前沿进展 拓扑绝缘体及其研究进展 叶飞1苏刚+ 摘要 拓扑绝缘体是当前凝聚态物理领域中的一个热点问题这类材料的典型特征是体内元激发存在能隙 但在边界上具有受拓扑保护的无能隙边缘微发.从广义上讲，拓扑绝缘体可以分两大类：一类是破坏时间反演的量 子霍尔体系，另一类是新近发现的时间反演不变的拓扑绝缘体这些新材料的奇特物理性质和潜在的应用前景，使 其倍受人们关注.文章对这种新奇物态的物理性质和研究进展做了简要的介绍. 关键词拓扑绝缘体，量子霍尔效应，量子自旋霍尔效应，拓扑分类 Topological insulators YE Fei'SU Gang' College of Materals Seene and Optoclectrone Technology,Graduated Universry of Chin cademy of Scences Beijing 100049.Ckina) Be1RR100049,ma Abstract A new kind of insulator has been proposed recently,which is fully gapped in the bulk but has a metallic edge or surface states that are protected topologically.These electronic materials are dubbed as topological insulators (TIs).Generally speaking,TIs can be divided into two classes.One is the quantum Hall system which was found in the 1980s to show breaking of time reversal symmetry (TRS) and anther is the newly discovered type which des o demonstrate TRS breaking and has a ted much atte This article presents a brief review of re ces in the developmen of TIs. eyor达 topological insulator .quantum Hall effect quantum spin Hall effect topological classification 半导体和绝缘体的费米面存在于禁带之中（如 1引言 图1(6)所示)，我们这里把它们归为一类.在此类材 料中，任何电荷元激发都需要克服一个有限大小 自然界的材料根据其电学输运性质，可分为导 能隙.因此在足够低的温度下，系统对弱电场不会有 体、半导体和绝缘体.一般的导体中存在若费米面 电流响应对于能带绝缘体而言”，能隙大小是价带 (如图1(@)所示)，在其附近，电荷元激发只需要消 顶和导带底之间的禁带宽度.作为最简单的能带绝 耗无穷小的能量因此当加上任意小的电场时系结 就会有电流响应，但这种电荷输运会受到杂质散射 ·国家自然科学基全（批准号：10904081）资助项目 2010.05.10折到 和声子散射等因素的影响 般来说，随材料维数的 十通讯联系人.Ema:gsu@eucas.ac.cn 降低，电荷输运的通道就会变少，从而导电性能也会 )其他类型的绝缘态，如莫特态、玻璃态以及安德森局域化态等。 变差 本文将不涉及 564 http://www.wuli.ac.cn 物理·39卷(2010年)8期
