 个驻点。再由 2 4(3 1) xx f = x − ， 0 xy f = ， 2 24( 1) yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 96(3 1)( y −1)。 应用定理 12.6.2。驻点(0,0) ，(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)满 足H > 0，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据 xx f 的符号， 可知函数在(0,0) 点取极大值6；在(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四 点取极小值−13。 注 本题可使用配方法得到 2 2 2 2 f x( , y) = − (x 1) + 2( y − 3) −13， 由此易知(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四点为函数的最小值点， 最小值为−13，函数无最大值，(0,0) 点为函数的极大值点，极大值为6。 （2）先求驻点。由 145
f2=4x3-2x-2y=0 1=4y-2x-2y=0 两式相减,可解得x=y=0,±1,即驻点为(0,0),(1.1),(-1-1)三点。再 由fn=12x2-2,fn=-2,fy=12y2-2,可知 H=4(6x2-1)6y2-1 应用定理12.62。驻点(1),(-1,-1)满足H>0,所以是极值点,再 根据∫的符号,可知函数在(,1),(-1-1)两点取极小值-2 在(00)点,有H=0,且f(0,0)=0。由于f(x,x)=2x2(x2-2), f(x,-x)=2x4,可知函数在(00)点附近变号,所以(0,0)不是极值点。 (3)先求驻点。由 解得(0,0.0)是唯一的驻点。由f(0,0,0)=0,f(x,y,0)=x2+y2 f(0,0,)=-2,可知函数在(0,0,0)点附近变号,即(0,0,0)不是极值点 所以函数无极值点 注对于二次多项式f(x),x∈R",它的 Hesse矩阵H是常数矩 阵,我们有如下结论 设x为f(x)的驻点,则由f(x)-f(x)=(x-x)H(x-x)可知 (a)f(x)为最小值的充分必要条件是H为半正定矩阵 (b)f(xn)为最大值的充分必要条件是H为半负定矩阵 (c)f(x)不是极值的充分必要条件是H为不定矩阵 本题由于函数f(x,y,)的Hese矩阵为不定矩阵,所以(0.0,0)不是 f(x,y,)的极值点
3 3 4 2 2 4 2 2 x y f x x y f y x y ⎧⎪ = − − = ⎨ ⎪ = − − = ⎩ 0 0 ， 两式相减，可解得 x y = = 0,±1，即驻点为(0,0) ，(1,1)，(−1,−1)三点。再 由 f xx = − 12x 2 2， f xy = −2， 2 12 2 yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 4(6 1)(6y −1) − 4。 应用定理 12.6.2。驻点(1,1)，(−1,−1)满足 ，所以是极值点，再 根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在(1,1)，(−1,−1)两点取极小值−2。 在 (0,0) 点，有 H = 0 ， 且 f (0,0) = 0 。由于 f x( , x) = − 2x 2 2 (x 2) ， 4 f ( , x x − =) 2x ，可知函数在(0,0) 点附近变号，所以(0,0) 不是极值点。 （3）先求驻点。由 2 0 2 0 2 0 x y z f x f y f z ⎧ = = ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎩ = − = ， 解 得 (0,0,0) 是唯一的驻点。由 f (0,0,0) = 0 ， 2 ( , ,0) 2 f x y = + x y ， 2 f (0,0,z) = −z 0 ) ，可知函数在 点附近变号，即( 不是极值点， 所以函数无极值点。 (0,0,0) 0,0,0) 注 对于二次多项式 ， ，它的 Hesse 矩阵 H 是常数矩 阵，我们有如下结论： f (x) n x ∈ R 设 x0为 f (x)的驻点，则由 f f (x) − = (x0 0 ) ( ) x x − T H (x x − 可知 （a） f (x0 )为最小值的充分必要条件是 H 为半正定矩阵； （b） f (x0 )为最大值的充分必要条件是 H 为半负定矩阵； （c） f (x0 )不是极值的充分必要条件是 H 为不定矩阵。 本题由于函数 的 Hesse 矩阵为不定矩阵，所以 不是 的极值点。 f x( , y,z) (0,0,0) f x( , y,z) 146
