第七章定积分 习题7.1定积分的概念和可积条件 用定义计算下列定积分 (1)∫。(ax+b)dx (2)Jat(a>0) 解(1)取划分:0<1<2<…<n-1<1,及5,=2(=121…,m),则 Ax,=1,于是∑a2+b)=2(+)+b a b→+b(n→>∞), 即 f(ax+b)dx=5+b (2)取划分:0<1<2×…<n-1<1,及5=2 n 于是∑a1=(-a。因为a 1→lna(n→∞),a→1(n→∞), n(I-a") 所以 1_a"(1-a) 即 In a n(I-a") na 2.证明,若对ab的任意划分和任意5∈[x,x,极限Im∑f() 都存在,则f(x)必是[a,b上的有界函数。 证用反证法。设Im∑f()x=1,则取E=1,3δ>0,对任意的划分P 与任意5∈x,x],只要A=mx(△x)<,就有∑/5)A<1+1 取定了划分后,n与Ax(=1,2.…n)也就确定,如果∫(x)在[a,b上无 界,则必定存在小区间[x1,x],f(x)在[x21,x上无界。取定
第七章 定积分 习 题 7.1 定积分的概念和可积条件 1. 用定义计算下列定积分： ⑴ ∫ ( ) ax + b dx 0 1 ; ⑵ a dx x 0 1 ∫ ( a > 0 ). 解 （1）取划分： 1 1 2 1 0 < − < < < < n n n n " ，及 (i 1,2, , n) n i ξ i = = " ，则 n xi 1 ∆ = ，于是 ( ) 2 ) 1 (1 2 1 ( ) 1 ∑ + = + + → + → ∞ = b n a b n a n b n i a n i ，即 b a ax + b dx = + ∫ 2 ( ) 1 0 。 （2）取划分： 1 1 2 1 0 < − < < < < n n n n " ，及 (i 1,2, , n) n i ξ i = = " ，则 n xi 1 ∆ = ， 于是 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 n n n i n i n a a a n a − − ∑ = = 。因为 ln ( ) 1 1 1 → → ∞ − a n n a n ， 1 ( ) 1 a n → n → ∞ ， 所以 a a n a a a n a n n n i n i ln 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 − → − − ∑ = = ， 即 a a a dx x ln 1 1 0 − = ∫ 。 ⒉ 证明，若对[ , a b]的任意划分和任意ξ i ∈[ , x x i−1 i]，极限 都存在，则 必是[ , 上的有界函数。 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ f (x) a b] 证 用反证法。设 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ = I ，则取ε = 1,∃δ > 0，对任意的划分 与任意 P 1 [ , i i ]i ξ x x ∈ − ，只要λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x ， 就有 ( ) 1 1 ∑ ∆ < + = f x I n i ξ i i 。 取定了划分后，n与 ( 1, 2, i ∆ = x i "n) ] 也就确定，如果 在[ , 上无 界，则必定存在小区间 f (x) a b] 1 [ , i i x x − ， f (x)在 1 [ , i i x x ] − 上无界。取定 203
5,5=,5n…,必可取到5,使∑()x<+1不成立,从 而产生矛盾,所以f(x)必是a,b上的有界函数 3.证明 Darboux定理的后半部分:对任意有界函数f(x),恒有 limS(P)=l 证E>0,因为是S的上确界,所以彐S(P)∈S,使得 设划分P:a=x<x<x2<…<x=b,M,m是∫(x)的上、下确界,取 2(p-1)(M-m) 对任意一个满足A=max(Ax,)<d的划分 P:a=xo<x<x2<…<xn=b, 记与其相应的小和为S(P),现将P",P的分点合在一起组成新的划分 P”,则由引理71.1,S(P)-S(P)≤0。 下面来估计S(P)-S(P) (1)若在(x,x)中没有P的分点,则S(P),S(P)中的相应项相同 它们的差为零; (2)若在(x,x)中含有P的分点,由于两种划分的端点重合,所 以这样的区间至多只有p-1个。由δ的取法,可知 Ax1≤≤△x1,i=12,…,n,j=12,…,P, 所以在(x1,x)中只有一个新插入的分点x,这时S(P),S(P)中的相 应项的差为 [m(x2-x=1)+m7(x-x1)-m(x,-x1)≤(M-m(x,-x-1)<(M-m)