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net http :ΠΠwww. wuli. ac. cn 物理 ·39 卷 (2010 年) 8 期 前沿进展 拓扑绝缘体及其研究进展3 叶 飞 1 苏 刚2 , (1 中国科学院研究生院材料科学与光电技术学院 北京 100049) (2 中国科学院研究生院物理科学学院 北京 100049) 摘 要 拓扑绝缘体是当前凝聚态物理领域中的一个热点问题. 这类材料的典型特征是体内元激发存在能隙 , 但在边界上具有受拓扑保护的无能隙边缘激发. 从广义上讲 ,拓扑绝缘体可以分两大类 :一类是破坏时间反演的量 子霍尔体系 ,另一类是新近发现的时间反演不变的拓扑绝缘体. 这些新材料的奇特物理性质和潜在的应用前景 ,使 其倍受人们关注. 文章对这种新奇物态的物理性质和研究进展做了简要的介绍. 关键词 拓扑绝缘体 ,量子霍尔效应 ,量子自旋霍尔效应 ,拓扑分类 Topological insulators YE Fei 1 SU Gang 2 , (1 College of M aterials Science and Optoelectronic Technology , Graduated Uni versit y of Chinese Academy of S ciences , Beijing 100049 , China ) (2 College of Physical S ciences , Graduated Universit y of Chinese A cademy of Sciences , Beijing 100049 , China ) Abstract A new kind of insulator has been proposed recently , which is fully gapped in the bulk but has a metallic edge or surface states that are protected topologically. These electronic materials are dubbed as topological insulators ( TIs) . Generally speaking , TIs can be divided into two classes. One is the quantum Hall system which was found in the 1980s to show breaking of time reversal symmetry ( TRS) , and another is the newly discovered type which does not demonstrate TRS breaking and has at2 tracted much attention recently. This article presents a brief review of recent advances in the development of TIs. Keywords topological insulator ,quantum Hall effect ,quantum spin Hall effect ,topological classification 3 国家自然科学基金(批准号 :10904081) 资助项目 2010 - 05 - 10 收到 通讯联系人. Email :gsu @gucas. ac. cn 1) 其他类型的绝缘态 ,如莫特态、玻璃态以及安德森局域化态等 , 本文将不涉及 1 引言 自然界的材料根据其电学输运性质 ,可分为导 体、半导体和绝缘体. 一般的导体中存在着费米面 (如图 1 (a) 所示) ,在其附近 ,电荷元激发只需要消 耗无穷小的能量. 因此当加上任意小的电场时 ,系统 就会有电流响应 ,但这种电荷输运会受到杂质散射 和声子散射等因素的影响. 一般来说 ,随材料维数的 降低 ,电荷输运的通道就会变少 ,从而导电性能也会 变差. 半导体和绝缘体的费米面存在于禁带之中 (如 图 1 (b) 所示) ,我们这里把它们归为一类. 在此类材 料中 ,任何电荷元激发都需要克服一个有限大小的 能隙. 因此在足够低的温度下 ,系统对弱电场不会有 电流响应. 对于能带绝缘体而言1) ,能隙大小是价带 顶和导带底之间的禁带宽度. 作为最简单的能带绝 ·564 ·
