习题10.2一致收敛级数的判别与性质 1.讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 (1)∑(1-x)x", ∈ (2)∑(1-x)2x", x∈[0,1] (3)∑x x∈ (4) (i)x∈D+∞),(i)x∈[6,+∞)(8>0); 6)21+nx, x∈(-∞,+∞) sIn nx x∈(-∞,+∞) nel vn+x ∑(-1)“(1-x)x ∈[0,1 (8)∑ (9)∑ (i)x∈(0,+∞),(i)x∈[6+∞)(8>0); sIn xsin nx ∈ Nn ∈ (1+x2) 0D)∑(-1) x∈(-,+∞) 解(1)S(x)=∑(1-x=1-x1, 由于}在非一致收敛,所以∑(-x)x”在[上非一致收敛 (2)设un(x)=(1-x)2xn,则在0上 0≤ln(x)≤ln( 由于∑4收敛,由 Weierstrass判别法,∑u-x)x"在p上一致
习 题 10.2 一致收敛级数的判别与性质 1. 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 ⑴ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − 0 (1 ) n n x x ⑵ ∑ ， ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x x∈[0, 1]； ⑶ ∑ ， x∈ ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞)； ⑷ ∑ ， (i) x∈ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞)， (ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑸ ∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑹ ∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑺ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x ⑻ ∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x ， x∈(-∞, +∞)； ⑼ ∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x ， (i) x∈(0, +∞)，(ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑽ ∑ ∞ =1 sin sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑾ ∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑿ ∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x ， x∈(-∞, +∞)。 解（1） ∑ ， = = − n k k n S x x x 0 ( ) (1 ) 1 1 + = − n x 由于{ } n+1 x 在[0,1]非一致收敛，所以∑ 在 上非一致收敛。 ∞ = − 0 (1 ) n n x x [0,1] （2）设un (x) = (1− x) 2 x n ，则在[0,1]上 ) 2 0 ( ) ( + ≤ ≤ n n u x u n n 2 ( 2) 4 + < n ， 由于 ∑ ∞ =0 + 2 ( 2) 4 n n 收敛，由 Weierstrass 判别法，∑ 在 上一致 ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x [0,1] 1
收敛。 (3)设n(x)=x2e-n2,则当n≥1时,在[0+∞)上 K 0≤un(x)≤ln() 其中k=30。由于豆收缴,由Wsy别法,c在 [0,+∞)上一致收敛。 (4)()设un(x)=xe-m,对任意的正整数N,取m=2n(n>N)与xn= [0, 则 ∑uk(xn)=xne (n+1)x+x.a-(n+2)x2 +…x.e-2mn>nx,e-2m 所以∑xem不满足 Cauchy收敛原理的条件,由此可知∑xem在 [0,+∞)上非一致收敛 设 则当 n> 时,un(x)关于x在[,+∞)上单调减少 26 所以 0≤un(x)≤d 由于∑e收敛,由 Weierstrass判法,∑xe在,+∞)上一致收 敛。 (5)设u21+n+,则当n21时,p(x)5’由于1收敛, 由 Weierstrass判别法,∑,在(-,+)上一致收敛 (6)设u()=一,则当n21时,(x≤,由于∑收敛, Vn+x
收敛。 （3）设 ，则当 时，在 2 3 ( ) nx n u x x e− = n ≥ 1 [0,+∞)上 ) 2 3 0 ( ) ( n ≤ un x ≤ un 2 3 n K = ， 其中 2 3 4 3 6 − K = e 。由于 ∑ ∞ =0 2 3 n n K 收敛，由 Weierstrass 判别法，∑ 在 上一致收敛。 ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞) （4）(i) 设 ，对任意的正整数 N，取 2 ( ) nx n u x xe− = m = 2n (n > N)与 n xn 1 = ∈[0,+∞) ，则 ∑ = = + m k n k n u x 1 ( ) + − + 2 ( 1) n n x n x e + + − + " 2 ( 2) n n x n x e > − 2 2nxn n x e 2 2nxn n nx e− = → +∞ −2 ne (n → ∞)， 所以 不满足 Cauchy 收敛原理的条件，由此可知 在 上非一致收敛； ∑ ∞ = − 0 2 e n nx x ∑ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞) (ii) 设 ，则当 2 ( ) nx n u x xe− = 2 2 1 δ n > 时，un (x)关于 x在[δ ,+∞)上单调减少， 所以 n n u x e 2 0 ( ) δ δ − ≤ ≤ ， 由于 ∑ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 在 ∞ = − 0 2 n n e δ δ ∑ ∞ = − 0 2 e n nx x [δ ,+∞)上一致收 敛。 （5）设 3 2 1 ( ) n x x u x n + = ，则当n ≥ 1时， 2 3 2 1 ( ) n u x n ≤ ，由于 ∑ ∞ =0 2 3 2 1 n n 收敛， 由 Weierstrass 判别法，∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （6）设 3 4 4 sin ( ) n x nx u x n + = ，则当n ≥ 1时， 3 4 1 ( ) n u x n ≤ ，由于 ∑ ∞ =0 3 4 1 n n 收敛， 2
