浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义，第三版）第十四讲 方差、协方差和相关系数

第十四讲方差、协方差和相关系数 重点:方差的定义、性质与计算 方差的定义 定义1.X为一RV,若EX-E(H存在,则称之为RX的方差,记作D(X)、而ar(x或U(X), 即D(X=E[XE(XP2.称√D(X)为RIX的标准差或均方差,记作O 若X为离散型RV,其分布率为P{X=xn}=pnn=1,2,…则 D(A)=∑[xn-E(XPn 若X为连续型RV,其密度函数为fx),则 D(X)= [x-E(X]f(x)dx 由数学期望的性质可得到方差的另一计算公式D(h=E(X2)E2( 例1.设RVX服从0-1分布,其分布率为 P{X=l}=p(1-p)-,i=0 求D( 解:E()=pE(X2)=p D(X)=E(x2)-E2(X)=p-p2=p(1-p) 例2.设RX~P(4),求D() 解:E(X)=元 E(x2)=∑k (k-1)!(k-1)! (k-2)+e4]=e[e+le]=2

第十四讲 方差、协方差和相关系数 重点：方差的定义、性质与计算 一、方差的定义 定义 1. X 为一 R.V.，若 E[X- E(X)]2 存在，则称之为 R.V.X 的方差，记作 D(X)、Var(X)或σ2 (X)， 即 D(X)= E[X- E(X)]2 . 称 D(X) 为 R.V.X 的标准差或均方差，记作σ(X)。 若 X 为离散型 R.V.，其分布率为 P{X=xn}=pn n=1,2,…则 n n D X  xn E X p  = = − 1 2 ( ) [ ( )] 若 X 为连续型 R.V.，其密度函数为 f(x)，则 D(X) [x E(X)] f (x)dx 2  + − = − 由数学期望的性质可得到方差的另一计算公式 D(X)=E(X 2 )- E 2 (X) 例 1.设 R.V.X 服从 0-1 分布，其分布率为   (1 ) , 0,1 1 = = − = − P X i p p i i i 求 D(X) 解：E(X)=p E(X 2 )=p ( ) ( ) ( ) (1 ) 2 2 2 D X = E X − E X = p − p = p − p 例 2.设 R.V.X~ P(λ),求 D(X) 解：E(X) =     = −  = − − =  =  0 1 2 2 ! ( 1)! ( ) k k k k k e k k e E X k     ] ( 1)! ( 1)! [ ( 1) 1 1    =  = − − + − = −  k k k k k k e k    ] ( 2)! [ 2     e k e k k + − =   = − [ ]  2   = e   e + e − = 

D(x)=E(x2)-E2(X)=2+A-12=2 例3.设RX-U(a,b),求D(1)。 解:f(x)=b-a a<x< b others a+b E(X) E(x2)=[x2f(x)d=x2.1 6+ab+a dx b2+ab+ D(X)=E(x2)-E2(X)= a 例4.设RX(1),求D(X)。 解:f(x) 0 x≤0 E(X) E(r2)= x2f(x)dx D(X)=E(x2)-E(=2-()=x 例5.设RX~N(H,O2),求D(1) 解:f(x)= 由上节例题已知E(X)=4 D(X)=EX-E(X)2=E(x-)2=(x=)2 √2za r2 特别地,若RVXN0,1)D(x)=1 二、方差的性质 性质1.若X=C,则D(x)=0 性质2.D(x+C=D(X

( ) ( ) ( ) 2 2 D X = E X − E X 2 2 =  +  −  =  例 3.设 R.V.X~U(a,b), 求 D(X)。 others a x b f x b a        = − 0 1 解： ( ) 2 ( ) a b E X + = 3 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 b ab a dx b a E X x f x dx x b a + + = − = =    + − 12 ( ) ) 2 ( 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 b ab a a b b a D X E X E X − = + − + + = − = 例 4.设 R.V.X~π(λ),求 D(X)。 0 0 0 ( )      = − x e x f x x  解：  1 E(X ) = 2 0 2 2 0 2 2 2 1 2 ( ) ( )     = =  = =    + − + − + − E X x f x dx x e dx t e dt x t 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( 2 ( ) ( ) ( )    D X = E X − E X = − = 例 5. 设 R.V.X ~N(μ,σ2 )，求 D(X)。     = = − − ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) f x e E X x 解： ，由上节例题已知  + − − − D X = E X − E X = E x − = x −  e dx x 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 1 ( ) [ ( )] ( ) ( )      2 2 2 2 2 2 1   =  =  + − − t e dt t 特别地，若 R.V.X~ N(0,1) D(X)=1 二、方差的性质 性质 1.若 X=C，则 D(X)=0 性质 2. D(X+C)= D(X)

