复旦大学：《数学分析》教材习题全解（下册）第十一章 Euclid空间上的极限和连续 习题 11.2 多元连续函数

习题11.2多元连续函数 1.确定下列函数的自然定义域: (1)u=ln(y-x)+ (2)u=-+-+ (3)u=√R y (R>r) (4)u=arcsin 解()D=(xx+y2<1,y>x D=(xy=)x>0y>0.z>0} (3)D=(xy2≤x +y2+2≤R2 (4)D=kxy-列5x2+y2x2+y2≠0 2.设 0),求f(x)。 解因为 所以 f(x)= 3.若函数 z(x,y)=y+f(√x-1), 且当y=4时z=x+1,求f(x)和x(x,y) 解由(x,4)=√4+f(x-1)=x+1,可得 f(√x-1) 所以 f(x)=(x+1)2-1 4.讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在

习题 11.2 多元连续函数 1. 确定下列函数的自然定义域： （1） 2 2 1 ln( ) x y x u y x − − = − + ； （2） x y z u 1 1 1 = + + ； （3） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 u = R − x − y − z + x + y + z − r R > r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 解 (1) D = {(x, y) x + y < 1, y > x} 2 2 。 (2) D = { } (x, y,z) x > 0, y > 0,z > 0 。 (3) { } 2 2 2 2 2 D = (x, y,z) r ≤ x + y + z ≤ R 。 (4) {( , , ) , 0} 2 2 2 2 D = x y z z ≤ x + y x + y ≠ 。 2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0)，求 f (x)。 解 因为 3 2 2 3/ 2 3 2 2 1 ( ) 1 y x f x x y y x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ， 所以 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x + = 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1)， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x)和 z(x, y)。 解 由 z( , x f 4) = + 4 ( x −1) = x +1，可得 2 f x ( 1− =) x −1 = ( 1 x − +1) −1， 所以 2 2 f ( ) x x = + ( 1) −1 = x + 2x , z(x, y) = x + y −1。 4． 讨论下列函数当(x, y)趋于(0,0) 时的极限是否存在： 1

(1)x,以x-y (2)f(x,y) (3)f(x,y)= 0<y<x (4)f(x,y) 0其它点 解(1)由于f(x,k)=x=1-依赖于k,所以当(x,y)趋于(0)时函 x+kx 1 数极限不存在 (2)f(x,kx)= 依赖于k,所以当(x,y)趋于(0.0时函数 (kx)21+k 极限不存在 (3)由于f(x,x)=1,所以当(x,y)沿曲线y=趋于(00)时,函数极 限为1,而当(x,y)沿x轴趋于(0.0)时,函数极限为0,所以当(x,y)趋 于(0,0)时函数极限不存在 (4)利用平均值不等式 可得 If(x,y)Fx+ xy|3→>0,(x,y)→(0,0) Lay 所以当(x,y)趋于(0,0)时函数极限存在且为0。 对多元函数证明极限唯一性,局部有界性,局部保序性和局部 夹逼性 证(1)假设imf(x)=A,imf(x)=B,则vE>0, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|f(x)-4|kE 362>0,x(04x-x0k2):|f(x)-BkE 取δ=min{61,2}>0,当04x-x0kδ,成立 IA-Bksf(x)-A+lf(x)-Bk 由于E为任意正数,所以A=B,即极限唯 (2)假设limf(x)=A,则对于E=1, x→x

（1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ < < = 0 ; 1, 0 , ( , ) 2 其它点 y x f x y 4 8 3 3 ( , ) x y x y f x y + = 。 解（1）由于 1 ( , ) 1 x kx k f x kx x kx k − − = = + + 依赖于 k，所以当 趋于 时函 数极限不存在。 (x, y) (0,0) （2） 2 2 2 ( , ) ( ) 1 kx k f x kx 2 x kx k = = + + 依赖于 k，所以当 趋于 时函数 极限不存在。 (x, y) (0,0) （3）由于 2 ( , ) 1 2 x f x = ，所以当(x, y)沿曲线 2 2 x y = 趋于 时，函数极 限为 1，而当 沿 x 轴趋于 时，函数极限为 0，所以当 趋 于 时函数极限不存在。 (0,0) (x, y) (0,0) (x, y) (0,0) （4）利用平均值不等式 = + 3 4 8 x y 3 8 8 4 4 8 4 1 3 2 1 2 1 x y x x y ≥ + + ， 可得 3 3 3 3 3 1 3 4 8 8 3 | | 4 | | 4 | ( , ) | | | 3 3 | | x y xy f x y xy x y xy = ≤ = + → 0,((x y, ) → (0,0)) ， 所以当(x, y)趋于(0,0) 时函数极限存在且为 0。 5． 对多元函数证明极限唯一性，局部有界性，局部保序性和局部 夹逼性。 证 （1）假设 f (x)=A, f (x)=B，则 0 lim x→x 0 lim x→x ∀ε > 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − B |< ε 。 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | A B− |≤ − | ( f x) A| + | ( f x) − B |< 2ε ， 由于ε 为任意正数，所以 A=B，即极限唯一。 （2）假设 f (x)=A,则对于 0 lim x→x ε =1， 2