由 Weierstrass判别法, a在(-∞+∞)上一致收敛 (7)设an(x)=(1-x)x",bn(x)=(-1)”,则{n1(x)对固定的x∈D关于n 是单调的,且在0上一致收敛于零,同时(x)1,由 Dirichlet 判别法,∑(-1)(1-x)x"在[0上一致收敛 (8)设an(x) ,bn(x)=(-1)",则an(x)}对固定的x∈(-∞,+∞)关于 n+x n是单调的,且在(=+2)上一致收敛于零,同时∑(x≤1,由 Dirichlet 判别法,∑(在(-+∞)上一致收敛 (9)(1)设un(x)=2sin,取xn= 3n(0,+∞),则 即2(x)在(+)上非一致收敛,所以∑2sin在(0+)上非一致收 敛; (i)设un(x)=2sin,则当x∈[,+)时, 3x 由于∑12)收敛,由 Weierstrass判别法,∑2"smn1在6+)上一致 收敛 (10)设a(x)=1,b(x)= sinxsinnx,由于a(x)与x无关且单调趋于
由 Weierstrass 判别法，∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （7）设an (x) = (1− x)x n，bn (x) = (−1) n，则{an (x)}对固定的 关于 是单调的，且在 上一致收敛于零，同时 x ∈[0,1] n [0,1] ( ) 1 0 ∑ ≤ = n k k b x ，由 Dirichlet 判别法，∑ 在 上一致收敛。 ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x [0,1] （8）设 2 1 ( ) n x a x n + = ，bn (x) = (−1) n，则{an (x)}对固定的 关于 是单调的，且在 上一致收敛于零，同时 x ∈ (−∞,+∞) n (−∞,+∞) ( ) 1 1 ∑ ≤ = n k k b x ，由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （9）(i) 设 x u x n n n 3 1 ( ) = 2 sin ，取 πn n x 3 2 = ∈ (0,+∞)，则 = → +∞ n n n u (x ) 2 ， 即{ } un (x) 在(0,+∞)上非一致收敛，所以∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x 在(0,+∞)上非一致收 敛； (ii) 设 x u x n n n 3 1 ( ) = 2 sin ，则当 x ∈[δ ,+∞)时， n n u x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ 3 1 2 ( ) δ ， 由于 n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ = 3 1 2 0δ 收敛，由 Weierstrass 判别法，∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x 在[δ ,+∞)上一致 收敛。 （10）设 n a x n 1 ( ) = ，b x x nx n ( ) = sin sin ，由于an (x)与 x无关且单调趋于 3
零,所以{an(x)对固定的x∈(-∞,+∞)关于n是单调的,且在(-∞,+∞)上 一致收敛于零,同时 ∑b(x xs2sin sin kx=cos l- cos(n+ o)x-cos<2 由 Dirichlet判别法,∑出x在(-∞,+∞)上一致收敛 m=2n0(1+1y2·取6了0,对任意的正整数N,取 (11)设un(x)= ∈(-∞,+∞) 则 n nX k=n+1 (1+x2)2n(1+x2)2n 所以∑ 不满足 Cauchy收敛原理的条件,由此可知 在 (1+x2) (-∞,+∞)上非一致收敛。 (12)设an(x)= bn(x)=(-1)”,则{n(x)}对固定的xe(-,+∞)关 (1+x2) 于n是单调的,且在(+)上一致收敛于零,同时∑(1,由 Dirichlet判别法,∑(-)”n3、在(-+)上一致收敛。 2.证明:函数f(x)=∑0在(0,2x)上连续,且有连续的导函数。 n2+1 证由于 coS nr ∑收敛,由 Weierstra9别法, cos nX 在(0,2z)上一致收敛,所以f(x)=∑在(O,2)上连续 设a(x)=∑(” S h 由于 单调趋于零,且对任 n=0n2+1 n=0n2+1 n-2+1 意的0<δ<丌,当x∈[6,2x-6]时, cosI n+-lx-coS SIn ≤ SIn
零，所以{an (x)}对固定的 x ∈ (−∞,+∞)关于 是单调的，且在 上 一致收敛于零，同时 n (−∞,+∞) ∑ = = n k k b x 1 ( ) ∑ = n k kx x x 1 sin 2 2sin 2 cos 2 2 ) cos 2 1 cos( 2 = cos ⋅ + − ≤ x n x x ， 由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ =1 sin sin n n x nx 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （11）设 n n x x u x (1 ) ( ) 2 2 + = ，取 0 1 2 0 = > e ε ，对任意的正整数 N，取 m = 2n (n > N)与 n xn 1 = ∈ (−∞,+∞)，则 ∑ = = + m k n k n u x 1 ( ) 2 1 2 (1 ) + + n n n x x + + + + 2 +2 " 2 (1 ) n n n x x n n n x x 2 2 2 (1+ ) n n n x nx 2 2 2 (1+ ) > 0 2 1 > = ε e ， 所以∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x 不满足Cauchy收敛原理的条件，由此可知∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x 在 (−∞,+∞) 上非一致收敛。 （12）设 n n x x a x (1 ) ( ) 2 2 + = ，bn (x) = (−1) n，则{an (x)}对固定的 关 于 是单调的，且在 上一致收敛于零，同时 x ∈ (−∞,+∞) n (−∞,+∞) ( ) 1 1 ∑ ≤ = n k k b x ，由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 2. 