推證第五公設的兩種思路 種是用比較自明的敘迹來取代平行 又 ·另一種是嘗試由歐幾里得的其餘公設 推出平行公設
推證第五公設的兩種思路 • 一種是用比較自明的敘述來取代平行 公設 • 另一種是嘗試由歐幾里得的其餘公設 推出平行公設
推證失敗的原因 所有證明都使用了和公設五 等價的命題,即邏輯學上所 調的“循環論證
推證失敗的原因 • 所有證明都使用了和公設五 等價的命題，即邏輯學上所 謂的“循環論證
例: Legendre(1752~1833)所用的命題: 「過銳角θ的一條邊上任一點M作該邊的 垂線,必舆另一邊相交。」
• 例：Legendre(1752~1833)所用的命題： 「 過銳角的一條邊上任一點M作該邊的 垂線，必與另一邊相交。」 M
採用歸謬法的進路 歐氏第5公設:通過直線AB以外的一點P 只能作出一條與AB平行的直線。』 跟它矛盾的命題有兩種形式 (1)過P點沒有直線與AB平行 (2)過P點有不只一保直線與AB平行
採用歸謬法的進路 • 歐氏第5公設：『通過直線AB以外的一點P， 只能作出一條與AB平行的直線。』 • 跟它矛盾的命題有兩種形式： (1)過 P 點沒有直線與 AB 平行 (2)過 P 點有不只一條直線與 AB 平行
薩謝利( Saccherri,1667~1733) 的四邊形定理 「若AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD,则 ∠ACD=∠BDC且都是銳角
薩謝利 (Saccherri, 1667~1733) 的四邊形定理 • 「若ACAB，BD AB，AC=BD，則 ACD= BDC，且都是銳角。」 A B C D