前沿进展 缘体我们考虑紧束缚近似下的惰性原子品体模型 成了完美的一维金属，到 在原子极限下所有电子都被紧紧束缚在原子周围 整数量子霍尔系统的这些特性完全符合人们对 不能移动，系统的能带是扁平的，由于惰性气体原子 “拓扑绝缘体”的定义，尽管那时人们尚未明确提出该 是满壳层的，所以价带被完全填满.如果我们调整原 概念.实际上，在上世纪80年代以前，人们对物态的分 子之间的电荷跃迁几率幅（如通过加压改变原子的 类是基于朗道的对称性自发破缺理论但是之后着 间距)，侧系统的能带会变宽从而禁带宽度会相应 对量子雷尔效应的深入了解材料的拓扑性质作为物 地变小，虽然能隙发生了变化，但这并未导致系统的 态分类的新标准开始粉演日益重要的角色山，下面我 状态发生本质变化.加压前后的绝缘体态在能带结 们先看体材料能带中的拓扑结构.根据布洛赫定理，周 构上是拓扑等价的这种等价性可以用来对绝缘体 期性系统的波函圆，（附》满足定态薛定谔方程 进行拓扑分类前述的原子品体模型只是其中拓扑 平康的 一种.在不闭合系统能隙的前提下，不同拓扑 其中n是能带指标 ,k是晶格动量.假设费米面以下 等价类之间无法连续转化.这种分类并非仅在数 的N个能带被完全填满.通过弘()我们可以在布 上有意义，事实上拓扑非平庸的绝缘体与普通绝缘 里渊区上定义一个矢量场（规范势）A■i:(也( 体有本质的区别，它们虽然在体材料内部都具有电 1“(),与之相对应，还可定义一个场强 荷激发能隙，但是能带的拓扑结构完全不同.拓扑绝 F=:X4.应该指出，在选取波函数时存在 缘体在边界上存在着受到拓扑保护的稳定的低维金 (1)的规范白由度即w1()》也满足同样的苗 属态这些无能隙的边缘激发处在禁带之中，并且连 定谔方程(1).因此，当对1山（〉做规范变换时 接价带顶和导带底（如图1(c)和(d)).从这个意义 1弘（附》，规范场会发生变化，A 上来讲，拓扑绝缘体是介于普通绝缘体和低维金属 A(从，又。10材但场强F不变.在动量空间中 之间 一种新物态.接下来我们简要介绍能带绝线 定义的A和F和实空间中电磁场的性质完全类似 体的拓扑分类以及拓扑绝缘体的有关物理性质 在传统的电磁理论中，如果存在磁单极子的话，通过 闭合曲面的磁通量是量子化的.由于体系的布里渊 区是二维的闭合环面，因此通过该环面的“破通”总数 是整数记为满足 2 换个角度来说，根据斯托克斯定理m=)4·d 说费米而处在楚带之中当样品有动界时焚描之间样在若 其中积分回路选取在布里渊区边界上.由于波函数 到拓扑保护的边缘态（如（心和(d),这些边缘态连按体系的价 在布里渊区边界上满足周期性条件，因此必须局 带顶和导带底 整数我们称之为第一类陈数它是能带结构上的 2整数量子霍尔系统 个拓扑不变量.在能隙不闭合的前提下，我们可以连 续改变哈密顿量 H ,但 ,不会改变更为重 整数量子霍尔效应是上世纪80年代初发现的 的是，不仅仅是个数学上的量.1982年，Thouless 一种宏观量子态.人们在研究强磁场中的二维电于 等人(TN)在一篇奠基性的文章中，利用久保 气时发现它的横向霍尔电导在外磁场改变时会在 公式计算了二维周期性晶格系统的霍尔电导：，发 e/h的整数倍处出现平台，并且精度达到10~1川 现它等于m/h,这不仅揭示了整数霍尔电导的拓 我们知道二维自由电子气在磁场中会形成分立的朗 扑来源而且也开启了拓扑学在凝聚态物理中应用 道能级.在足够低的温度下，当费米面位于两个朗道 的大门 能级之间时，体系应该表现出绝缘体性质.进一步的 面对能带拓扑结构的描述需要利用周期性边 研究表明.虽然系统内部的电荷激发的确存在能隙 界条件当系统存在边界时，比如将一个拓扑绝缘体 但在系统边界存在若无能隙的激发，正是这些激发 (m0)和一个普通绝缘体(m=0,真空可以看成 导致了量子化的霍尔电导.这些边缘态朝 个 是一种普通绝缘体)接在一起这样在边界处 向运动，不存在背向散射通道（见图2(a),因此形 的数值会发生变化，因此能隙在界面处必须闭 物理·39卷(2010年)8期 :fww.wui.c.cn ·565 0/994-20/0Chna4c c Publishing House.All rightts reserved http/Awww.cnki ne
