家庭作业·数学·八年级·上册·配北师大版 核心·重难探究 知识点一 算术平方根的性质与求法 【方法归纳】 【例1】下列各数有没有算术平方根？如果 1,要判断一个数有没有算术平方根，关键是 有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 看这个数是不是非负数，正数和0都有算术平方 (1)16: (2)0.0081; 根；若这个数是负数，它就没有算术平方根 (3)(-7)-2; (4)-0.36. 2.求一个非负数的算术平方根的关键是 思路分析(1)给出的数都是正数吗？ 找到一个正数（或0）的平方等于这个数， (2)给出的数若是正数，分别是哪个正数的平 方？(3)负数有算术平方根吗？ 知识点二算术平方根的应用 解(1)因为16,0，所以16有算术平方根. 【例2】铺一间面积为60m的教室的地 因为4=16，所以16的算术平方根是4，即 面，需要用大小完全相同的240块正方形地 √/16=4. 板砖，每块地板砖的边长是多少？ 2)因为0.0081>0，所以0.0081有算术平 思路分析每块地板砖的面积是多少？ 方根. 如何表示出来？哪个正数的平方等于这样一 因为0.09=0.0081，所以0.0081的算术 块地板砖的面积？ 平方根是0.09，即√0.0081=0.09. 解设每块地板砖的边长为Xm, ③国(7=90，所以(7)2才￥ 由题意，得240x2=60,即x=0.25. 所以=/0.25=0.5. 未平方振因为》°=的所以（刀2的等未平 所以，每块地板砖的边长为0.5m. 方根是即7刀=7 【方法归纳】 4)因为-0.36<0，所以-0.36没有算术平 将实际问题转化为求一个数的算术平方 方根. 根是解决本题的关键。 新知·训练巩固 1.若√a=2,则a的值为(B. (1)121:(2)(-4)2:(3)10-2 A.-4 B.4 C.-2 D.√2 解(1)因为112=121，所以121的算术平方 2.化简√4的结果是(B). 根是11. A.-4B.4 C.±4 D.2 (2)因为42=（←42=16， 所以(-42的算术平方根是4. 3.√16的算术平方根是(C). A.4 B.±4 C.2 D.土2 ®调10=(6=10 4计算骨-2 所以102的第术平方根是0 5.求下列各数的算术平方根 14
第二章实数\ 素能·演练提升 1√厚的值等于(A》 ④（π一4）2的算术平方根是π-一4： ⑤算术平方根不可能是负数. A B一 C±是 n器 A2个B.3个 C.4个 D.5个 4.算术平方根等于它本身的数是0和1· 2.若√x-1=0,则x的值是(C). 5.若单项式2.x"y3与3.xy+"是同类项，则 A.-1B.0 C.1 D.2 √2m十n的值为2· 3.下列说法中，不正确的有(C). 6.若4m+1的算术平方根为3，求m的值. ①任何数都有算术平方根； 解因为4m+1的算术平方根为3， ②一个数的算术平方根一定是正数： 所以4m+1=32=9,解得m=2. ③a2的算术平方根是a; 第2课时 平方根 基础·自主梳理 1.一般地，如果一个数x的平方等于a, 5.3的平方根是(D). 即x2=a,那么这个数x就叫做a的 A.9 B.5 C.-3D.± 平方根，也叫做二次方根 6.士5是25的平方根 2.一个正数有两个平方根；0只有一 温馨提示 个平方根，它是0本身；负数没有平方根， 开平方与平方互为逆运算，正数、负 3.正数a有两个平方根，一个是a的算 数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结 术平方根a,另一个是一√a,它们互为相反 果只有一个；但“开平方”只有正数和0才 数·这两个平方根合起来可以记作±√a, 可以，负数不能开平方，且正数开平方时 读作“正、负根号a” 有两个结果， 4.求一个数a的平方根的运算，叫做 开平方，a叫做被开方数. 15
家庭作业·数学·八年级·上册·配北师大版 核心·重难探究 知识点一平方根的性质与求法 知识点二开平方的应用 【例1】下列各数有平方根吗？若有，求 【例2】求下列各式中未知数x的值： 出它的平方根；若没有，请说明理由， (1)(2.x-1)2=9:(2)81(x-2)2-16=0. 1)9；(2)0:(3)-9:(4)1-0.81: 思路分析等式左边化成完全平方式，右 边化为非负数的形式→再开平方→求得其解. (5)7. 解(1)开平方，得2x1=±3. 思路分析(1)给出的数都是正数吗？ 即2x-1=3或2x-1=-3. (2)给出的数若是正数，分别是哪个数的平方？ 所以=2或=-1. (3)0的平方根是什么？负数有平方根吗？ 解(1)因为是正表，所以它有两个平方根 ②)原等式可以化为x-2彤= 81 又因：是= 开平市秘如2：分 即x2= 所以的手方根支：是即√得 号或×2=- 9所以X 2 长1 20只有一个平方根，是它本身.即√0=0. (③)因为-9是负数，所以-9没有平方根. 