1 1 1 , , , , , i i n ξ ξ ξ ξ " − + " ，必可取到ξ i，使 ( ) 1 1 ∑ ∆ < + = f x I n i ξ i i 不成立，从 而产生矛盾，所以 f (x)必是[ , a b]上的有界函数。 ⒊ 证明 Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数 f (x)，恒有 lim ( ) λ→ = 0 S P l 。 证 ∀ε > 0，因为l是S的上确界，所以 ∃S(P′)∈S，使得 2 0 ( ) ε ≤ l − S P′ < 。 设划分P′ : a = x0 ′ < x1 ′ < x2 ′ < " < x′ p = b，M ,m是 f (x)的上、下确界，取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 2( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ， 对任意一个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P a x x x x b : = 0 < 1 < 2 < " < n = ， 记与其相应的小和为 S(P) ，现将 P′, P 的分点合在一起组成新的划分 P′′，则由引理 7.1.1，S(P′) − S(P′′) ≤ 0。 下面来估计S(P′′) − S(P)： （1）若在(xi−1 , xi)中没有P′的分点，则S(P′′), S(P)中的相应项相同， 它们的差为零； （2）若在(xi−1 , xi)中含有P′的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有 p −1个。由δ 的取法，可知 ∆xi ≤ δ ≤ ∆x′ j , i = 1,2,", n, j = 1,2,", p， 所以在(xi−1 , xi)中只有一个新插入的分点 j x′ ，这时S(P′′), S(P)中的相 应项的差为 [ ( ) ( )] ( ) −1 − − −1 ′ ′ − + ′′ − ′ i j i i i j i i i m x x m x x m x x ( )( ) ≤ − i − i−1 M m x x < (M − m)δ ， 204
从而0≤S(P)-S(P)<(p-1(M-m)6≤5 综合上面的结论,就有 ≤|-S(P)=-S(P)+[S(P)-S(P”)+[S(P)-S(P)<5+0+5=E, 即 lim S(P)=7 4.证明定理713。 证必要性是显然的,下面证充分性。 设vE>0,存在一种划分P,使得相应的振幅满足S。3 即(P)-S(P)<取8=mm△x,A2…,sx73p=M-m/,对任意 个满足=max(Ax)<6的划分 P <x,=b, 现将PP的分点合在一起组成新的划分P",则由 Darboux定理的证明 过程,可得 0≤S(P)-S(P)=[S(P)-S(P")]+[S(P")-S(P)+ [S(P)-S(P)]+[S(P)-S(P")]+[S(P")-S(P <E+0+2+0+E=E, 由定理71.1,可知f(x)在[a,b上可积。 5.讨论下列函数在[O,1]的可积性: ∫￥-Hx≠0 1,x为有理数 (1)f(x) (2)f(x)= 1,x为无理数; f(x) ∫0,x为有理数 jsgn(sin),x≠0 x,x为无理数; (4)f(x)= X=
从而 2 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ε ≤ S P′′ − S P < p − M − m δ ≤ 。 综合上面的结论，就有 0 ≤ l − S(P) = [l − S(P′)]+[S(P′) − S(P′′)]+[S(P′′) − S(P)] ε ε ε < + + = 2 0 2 ， 即 S P = l → lim ( ) λ 0 。 ⒋ 证明定理 7.1.3。 证 必要性是显然的，下面证充分性。 设 ∀ε > 0，存在一种划分P′，使得相应的振幅满足 1 3 ε ∑ω′∆ ′ < = p i i i x ， 即 3 ( ) ( ) ε S P′ − S P′ < 。