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 物理 ·39 卷 (2010 年) 8 期 http :ΠΠwww. wuli. ac. cn 缘体 ,我们考虑紧束缚近似下的惰性原子晶体模型. 在原子极限下 ,所有电子都被紧紧束缚在原子周围 不能移动 ,系统的能带是扁平的. 由于惰性气体原子 是满壳层的 ,所以价带被完全填满. 如果我们调整原 子之间的电荷跃迁几率幅 (如通过加压改变原子的 间距) ,则系统的能带会变宽 ,从而禁带宽度会相应 地变小. 虽然能隙发生了变化 ,但这并未导致系统的 状态发生本质变化. 加压前后的绝缘体态在能带结 构上是拓扑等价的. 这种等价性可以用来对绝缘体 进行拓扑分类 ,前述的原子晶体模型只是其中拓扑 平庸的一种. 在不闭合系统能隙的前提下 ,不同拓扑 等价类之间无法连续转化. 这种分类并非仅在数学 上有意义 ,事实上拓扑非平庸的绝缘体与普通绝缘 体有本质的区别 ,它们虽然在体材料内部都具有电 荷激发能隙 ,但是能带的拓扑结构完全不同. 拓扑绝 缘体在边界上存在着受到拓扑保护的稳定的低维金 属态 ,这些无能隙的边缘激发处在禁带之中 ,并且连 接价带顶和导带底 (如图 1 (c) 和 ( d) ) . 从这个意义 上来讲 ,拓扑绝缘体是介于普通绝缘体和低维金属 之间的一种新物态. 接下来我们简要介绍能带绝缘 体的拓扑分类 ,以及拓扑绝缘体的有关物理性质. 图 1 导体和绝缘体的能带示意图. 其中(a) 为导体 , ( b) 为普通 绝缘体 ,(c) 为量子霍尔绝缘体 ,(d) 为时间反演不变的拓扑绝缘 体. 图中黑色实线代表费米面 ,虚线代表边缘态 ,对于绝缘体来 说 ,费米面处在禁带之中. 当样品有边界时 ,禁带之间存在着受 到拓扑保护的边缘态(如(c) 和(d) ) ,这些边缘态连接体系的价 带顶和导带底 2 整数量子霍尔系统 整数量子霍尔效应是上世纪 80 年代初发现的 一种宏观量子态. 人们在研究强磁场中的二维电子 气时 ,发现它的横向霍尔电导在外磁场改变时会在 e 2 / h 的整数倍处出现平台 ,并且精度达到 10 - 8 [1 ] . 我们知道二维自由电子气在磁场中会形成分立的朗 道能级. 在足够低的温度下 ,当费米面位于两个朗道 能级之间时 ,体系应该表现出绝缘体性质. 进一步的 研究表明 ,虽然系统内部的电荷激发的确存在能隙 , 但在系统边界存在着无能隙的激发 ,正是这些激发 导致了量子化的霍尔电导. 这些边缘态朝着一个方 向运动 ,不存在背向散射通道 (见图 2 (a) ) ,因此形 成了完美的一维金属[2 , 3 ] . 整数量子霍尔系统的这些特性完全符合人们对 “拓扑绝缘体”的定义 ,尽管那时人们尚未明确提出该 概念.实际上 ,在上世纪 80 年代以前 ,人们对物态的分 类是基于朗道的对称性自发破缺理论 ,但是之后随着 对量子霍尔效应的深入了解 ,材料的拓扑性质作为物 态分类的新标准开始扮演日益重要的角色[4] . 下面我 们先看体材料能带中的拓扑结构.根据布洛赫定理 ,周 期性系统的波函数| un ( k)〉满足定态薛定谔方程: H ( k) | un ( k) 〉= En ( k) | un ( k) 〉 , (1) 其中 n是能带指标 , k 是晶格动量. 假设费米面以下 的 N 个能带被完全填满. 通过| un ( k) 〉,我们可以在布 里渊区上定义一个矢量场(规范势) A = i ∑N n =〈1 un ( k) | ¨k | un ( k) 〉, 与 之 相 对 应 , 还 可 定 义 一 个 场 强 F = ¨k ×A.应该指出 ,在选取波函数时存在一个 U (1)的规范自由度 ,即 e iθ( k) | un ( k) 〉也满足同样的薛 定谔方程 (1) . 因此 ,当对| un ( k) 〉做规范变换时 , | un ( k) 〉→e iθn ( k) | un ( k) 〉,规范场会发生变化 , A ( k) → A ( k) - ¨k ∑N n = 1θn ( k) ,但场强 F 不变. 在动量空间中 定义的 A 和 F ,和实空间中电磁场的性质完全类似. 