第8讲静态场的解() ·边值问题的分类 。唯一性定理 ·镜象原理 lexu@mail.xidian.edu.cn 6
第8讲 静态场的解(I) • 边值问题的分类 • 唯一性定理 • 镜象原理 lexu@mail.xidian.edu.cn 6
边值问题的分类 ·用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件； ·边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题； 一在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空 间即可通过积分公式计算任意点电位； 一对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的 电位值（边值）来确定积分常数； 一对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上 的电位边界条件来确定场的分布情况。 lexu@mail.xidian.edu.cn 7
边值问题的分类 • 用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件； • 边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题； – 在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空 间即可通过积分公式计算任意点电位； – 对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的 电位值(边值)来确定积分常数； – 对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上 的电位边界条件来确定场的分布情况。 lexu@mail.xidian.edu.cn 7
边值问题的分类 ·边值问题按其边界条件不同可分为三类： 1已知区域边界上的位函数值： 70=-p/ε（或0） r=o 荻利克莱(Dirichlet)问题 V20=-p/e 2°已知待求函数在区域边界上的法向导数值 8p Onr =Ψ0 Neumann问题 3区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 72p=-p/8 混合问题 ap pl,=% 0n2 =Ψ0 8
边值问题的分类 • 边值问题按其边界条件不同可分为三类： lexu@mail.xidian.edu.cn 8 1º已知区域边界上的位函数值： 2º已知待求函数在区域边界上的法向导数值 3º区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 ( ) = ∇ = − Γ 0 2 | 0 ϕ ϕ ϕ ρ ε 或 = ∂ ∂ ∇ = − Γ 0 2 ψ ϕ ϕ ρ ε n = ∂ ∂ = ∇ = − Γ Γ 0 2 0 1 2 , ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ε n 荻利克莱（Dirichlet）问题 Neumann问题 混合问题
唯一性定理 ·一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证： 一解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解； -解的惟一性：即看是否只有一个解； 一解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应 地只有微小的变动； ·若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的 ·定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。 lexu@mail.xidian.edu.cn 9
唯一性定理 • 一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证： – 解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解； – 解的惟一性：即看是否只有一个解； – 解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应 地只有微小的变动； • 若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的 • 定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。 lexu@mail.xidian.edu.cn 9
唯一性定理 ·格林公式 -再看散度定理 jv.Fdw=∮，F.a -若令F=0V平，则 7.F=7.(pVΨ)=p72Ψ+7p.7Ψ .Fdy=j(ov2Ψ+VovΨad v东ow6手es lexu@mail.xidian.edu.cn 10
唯一性定理 • 格林公式 – 再看散度定理 – 若令F =φ▽Ψ, 则 lexu@mail.xidian.edu.cn 10 V S ∇⋅ = ⋅ FdV F dS ∫ ∫ 2 ∇⋅ = ∇⋅ ∇Ψ = ∇ Ψ + ∇ ⋅∇Ψ F ( ) ϕϕ ϕ 2 ( ) V V ∇⋅ = ∇ Ψ + ∇ ⋅∇Ψ FdV ϕ ϕ dV ∫ ∫ ( ) VS S FdV dS dS n ϕ ϕ ∂Ψ ∇⋅ = ∇Ψ ⋅ = ∂ ∫∫ ∫