取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 3( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ，对任意一 个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b， 现将P′, P的分点合在一起组成新的划分P′′，则由 Darboux 定理的证明 过程，可得 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P ′ − ′ + ′ − ′′ + ′′ − ≤ − = − ′′ + ′′ − ′ + ε ε ε ε < + + + + = 3 0 3 0 3 ， 由定理 7.1.1，可知 f (x)在[a,b]上可积。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性： ⑴ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0, 0; [ ], 0, 1 1 x x x x ⑵ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧− = 1, ; 1, , 为无理数 为有理数 x x ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , ; 0, , 为无理数 为有理数 x x x ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0. sgn(sin ), 0, x x x π 205
解:(1)0≤f(x)<1,且f(x)在[0,1上的不连续点为x 2 x=0。VE>0,取定WJ(x)在区间[,1上只有有限个不连续点, 所以f(x)在[,上可积,即存在[,1的一个划分P,使得 Ax,<5,将P的分点和0合在一起,作为0,1划分P,则 xo'Ax=∑oAx+o,'Ax 由定理7.1.3,f(x)在[0,1上可积。 (2)因为对[0,1]的任意划分P,总有o=2,所以∑oAx1=2,由 定理712可知f(x)在[O,1上不可积 (3)因为对[0,1]的任意划分P,f(x)在[x1,x,]上的振幅为x,于是 △ xi(r 2 所以f(x)在[0,1上不可积 (4)-1≤f(x)≤1,且f(x)在[0,1]上的不连续点为x=1 与 x=0。VE>0,取定m>4,则f()在[,1上只有有限个不连续点, 所以x)在[上可积,即存在[,的划分P,使得∑A<三。 将P的分点与0合在一起作为0,1的划分P,则 ∑叫=Ax,+m4x、× 所以f(x)在[0,1上可积。 6.设f(x)在a,b上可积,且在[a,b上满足|f(x)m>0(m为常数), 206
解：（1）0 ( ≤ f x) <1，且 f (x)在[0,1]上的不连续点为 1 1 1 , , , , 2 3 x n = " "与 x = 0。∀ε > 0，取定 ε 2 m > ， f (x)在区间 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的一个划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ < = n i i i x ，将P 的分点和 0 合在一起，作为[0,1]的划分P '，则 ε ε ε ∑ω′∆ ′ = ∑ω ∆ +ω′∆ ′ < + = = + = 2 2 1 1 1 1 1 x x x n i i i n i i i ， 由定理 7.1.3， f (x)在[0,1]上可积。 （2）因为对[0,1]的任意划分P ，总有 ωi = 2 ，所以 2，由 1 ∑ ∆ = = n i i i ω x 定理 7.1.2 可知 f (x)在[0,1]上不可积。 （3）因为对[0,1]的任意划分P ， f (x)在[xi−1 , xi]上的振幅为 xi，于是 ∑ ∑ ∑ ∑= − = − − = − = − = − + ∆ = − ≥ n i i i n i i i i i n i i i i n i i i x x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ω ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 0 2 = xn − x = ， 所以 f (x)在[0,1]上不可积。 （4）− ≤1 ( f x) ≤1，且 f (x)在[0,1]上的不连续点为 1 1 1 1, , , , , 2 3 x n = " "与 x = 0。∀ > ε 0，取定 ε 4 m > ，则 f (x)在 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ < = n i i i x 。 将P 的分点与 0 合在一起作为[0,1]的划分P '，则 ε ε ε ∑ω′∆ ′ = ∑ω ∆ +ω′∆ ′ < + = = + = 2 2 1 1 1 1 1 x x x n i i i n i i i ， 所以 f (x)在[0,1]上可积。 6. 设 f (x)在[ , a b]上可积，且在[ , a b]上满足| f (x) |≥ m > 0 （m为常数）， 206