(4)先求驻点。由 )=0 f,=2 解得x=y=0;x=土1y=1;x=一片,y=,即驻点为(0.0),(1),(-1) 28初(亚3五点。再由f=30x-=2x=4x, Jy=2,可知 H=2(30x2-12yx2-2y)-(2x+4x2)2。 应用定理1262。驻点 8,(-y,3)满足H>0,所以是极值点, 再根据f的符号,可知函数在 y、23取极小值-1。 3 在(1,1),(-,1)点H<0,所以(1,1),(-1,1)不是极值点。 在(00)点H=0,且f(0,0)=0。由于f(x,x2)=-x(1-x)2,易知函数在 (00)点附近变号,所以(00)不是极值点。 (5)先求驻点。由 b 0 解得(ab是唯一的驻点。再由fx fy,=l, f= 2b可知 H 应用定理12.62。由于在驻点 ba有H>0,再根据的符号 147
（4）先求驻点。由 4 2 2 4 2 (3 2 ) 0 2 0 x y f x x yx y f y x x ⎧⎪ = − − ⎨ ⎪ = − − = ⎩ = ， 解得 x y = = 0 ; x = ± = 1, y 1 ; 1 , 2 8 x = ± y = 3 ，即驻点为(0,0) ，(1,1)，( 1− ,1) ， ) 8 3 , 2 2 ( 和 ) 8 3 , 2 2 (− 五点。再由 4 2 30 12 2 xx f x = − yx − y ， 3 2 4 xy f = − x − x ， f yy = 2，可知 4 2 H x 2(30 12yx 2y) 3 2 = − − − + (2x 4x ) 。 应用定理 12.6.2。驻点 ) 8 3 , 2 2 ( ， ) 8 3 , 2 2 (− 满足 ，所以是极值点， 再根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在 ) 8 3 , 2 2 ( ， ) 8 3 , 2 2 (− 取极小值 1 64 − 。 在(1,1)，( 1− ,1) 点H < 0，所以(1,1)，( 1− ,1) 不是极值点。 在(0,0) 点H = 0，且 f (0,0) = 0。由于 3 5 ( , ) (1 ) 2 f x x = −x − x ，易知函数在 (0,0) 点附近变号，所以(0,0) 不是极值点。 （5）先求驻点。由 3 2 3 2 0 0 x y a f y x b f x y ⎧ = − = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = − = ⎪⎩ ， 解得 2 2 , a b b a ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟是唯一的驻点。再由 3 3 2 xx a f x = ， 1 xy f = ， 3 3 2 yy b f y = ，可知 3 3 3 3 4 1 a b H x y = − 。 应用定理 12.6.2。由于在驻点 2 2 , a b b a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 有H > 0，再根据 xx f 的符号， 147
可知函数在(,)点取极小值3b。 (6)先求驻点。由 f y 12 解得唯一的驻点2,2,2H。由于函数在2,2,2点的Hese矩阵 22-21是正定的,所以函数在(232)取极小值42 设f(x,y,)=x2+3y2+22-2x+2x,证明函数f的最小值为0 证先求驻点。由 f2=2x-2y+2z=0 f,=6y f 解得唯一驻点(0),由于函数在(00)点的Hese矩阵-260是 正定的,所以函数在(0,0,0)点取极小值f(0,0,0)=0。 注本题可使用配方法得到 f(x,y,z)=(x-2y)2+(x+2=)2+y2, 由此可知函数在(0,0,0)点取最小值f(0,0,0)=0 3.证明函数f(x,y)=(1+e”)cosx-ye有无穷多个极大值点,但无极小值 点 证由 f(x,y)=-1+e) x=0 f(x, y)=e cosx(+y)e'=0 148
可知函数在( , ) 2 2 a b b a 点取极小值3ab。 （6）先求驻点。由 2 2 2 1 0 1 0 1 2 0 x y z y f x z f x y f y z ⎧ ⎪ = − = ⎪ ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ ⎪ = − = ⎩ ， 解得唯一的驻点 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 。由于函数在 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 点的 Hesse 矩阵 3 1 4 2 1 1 2 4 1 1 1 4 2 2 0 2 2 2 0 2 2 − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ − ⎟是正定的，所以函数在(2 ,2 ,2 ) 4 3 2 1 4 1 取极小值 1 4 4 2⋅ 。 2．设 f (x, y,z) = x 2 + 3y 2 + 2z 2 − 2xy + 2xz，证明函数 f 的最小值为0。 证 先求驻点。由 2 220 6 2 0 4 2 0 x y z f x y z f y x f z x ⎧ =−+ = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎩ = + = ， 解得唯一驻点 ，由于函数在( 点的 Hesse 矩阵 是 正定的，所以函数在 点取极小值 (0,0,0) 0,0,0) 2 2 2 2 6 0 2 0 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (0,0,0) f (0,0,0) = 0。 