【解题规律】 (4)因为1-0.81是正数，所以它有平方根 用直接开平方法解题时，应根据式子的 又因为1-0.81川=（±0.9}，所以1-0.81川 特征，将左边化成完全平方式，右边化为非负 的平方根是±0.9，即±√八-0.81川=±0.9. 数的形式，再开平方，从而得其解，同时注意 (⑤)因为7是正数，所以它有平方根.7的平方 开平方后各系数符号的变化. 根是±√7 新知·训练巩固 1.下列各数没有平方根的是(D). A.1 B.2 A.0 B.(-2)2 C.3 D.4 C.√ D.-1-5 4.若一个数的算术平方根是5，则这个数的 2.下列各数：0，（一3）2，一（一2），一|一5|， 平方根是±√5 3.14一π，x2一1，其中一定有平方根的数 5.求下列式子中x的值. 有(A). (1)(x+1)2=4;(2)2(x-3)2=128. A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解(1)开方，得41=2或灶1=-2， 3.下列说法： 解得烂1或=-3. ①2是4的一个平方根；②25的平方根是 (2)两边都除以2，得(X3}=64, 5;③一36的平方根是士6；④一8是64的 开方，得X-3=8或X-3=-8, 一个平方根 解得=11或=-5. 其中正确的个数是(B). 16
第二章实数\ ☑素能·演练提升 1.下列各数没有平方根的是(C). 5.已知一个正数的两个平方根分别是x+1 A.|-21 B(-)C-司 D.0 和x一5，则x=2 6.一般地，若x=a(a≥0)，则称x为a的四 2.下列说法正确的是(B). 次方根.一个正数a的四次方根有两个，它 A.0.25是0.5的一个平方根 们互为相反数，记为士a.若m=10,则 B.正数有两个平方根，且这两个平方根之 m=±10. 和等于0 7.求下列各数的平方根： C.49的平方根是7 D.负数有一个平方根 a121:(2001:32日；（④-13 3.(一2)4的平方根是(B). 解(1)±√121=±11. A.-4B.±4 C.2 D.±2 (2)±0.01=±0.1. 4.下列说法正确的是(A). A.√4的平方根是士√2 3 B.一a2一定没有平方根 (4)±√（仁13y=±13. C.0.9的平方根是士0.3 D.|a一1一定有平方根 3立方根 基础·自主梳理 1.一般地，如果一个数x的立方等于a, 读作“三次根号a”.正数的立方根是正数； 即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根， 0的立方根是0：负数的立方根是负数 也叫做三次方根· 3.求一个数a的立方根的运算叫做开 温馨提示 立方，a叫做被开方数. 在立方根的定义中，数a既可以是正 4.8的立方根为(C). 数、0，也可以是负数.在表示一个数的立 A.2√2 B.±2√2 方根时，根指数3不能省略 C.2 D.±2 5.一I的值是(B). 2.每个数a都有一个立方根，记作a, A.1 B.-1 C.3 D.-3 17
家庭作业·数学·八年级·上册·配北师大版 核心·重难探究 知识点一立方根的求法 ②原￥式即4护=器 【例1】求下列各数的立方根： 国=器所以x41 27 (1)-125;(2)216: (3)3 ,所以X= 8 (4)-0.064. 4 思路分析(1)哪个数的立方分别等于已 知的各数？(2)由立方根的定义写出各数的 【方法归纳】 立方根. 利用开立方求等式中的未知数时，常常 解(1)因为(-53=-125，所以-125的 转化为x3=a或(x十m)3=a的形式.这需要 立方根是-5，即9-125=-5. 将(x十m)3中的x十m看成一个整体 (2)因为63=216，所以216的立方根是6， 【例3】某金属冶炼厂，将27个大小相同 即9216=6. 的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方 体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分 别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体 方#号期3层8 钢锭的棱长为多少？ 思路分析原来立方体钢锭的体积和= (4)因为(-0.4)3=-0.064，所以-0.064的 在炉中熔化后浇铸成的长方体钢锭的体积. 立方根是-0.4，即-0.064=-0.4. 解设立方体的核长为×cm,根据题意，得 【方法归纳】 27x3=160×80×40,即×=512000 27 求一个带分数的立方根时，必须先把带 因为(93- 512000 27 分数化成假分数，再求它的立方根， 8512000_80 知识点二开立方的应用 所以炬入√ 27 【例2】求下列各式中的x的值： 所以，原来立方体钢锭的核长为 3 cm. (1)8.x3+512=0;(2)64(x+1)3=27. 思路分析将等式化成左边是一个式子的 【方法归纳】 立方，右边是常数的形式→开立方→求得其解 等积变形问题，利用变形前后的体积不 解(1)原等式即x3=-64. 变，列方程求解. 因为(-4)3=-64，所以x=64=-4. 18