在传统的电磁理论中 ,如果存在磁单极子的话 ,通过 闭合曲面的磁通量是量子化的[5 ] . 由于体系的布里渊 区是二维的闭合环面 ,因此通过该环面的“磁通”总数 是整数 ,记为 nw ,满足 1 2π∫d 2 kF ( k) = nw . (2) 换个角度来说 ,根据斯托克斯定理 nw = 1 2π∮A ·dl , 其中积分回路选取在布里渊区边界上. 由于波函数 在布里渊区边界上满足周期性条件 ,因此 nw 必须是 整数 ,我们称之为第一类陈数 ,它是能带结构上的一 个拓扑不变量. 在能隙不闭合的前提下 ,我们可以连 续改变哈密顿量 H ( k) ,但 nw 不会改变. 更为重要 的是 , nw 不仅仅是个数学上的量. 1982 年 , Thouless 等人( T KN 2 ) 在一篇奠基性的文章[6 ] 中 ,利用久保 公式计算了二维周期性晶格系统的霍尔电导σH ,发 现它等于 nw e 2 / h. 这不仅揭示了整数霍尔电导的拓 扑来源 ,而且也开启了拓扑学在凝聚态物理中应用 的大门. 上面对能带拓扑结构的描述需要利用周期性边 界条件. 当系统存在边界时 ,比如将一个拓扑绝缘体 ( nw ≠0) 和一个普通绝缘体 ( nw = 0 ,真空可以看成 是一种普通绝缘体) 接在一起 ,这样在边界处 , nw 的数值会发生变化 ,因此能隙在界面处必须闭 ·565 · 前沿进展
前沿进展 合，否则m作为一个拓扑不变量不会发生变化.此 统的能带结构可以用非零陈数加刻划的必要条件 时外干禁带中的费米面附沂存在着无能隙的激发 1983年人们证明TKN2的第一类陈数：可以被 它们对应的单粒子态分布在系统的边界 用来对定义在复数域上的任意维的哈密顿量进行邦 (见图2(a)).从这个意义上来说.整数量子霍尔绝 扑分类)但是当系统具有时间反演不变性时 缘体是介于二维普通绝缘体和一维金属之间的一种 几=0.也就是说，不存在蛋尔电导这一点可以通过 新量子物态它向人们展示了能带绝线体可以通过 分析霍尔电导表达式 ,E,的对称性得到证 表征能带拓扑结构的陈数进行分类 明.因此对于具有时间反演对称性的系统，就无法继 续使用第一类陈数进行分类了 时间反溶算符⊙是个反么正算符它可以写成 ©=e知(I))kx是复共银算符).是角动量算符的 (a) y分量.对于整数自旋的玻色子，9=1.但是对于半奇 数自旋的费米子，。 ,这将会导致Kramers简并 图2拓扑绝缘体的边缘态示意图：(@)破坏时间反滴的整数挥 因此费米子哈密顿量的本征态都是成对出现的使得 系统：(》时间反演不变的自绝缘体，其中的灰色实线 和灰色虚线 我们在选取系统本征态时有一个SU(2)的规范自由 在整数量子蜜尔效应中我们需要一个外加的 度.Dy0n在1962年已经注意到，时间反演不变系统的 磁场它会破坏系统的平移对称性并导致出现分立 哈密顿量的矩阵元可以在四元数域上取值，1988全 的朗道能级.1988年，Haldane提出了 个六角 AvOn等人尝试对定义在四元数域上的哈密顿量讲行 格上的紧束缚模型.他在每 ·个六角原胞的中心 拓扑分并指出需要使用第二类陈数来代替第 入适当的磁偶极子，这样虽然破坏了时间反演对称 类陈数，以便刻划时间反演不变系统的拓扑性质.该文 性但不会出现朗道能级而目品格的平移对称性很 使用了 个简单的在电四极场作用下的自旋2模 到保持.我们仍然可以使用原来六角晶格的布里 型对这种分类讲行了说明2001年张首最和胡江平 区该模型可以写成 把量子霜尔效应从一维推广到四维2相应地原来的 (3 U)规范场也被SU(2)规范场代替.在这种情况下，整 上式中s是2¤的泡利矩阵，它对应着蜂窝结构的 个系统实际上是时间反演不变的.在这样的系统中，施 两套子格，h()是个非零三维矢量.根据久保公式 加一个织向的申场会导致横向无耗散的SU(2)自游流 我们可以算出这个体系的霍尔电导o:■e/h,定 出现随后Aurakami等人在此基础上又研究了三到 义单位矢量，1N后，整数n可写为 材料由自旋轨道耦合导致的无耗敬自旋流) 2O05年，Kane和Mele通过研究石上的自 n=a房×a分 4 轨道耦合效应，指出在单层石墨中会出现量子化的 注意到矢量函数h(日对应者从布里渊区的轮胎面到 自旋霍尔效应，该预言是基于假设系统总自旋S是 S球面的一个映射所以整数（公式(4）)其实对应着 个好量子数.