注 本题可使用配方法得到 1 1 2 2 ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 1 2 2 f x y z = −x y + x + z + y ， 由此可知函数在(0,0,0)点取最小值 f (0,0,0) = 0。 3. 证明函数 有无穷多个极大值点，但无极小值 点。 y y f (x, y) = (1+ e )cos x − y e 证 由 ( , ) (1 e )sin 0 ( , ) e cos (1 ) e 0 y x y y y f x y x f x y x y ⎧⎪ = − + = ⎨ ⎪ = − + = ⎩ ， 148
解得x=kx,y= cos kz-1,所以驻点为 kr, cos kn-1),k=0,±1,±2, 由fn=-(1+e")cosx,fn=-e'sinx,fn=e'cosx-(2+y)e",可知在 驻点(kz,cosk-1)处, H=cos k(l+e )e 所以当k为奇数时H<0,(kz, cos kT-1)不是极值点;当k为偶数时 H>0,再由f<0,可知(kz, cos kT-1)是极大值点。所以函数有无穷 多个极大值点,但无极小值点 4.求函数f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域 D={(x,y)x≥0,y≥0,x+y≤2} 上的最大值与最小值 解由 f = cos x-cos(x+y)=0 f =cos y-cos(x+y)=0 得到cosx=cosy=cos(x+y)。在D={(x,y)|0<xy<x+y<2r}上考虑, 得到x=y=2y,0(3是函数在区域内部唯一的生点,由 于在区域边界上,即当x=0或y=0或x+y=2x时,有f(x,y)=0,而在 区域内部唯一的驻点上取值为(A20,根据闭区域上连续 函数的性质,可知函数的最大值为/=33,最小值为=0 5.在o上用怎样的直线ξ=ax+b来代替曲线y=x2,才能使它在平 方误差的积分 J(a, 6)= [(-分)d 为极小意义下的最佳近似 解(ab)=[(x2-ax-b)2dk a (a2-2b)+ab+b2 52 是ab的二次多项式,它的Hese矩阵3是正定的,所以有最小 值(见第1题(3)的注)。对参数a,b求导
解得 x k = π , y = cos kπ −1，所以驻点为 ( , kπ cos kπ −1) ，k = 0,± ± 1, 2,"。 由 f xx = −(1+ ey ) cos x， sin y xy f = −e x， e cos (2 ) e y y yy f = −x + y ，可知在 驻点( , kπ cos kπ −1) 处， cos (1 ) y y H k = π + e e ， 所以当 k 为奇数时H < 0，( , k k π cos π −1) 不是极值点；当 k 为偶数时 H > 0，再由 0 xx f < ，可知( , k k π cos π −1) 是极大值点。所以函数有无穷 多个极大值点，但无极小值点。 4．求函数 f (x, y) = sin x + sin y − sin(x + y)在闭区域 D = {(x, y)| x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2π} 上的最大值与最小值。 解 由 cos cos( ) 0 cos cos( ) 0 x y f x x y f y x y ⎧⎪ = − + = ⎨ ⎪ = − + = ⎩ ， 得到cos x = = cos y cos(x + y) 。在D = < {( , x y)| 0 x y, < x + y < 2π} D 上考虑， 得到 x = = y 2π − x − y ，即 2 2, 3 3 π π ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 是函数在区域内部唯一的驻点。由 于在区域边界上，即当 x = 0或 y = 0或 x y + = 2π 时，有 ，而在 区域内部唯一的驻点上取值为 f x( , y) = 0 2 2 3 3 ( , ) 3 3 2 f π π = > 0，根据闭区域上连续 函数的性质，可知函数的最大值为 2 3 3 fmax = ，最小值为 fmin = 0。 5．在[0,1]上用怎样的直线ξ = ax + b 来代替曲线 ，才能使它在平 方误差的积分 2 y = x ∫ = − 1 0 2 J (a,b) ( y ξ) dx 为极小意义下的最佳近似。 解 1 2 2 0 J a( ,b) = − (x ax −b) dx ∫ 1 1 2 2 ( 2 ) 523 a = − + a b − + ab + b 是a,b的二次多项式，它的 Hesse 矩阵 2 1 3 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ 是正定的，所以有最小 值（见第 1 题（3）的注）。对参数a,b求导， 149