证明：函数 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续，且有连续的导函数。 证 由于 1 1 1 cos 2 2 + ≤ n + n nx ，∑ ∞ =0 +2 1 1 n n 收敛，由 Weierstraass 判别法，∑ ∞ =0 +2 1 cos n n nx 在(0,2π )上一致收敛，所以 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续。 设σ (x) = = + ∑ ∞ = )' 1 cos ( 0 2 n n nx ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx ，由于 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +1 2 n n 单调趋于零，且对任 意的0 < δ < π ，当 x∈ [δ ,2π − δ ]时， ∑= n k kx 1 sin = 2 2 sin 2 cos 2 1 cos x x n ⎟x − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ 2 sin 1 δ ， 4
由 Dirichlet判别法,可知-∑""在[6,2z-上一致收敛,即 -∑""在(02x)上内闭一致收敛,因此a(x)=-∑""在(0,2z) n=o n 上连续。再由逐项求导定理,可知f(x)=(x)在(0,2z)上成立,即 f(x)=∑2"在(0,2x)上有连续的导函数 6n2+1 3.证明:函数f(x)=∑ne在(+∞)上连续,且有各阶连续导函数 证对任意的0<a<4<+,当x∈,成立0<mem≤nem,且∑nem 收敛,由 Weierstra判别法,∑ne在4上一致收敛,即∑ne在 (0+∞)上内闭一致收敛,所以f(x)=∑me在(0,+∞)上连续。 设a(x)=∑(ne")=-∑ne,与上面类似可证明-∑nem在 (0+∞)上内闭一致收敛,因此a(x)=-∑n2e在(0,+∞)上连续。再由逐 项求导定理,可知f(x)=0(x)在(0+∞)上成立,即f(x)=∑ne在(0.+) 上有连续的导函数 注意到(-1)∑ne(k=1,2,…)在(0,+∞)上都是内闭一致收敛的, 所以上述过程可以逐次进行下去,由数学归纳法,可知f(x)=∑ne 在(0+∞)上有各阶连续导函数 4.证明:函数∑在(1,+∞)上连续,且有各阶连续导函数;函数 ∑在0+)上连续,且有各阶连续导函数 证设f()=2,对任意1<a<4+,当xe,成立0ns 且∑收敛,由 Weierstrass判别法,∑在[a4上一致收敛,即 n=I n ∑在1,+∞)上内闭一致收敛,所以(x)=∑在+)上连续。 n 又(1)=-mn,且对任意1<a<A<+,-m在小上一致收
由 Dirichlet 判别法，可知 ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在 [δ ,2π − δ ] 上一致收敛，即 ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在(0,2π )上内闭一致收敛，因此σ (x) = ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在(0,2π ) 上连续。再由逐项求导定理，可知 f '(x) = σ (x) 在(0,2π )上成立，即 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上有连续的导函数。 3. 证明：函数 ∑ 在 ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞)上连续，且有各阶连续导函数。 证 对任意的0 < a A < < +∞，当 x a ∈[ , A]，成立0 nx an ne ne − − < ≤ ，且 0 an n ne ∞ − = ∑ 收敛，由 Weierstraass 判别法， 在[ , 上一致收敛，即 在 0 nx n ne ∞ − = ∑ a A] 0 nx n ne ∞ − = ∑ (0,+∞)上内闭一致收敛，所以 0 ( ) nx n f x ne ∞ − = = ∑ 在(0,+∞)上连续。 设 σ (x) = 0 ( )' nx n ne ∞ − = ∑ = 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ ，与上面类似可证明 在 上内闭一致收敛，因此 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ (0,+∞) σ (x) = 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ 在(0,+∞)上连续。再由逐 项求导定理，可知 f '(x) = σ (x) 在(0,+∞)上成立，即 0 ( ) nx n f x ne ∞ − = = ∑ 在 上有连续的导函数。 (0,+∞) 注意到( 1) ( 1,2, )在 1 − ∑ 1 = " ∞ = + − n e k n k k nx (0,+∞)上都是内闭一致收敛的， 所以上述过程可以逐次进行下去，由数学归纳法，可知 在 上有各阶连续导函数。 ∑ ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞) 4. 证明：函数∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞) 上连续，且有各阶连续导函数；函数 ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在(0,+∞)上连续，且有各阶连续导函数。 证 设 f (x) = ∑ ∞ =1 1 n x n ，对任意1< a A < < +∞ ，当 x a ∈[ , A]，成立 1 1 0 x a n n < ≤ ， 且 1 1 a n n ∞ = ∑ 收敛，由 Weierstraass 判别法，∑ ∞ =1 1 n x n 在[ , a A]上一致收敛，即 ∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞)上内闭一致收敛，所以 f (x) = ∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞)上连续。 又 x x n n dx n d 1 ln ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ，且对任意1< a A < < +∞， ∑ ∞ = − 1 ln n x n n 在[ , a A]上一致收 5