在此假设下，他们所构造的模型可 以写成两部分 这个映射的绕数).Haldane模型的关键之处在于，矢 量函数h的Z分量在布里渊区中的K和'点符号相 H(N 5 反在这种情况下，=士！，即系统存在量子化的霍尔 其中广.(W是自旋向上（向电子的Haldane模 电导当系统有 边界时，Hadane模型的能谱如图1( 型.关于石墨中自旋轨道耦合模型的详细推导可参阅 所示而图2(a)是它的边缘态示意图 文献[15]该系统是时间反演不变的，即 ®H(材⊙=H(,材.自旋向上和自旋向下的电子分别 3 二维自旋霍尔绝缘体 贡献一个单位、符号相反的霍尔电导，即围=有和 上面提到的整数量子霍尔系统，无论是Hal =所以系统总的霍尔电导=0：但4 dae摸型还是传统的整数量子雷尔系统，它们的共 同特点都是时间反演对称性被破坏，这是在样品边 ④)=会导致系统存在量子化的自旋霍尔 界上出现无耗散手征微发的必要条件，同样也是系 效应此时在系统的边界上存在两种互为时间反演的 ,566 http //www.wuli.ac.cn 物理·39卷(2010年)8期 1994-2010 China Academic Jounal Electronic Publishing House.All rights reserved.hup:/wwenkine
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net http :ΠΠwww. wuli. ac. cn 物理 ·39 卷 (2010 年) 8 期 合 ,否则 nw 作为一个拓扑不变量不会发生变化. 此 时 ,处于禁带中的费米面附近存在着无能隙的激发 , 它们 对 应 的 单 粒 子 态 分 布 在 系 统 的 边 界 上 (见图 2 (a) ) . 从这个意义上来说 ,整数量子霍尔绝 缘体是介于二维普通绝缘体和一维金属之间的一种 新量子物态. 它向人们展示了能带绝缘体可以通过 表征能带拓扑结构的陈数 nw 进行分类. 图 2 拓扑绝缘体的边缘态示意图 : (a) 破坏时间反演的整数霍 尔系统 ; (b) 时间反演不变的自旋霍尔绝缘体 ,其中的灰色实线 和灰色虚线是一对时间反演共轭对 在整数量子霍尔效应中 ,我们需要一个外加的 磁场 ,它会破坏系统的平移对称性 ,并导致出现分立 的朗道能级. 1988 年 , Haldane [7 ]提出了一个六角晶 格上的紧束缚模型. 他在每一个六角原胞的中心引 入适当的磁偶极子 ,这样虽然破坏了时间反演对称 性 ,但不会出现朗道能级 ,而且晶格的平移对称性得 到保持. 我们仍然可以使用原来六角晶格的布里渊 区 ,该模型可以写成 H ( h) ( k) = h( k) ·s , (3) 上式中 s 是 2 ×2 的泡利矩阵 ,它对应着蜂窝结构的 两套子格 , h( k) 是个非零三维矢量. 根据久保公式 , 我们可以算出这个体系的霍尔电导σH = ne 2 / h. 定 义单位矢量h ^ ≡h/ | h| 后 ,整数 n 可写为 n = 1 4π∫d 2 k ( 9kx h ^ ×9ky h ^) ·h ^ . (4) 注意到矢量函数 h( k) 对应着从布里渊区的轮胎面到 S 2球面的一个映射 ,所以整数 n(公式(4)) 其实对应着 这个映射的绕数[8] . Haldane 模型的关键之处在于 ,矢 量函数 h的 Z分量在布里渊区中的 K和 K 3 点符号相 反.在这种情况下 , n = ±1 ,即系统存在量子化的霍尔 电导.当系统有边界时 ,Haldane 模型的能谱如图 1 (c) 所示 ,而图 2(a) 是它的边缘态示意图. 3 二维自旋霍尔绝缘体 上面提到的整数量子霍尔系统 ,无论是 Hal2 dane 模型还是传统的整数量子霍尔系统 ,它们的共 同特点都是时间反演对称性被破坏 ,这是在样品边 界上出现无耗散手征激发的必要条件 ,同样也是系 统的能带结构可以用非零陈数 nw 刻划的必要条件. 