证明在ab上也可积 f(x) 证任取[a,b的一个划分:a=x0<x1<…<xn1<xn=b,则 1 ≤-2sup((x)-f(x LSx, 's,f(x) f(x")/m2 I-st,r<r, (x”)=-2O() 由于f(x)在[a,b上可积,E>0,3δ>0,当λ=max(Ax)<δ时, ∑a(A<m,从而∑o(A<E,所以小在b上可积 f(x) 7.有界函数f(x)在[a,b上的不连续点为{xn}m1,且imxn存在,证明 f(x)在a,b上可积。 证不妨设lmxn=c,且c∈(a.b),并设(x)≤M。VE>0,取 d=w2Mab-c,则彐N>0,当n>N时,n-4<o。 由于f(x)在[a,c-6和(+6b]上只有有限个不连续点,所以f(x) 在[a,c-δ]和[c+,b上都可积,即存在[a,c-。的一个划分P和 a+6的一个划分P,使得∑o“△<3∑o9。将P、 P2的分点合并在一起组成[a,b的一个划分P,则 aAx≤SoAx+∑o2Ax2)+4M6<5+5+5=E, 所以f(x)在{a,b上可积。 c=a或c=b的情况可类似证明。 8.设f(x)是区间ab]上的有界函数。证明f(x)在[ab上可积的充分 必要条件是对任意给定的>0与a>0,存在划分P,使得振幅a≥E的 那些小区间[x1x]的长度之和∑△x<a(即振幅不能任意小的那些 12E 207
证明 ( ) 1 f x 在[ , a b]上也可积。 证 任取[ , a b]的一个划分：a = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = b ，则 ( ) 1 sup ( ( ) ( )) 1 ( ) 1 ( ) 1 ) sup 1 ( 2 , 2 , 1 1 f m f x f x f f x f x m i x x x x x x x x i i i i i ω ≤ ′ − ′′ = ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ′ = − ≤ ′ ′′≤ − ≤ ′ ′′≤ ， 由于 f x( ) 在 [ , a b]上可积， ∀ε > 0,∃δ > 0 ，当 λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 时， ω 2 ε ，从而 1 ( f ) x m n i ∑ i ∆ i < = ∑ω ∆ < ε = n i i i x f 1 ) 1 ( ，所以 ( ) 1 f x 在[ , a b]上可积。 7. 有界函数 f (x)在[ , a b]上的不连续点为{ } xn n∞ =1，且lim 存在，证明 n n x →∞ f x( )在[ , a b]上可积。 证 不妨设 lim ，且 n n x →∞ = c c ∈ (a,b) ，并设 f (x) ≤ M 。 ∀ε > 0 ，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = c − a b − c M , , 12 min ε δ ，则 ∃N > 0，当n > N 时， xn − c < δ 。 由于 f (x)在[a, c − δ ]和[c + δ ,b]上只有有限个不连续点，所以 f (x) 在[a, c − δ ]和[c + δ ,b]上都可积，即存在[a, c − δ ]的一个划分 (1) P 和 [c + δ ,b]的一个划分 (2) P ，使得 3 , 3 (1) (1) (2) (2) ε ω ε ∑ω ∆ < ∑ ∆ < i i i i i i x x 。将 (1) P 、 (2) P 的分点合并在一起组成[ , a b]的一个划分P ，则 1 n i i i ω x = ∑ ∆ ≤ ε ε ε ε ∑ω ∆ + ∑ω ∆ + δ < + + = 3 3 3 4 (1) (1) (2) (2) x x M i i i i i i ， 所以 f x( )在[ , a b]上可积。 c = a 或c = b的情况可类似证明。 8．设 f (x)是区间[a,b]上的有界函数。证明 f (x)在[a,b]上可积的充分 必要条件是对任意给定的ε > 0与σ > 0，存在划分P ，使得振幅ω ≥ ε i 的 那些小区间[xi−1 , xi]的长度之和 ∑≥ ∆ < ω ε σ i i x （即振幅不能任意小的那些小 207