36>0,x(0<x-x0k<):|f(x)-4|k1, 即 ∫(x)A|+1。 所以f(x)在x0点的某个去心领域有界。 (3)设imf(x)=A>limg(x)=B,则对于=4-B>0, 31>0.,Vx(04x-x0ka):|f(x)-AkE, 即 A+B f(x)>A 2 又 d2>0,Vx(04x-x0kO2):|8(x)-Bk 即 a+ g(xr)<B+8 取δ=min{6,62}>0,当04x-xkδ,成立局部保序性 a+B f(x) (4)假定存在p>0,使当0<x-xkp时成立 (x)≤f(x)≤h(x) 且limg(x)=limh(x)=A vE>0,由limh(x)=A, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|h(x)-AkE, 所以 h(x)<A+ 又由lmg(x)=A 362>0,x(04x-x0k2):|g(x)-AkE, 所以 g(x)>A-a 取δ=min{,,2}>0,当04x-xk8,成立 A-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E 即Iimf(x)=A 6.对多元函数证明极限的四则运算法则:假设当x趋于x时函 数f(x)和g(x)的极限存在,则 (1)limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x);

0 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< 1， 即 | ( f x) |<| A| +1。 所以 f (x)在 x 0点的某个去心领域有界。 (3) 设 f (x)=A> g (x)=B，则对于 0 lim x→x 0 lim x→x 0 2 A B ε − = > ， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 即 ( ) 2 A B f A ε + x > − = 。 又 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − B |< ε ， 即 ( ) 2 A B g B ε + x < + = 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立局部保序性： ( ) ( ) 2 A B g f + x < < x 。 (4)假定存在ρ > 0 ，使当 0 0 | < − x x |< ρ 时成立 g f ( ) x x ≤ ( ) ≤ h(x)， 且 g (x) = h (x)=A。 0 lim x→x 0 lim x→x ∀ > ε 0 , 由 h (x)=A， 0 lim x→x 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( h x) − A |< ε ， 所以 h( ) x < A+ ε 。 又由 g (x) =A， 0 lim x→x 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − A|< ε ， 所以 g( ) x > A−ε 。 取δ ρ = > min{ ,δ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 A g − < ε ( ) x x ≤ f ( ) ≤ h( ) x < A+ ε ， 即 f (x)=A。 0 lim x→x 6． 对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当 x 趋于 x 时函 数 f (x)和 g (x)的极限存在，则 0 （1） f (x)±g (x)) = f (x)± g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 3

(2)lim(f(x) g(x))=lim f(x); lim g(x); 3)lim (f(x)/g(x))=lim f(xr)/lim g(x)( lim g(x)=0) 证假设imf(x)=A,img(x)=B。则对任意E>0, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|f(x)-4|kE 82>0,Vx(0<x-xok52): 1g(x)-BK 取δ=min{a,}>0,当04x-x0kd,成立 (f(x)±g(x))-(A±B)图∫(x)-A+|g(x)-Bk2E, 所以(1)成立 由于g(x)在x有极限,所以g(x)在x局部有界,即存在正数Ⅹ 和8">0 04x-x0ka):|g(x)kX。取δ=min{,6,0}>0,当 0<x-x0kδ,成立 f(x)g(x)-ABksIf(x)g(x)-Ag(x)+ Ag(x)-ABl (X+A DE 所以(2)成立。 由于B≠0,VE0<g<|,3δ">0,x(04x-xk6"): g(xlB B 取δ=min{6”,,62}>0,当04x-xk,成立 I(x)A B((x)-A)-A(g(x)-B Bg(x) 2(4|+|B| IBI 所以(3)成立。 求下列各极限: (1) (2) 1+x2+ m y (3) lim (4)lim (xy)10)y1+x2+y2-1 (5) lim n(x+e (6) lim sin(x+y (x,y)(0,0) (x,y)→+(0.0)x-+y (7) 1-cos(x+y) (xy)00(x2+y2)x2y2 (8)lim(x2+y2)e-(x+y lim (1-xy) 解(1)lin (x,y)+(0,1)x-+ (x2+y2)