性质3.D(CX=CD(X 推论:DaX+b)=a2D(X) 性质4.若XY独立,则D(H±Y=D(X)+D(Y 推论:若X1,2…,Vn相互独立,则 D(X1+x2+…+Xn)=D(Xx1)+D(x2)+…+D(Xn) 例6.设X,万2…M独立且服从0-1分布,则x+X2+…+Xn~B(n,p),求此二项分布的方差 解:由H服从0-1分布,D(X)=p(1-p),又ⅪX…Hn独立同分布 DX1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=nD(X1)=p(1-p) 三、协方差、相关系数和矩 1.协方差与相关系数 定义1设有二维R(xY),若E{XE(HE(功]}存在,则称它为RX与RY之间的协方 差,记为Cov(xY,即Cow(XY=E{[XE(YE(刀)},而 Cov(X, Y) D(X)√D(Y) 称为RX与RVY之间的相关系数。 若Px=0,则称RVX与RVY不相关,反之则称X与Y相关或相依。 由协方差的定义,可以得到下面两个公式 Cov(X,=E(XY)-E(E(Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X, 协方差具有以下性质 (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X) (2) Cov(aX, br)=abCov(X, Y) (3)Co(X,+X,, Y=Co(X,, Y)+CoN(X,, Y) 定理1.设相关系数Pxy存在,则 (1)l

性质 3. D(CX)= C2D(X) 推论：D(aX+b)= a 2D(X) 性质 4. 若 X,Y 独立，则 D(X±Y)= D(X)+ D(Y) 推论：若 X1,X2,…,Xn 相互独立，则 ( ) ( ) ( ) ( ) D X1 + X2 ++ Xn = D X1 + D X2 ++ D Xn 例 6.设 X1,X2,…,Xn 独立且服从 0-1 分布，则 X1+X2+…+Xn ~ B(n,p)，求此二项分布的方差。 解：由,Xi 服从 0-1 分布，D(Xi)= p(1-p)，又 X1,X2,…,Xn 独立同分布 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) D X1 + X2 ++ Xn = D X1 + D X2 ++ D Xn = nD X1 = np − p 三、协方差、相关系数和矩 1. 协方差与相关系数 定义 1.设有二维 R.V.(X,Y)，若 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称它为 R.V.X 与 R.V.Y 之间的协方 差，记为 Cov(X,Y)，即 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，而 ( ) ( ) ( , ) D X D Y Cov X Y  XY = 称为 R.V.X 与 R.V.Y 之间的相关系数。 若ρXY=0，则称 R.V.X 与 R.V.Y 不相关，反之则称 X 与 Y 相关或相依。 由协方差的定义，可以得到下面两个公式 Cov(X,Y) = E(XY) − E(X )E(Y) D(X  Y) = D(X ) + D(Y)  2Cov(X,Y) 协方差具有以下性质 （1） Cov(X,Y) = Cov(Y, X ) （2） Cov(aX,bY) = abCov(X,Y) （3） ( , ) ( , ) ( , ) Cov X1 + X2 Y = Cov X1 Y +Cov X2 Y 定理 1.设相关系数ρXY 存在，则 （1）  XY 1

(2)|px|=1的充要条件是RX与R!Y依概率1线性相关,即存在常数b和a≠0,使得 P{F=a+b}=1 定理2.若X与Y相互独立,则X与Y不相关;反之不成立。 证明:X与Y相互独立→E(XY)=E(XE()→Co(X,Y)=0→px=0 反例:设RX的分布率为P{X=址}=,P{X=0}=,y=x2,则 E(XY)=E(X3)=E(x)=0,E(X)E(Y)=0。 从而Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 Cov(XY) 0 D(x)√DY) 即X与Y不相关,但显然X与Y不独立 2矩和协方差矩阵 定义2.设X与Y是RV (1)若E(X)k=1,2,…存在,则称之为X的k阶原点矩 (2)若E(X-E(X),k=1,2,…存在,则称之为X的k阶中心矩 (3)若E(Xy),k,=12,…存在,则称之为X和Y的k+阶混合矩 (4)若Ex-E(X)-E(Y)k.1=12…存在,则称之为x和y的k+阶混合中心矩。 定义3.设n维RV.(X1,Y,…n)的二阶混合中心矩 Cov(x,X)i=12,…,n 都存在,则称矩阵 为n维R.V.(X,羟2;…M)的协方差矩阵

（2）|ρXY|=1 的充要条件是 R.V.X 与 R.V.Y 依概率 1 线性相关，即存在常数 b 和 a≠0，使得 P{Y=aX+b}=1 定理 2.若 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关；反之不成立。 证明：X 与 Y 相互独立  E(XY) = E(X)E(Y) Cov(X,Y) = 0   XY = 0 反例：设 R.V.X 的分布率为     , , 3 1 , 0 3 1 1 2 P X =  = P X = = Y = X 则 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 3 E XY = E X = E X = E X E Y = 。 从而 Cov(X,Y) = E(XY) − E(X )E(Y) = 0 0 ( ) ( ) ( ) = = D X D Y Cov XY  XY 即 X 与 Y 不相关，但显然 X 与 Y 不独立。 2.矩和协方差矩阵 定义 2. 设 X 与 Y 是 R.V. （1）若 E(X k ), k =1,2,  存在，则称之为 X 的 k 阶原点矩； （2）若 E[(X − E(X)]k , k =1,2,  存在，则称之为 X 的 k 阶中心矩； （3）若 E(X k Y l ), k,l =1,2,  存在，则称之为 X 和 Y 的 k +l 阶混合矩； （4）若 E[X − E(X)]k [Y − E(Y)]l, k,l =1,2,  存在，则称之为 X 和 Y 的 k +l 阶混合中心矩。 定义 3.设 n 维 R.V.(X1,X2,…,Xn)的二阶混合中心矩  ij = Cov(Xi , X j ) i, j = 1,2,  ,n 都存在，则称矩阵              = n n nn n n                1 2 21 22 2 11 12 1 为 n 维 R.V.(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