（2） (f (x) ·g (x)) = f (x)· g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （3） (f (x)／g (x)) = f (x)／ g (x) （ g (x) ≠ 0）。 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 证 假设 f (x)=A， g (x)=B。则对任意 0 lim x→x 0 lim x→x ε > 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − B |< ε ， 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | ( f g ( ) x x ± − ( )) (A± B) |≤| f (x) − A| + | g(x) − B |< 2ε ， 所以（1）成立。 由于 g (x)在 x 有极限，所以 g (x)在 x0局部有界，即存在正数 X 和 0 δ ' > 0 ， ∀x 0 (0 < − | x x |< δ '): | ( g x) |< X 。 取 δ δ = min{ ',δ 1 2 ,δ } > 0 ， 当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | f g ()( x x) − ≤ AB | | f g ()( x x) − Ag(x) | + | Ag(x) − AB | < + ( | X A|)ε ， 所以（2）成立。 由于 B≠0， 0 2 B ε ε ⎛ ⎞ ∀ < ⎜ ⎟ < ⎝ ⎠ ，∃δ " > 0， 0 ∀x x (0 < − | x |< δ ")： | | | ( ) | | | 2 B g B x > −ε ≥ 。 取δ δ = > min{ ",δ 1 2 ,δ } 0 ，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 ( ) ( ( ) ) (() ) ( ) ( ) f A B f A A g B g B Bg − − − − ≤ x x x x x 2 2(| | | |) | | A B B ε + < ， 所以（3）成立。 7． 求下列各极限： （1） 2 2 ( , ) (0,1) 1 lim x y xy x y + − → ； （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → ； （3） xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0,0) + − → ； （4） 1 1 lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) + + − + → x y x y x y ； （5） 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim 2 x y x e y x y + + → ； （6） 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → ； （7） 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( ) 1 cos( ) lim x y x y x y x y + − + → ； （8） 。 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + →+∞ →+∞ + 解 （1） ( , ) (0,1) 2 2 2 2 ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) lim (1 ) 1 lim 1 lim ( ) x y x y x y xy xy x y x y → → → − − = = + + 。 4

(2)lim(x2+y2)=0,lim(1+x2+y2)=1,所以 (3)1in√+x-1 4)x+m++=2 (5)ln(x2+e)=lm(+x2+e2-1)=x2+y2+o(y2)=x2+y2+o(x2+y2) 所以 lim (6) sin(x+y)x'yEx+ylx+y2-xyk21x+yllx2+y2I 所以 lim sin(x+y) 0。 x,y)→+(0x-+y (7)因为 1-cosx2+y)-(x2+y2)2(xy)→(020), (x2+y2xy21xyi’mo+1 所以 +1 cos(x"+y lim (xy)00)(x2+y2)x2y (xy)0)(x2+y)x (8)imn(x2+y)c)imn[(xe")e]+imn[oy2e)e-]=0 J→+ M→+ 8.讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限:

（2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim ( ) 0, lim (1 ) 1 x y x y x y x y → → + = + + = ，所以 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → = + ∞ 。 （3） ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 1 1 lim lim 1 1 x y x y xy → → xy xy + − = + + = 2 1 。 （4） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0) lim lim ( 1 1) 2 1 1 x y x y x y x y x y → → + = + + + + + − = 2 2 。 （5） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln( ) ln(1 1) ( ) ( ) y y x + = e x + + e − = x + y + o y = x + y + o x + y ， 所以 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim y x y x e → x y + = + 1。 （6） 3 3 3 3 2 2 2 2 | sin(x + y x ) |≤| + y |=| x + + y || x y − xy |≤ 2 | x + y || x + y |， 所以 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → =0。 （7）因为 ( ) 2 2 1 2 2 2 1 cos( ) ( ) ( , ) (0, 2 − + x y ∼ x y + x y → 0) ， 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) | | x y x y x y xy + ≥ + ( , ) (0,0) 1 lim x y → xy ， = +∞ ， 所以 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 cos( ) lim ( ) x y x y → x y x y − + = + 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 ( ) 2 lim ( ) x y x y → x y x y + = + + ∞。 （8） 2 2 ( ) 2 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 x y x y y x x x x y y y x y e x e e y e e − + − − − − →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + = ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 。 8． 讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限： 5