1983 年 ,人们证明 T KN 2 的第一类陈数 nw 可以被 用来对定义在复数域上的任意维的哈密顿量进行拓 扑分类[9 ] . 但是当系统具有时间反演不变性时 , nw = 0 ,也就是说 ,不存在霍尔电导 ,这一点可以通过 分析霍尔电导表达式 j x = σH Ey 的对称性得到证 明. 因此对于具有时间反演对称性的系统 ,就无法继 续使用第一类陈数进行分类了. 时间反演算符Θ是个反幺正算符 ,它可以写成 Θ= exp (πi U ^ y )κ,κ是复共轭算符 ,U ^ y 是角动量算符的 y 分量.对于整数自旋的玻色子 ,Θ2 = 1. 但是对于半奇 数自旋的费米子 ,Θ2 = - 1 ,这将会导致 Kramers 简并 , 因此费米子哈密顿量的本征态都是成对出现的 ,使得 我们在选取系统本征态时有一个 SU (2) 的规范自由 度. Dyson 在 1962 年已经注意到 ,时间反演不变系统的 哈密顿量的矩阵元可以在四元数域上取值[10] . 1988 年 , Avron 等人尝试对定义在四元数域上的哈密顿量进行 拓扑分类[11] ,并指出需要使用第二类陈数来代替第一 类陈数 ,以便刻划时间反演不变系统的拓扑性质.该文 使用了一个简单的在电四极场作用下的自旋 3/ 2 模 型 ,对这种分类进行了说明. 2001 年 ,张首晟和胡江平 把量子霍尔效应从二维推广到四维[12] ,相应地 ,原来的 U(1)规范场也被 SU(2)规范场代替.在这种情况下 ,整 个系统实际上是时间反演不变的.在这样的系统中 ,施 加一个纵向的电场会导致横向无耗散的SU(2)自旋流 出现.随后 ,Murakami 等人在此基础上又研究了三维 材料由自旋轨道耦合导致的无耗散自旋流[13] . 2005 年 , Kane 和 Mele 通过研究石墨上的自旋 轨道耦合效应 ,指出在单层石墨中会出现量子化的 自旋霍尔效应 ,该预言是基于假设系统总自旋 S z 是 个好量子数[14 ] . 在此假设下 ,他们所构造的模型可 以写成两部分 : H ( k) = H h ↑ ( k) 0 0 H h ↓ ( k) , (5) 其中 H h ↑, ↓ ( k) 是自旋向上(向下) 电子的 Haldane 模 型. 关于石墨中自旋轨道耦合模型的详细推导可参阅 文 献 [ 15 ]. 该 系 统 是 时 间 反 演 不 变 的 , 即 ΘH( k)Θ- 1 = H( - k) .自旋向上和自旋向下的电子分别 贡献一个单位、符号相反的霍尔电导 ,即σ↑ H = e 2 h 和 σ↓ H = - e 2 h ,所以系统总的霍尔电导σc H = 0 ;但σs H = 1 2 (σ↑ h - σ↓ h ) = e 2 h 会导致系统存在量子化的自旋霍尔 效应. 此时在系统的边界上存在两种互为时间反演的 ·566 · 前沿进展
前沿进展 边缘激发它们的自旋和速度相反并构成一一维无质量 非平声的拓扑结构，从而实现二维的量子自旋霍尔 的狄拉克粒子（见图1(d)和图2(6）).如果我们假设系 效应.在CdTe-HgTe-CdTe量子阱中，可以通过 统的边界在x方向，同时在y方向满足周期性条件，狄 调节中间层HgT心的宽度，来实现正常能带结构到 拉克简并点只能出现在=0或=处，因为在这两 反转能带结构之间的转变遵循这种能带翻转的思 个波矢处系统是时间反演不变的 想，刘朝星等人通过理论计算表明，在InAs/GaSb 这一对无质量的边缘激发的重要特征是.狄拉 结构中也有可能观测到自旋雷尔效应如！ 克简并点受到时间反演对称性保护，在其附近非 2007年，德国的 个实验小组制备了CT 杂质散射不会打开能隙这个结论可作如下说 HgE·CdE三明治型量子阱，其中中间层的宽度是 明假设Ψ是一个边缘态时间反演对称性要求 d通过测量样品的纵向电导发现中间层Hg爱存在 回型是另外一个边缘态我们考虑任意一个非磁杂 一个监界宽度d当d<d时材料的申导几平是0 质在这对时间反演共轭对之间的散射矩阵元，考志 表明，作为常规半导体的 CdE在起主要作用.但当 到非磁杂质散射满足©r=，而(9 d>d时材料的电导是2×二并且其数值大小与样品 @Ψ.明，所以©平，平)=0.即在时间反演共 轭态之间不存在非磁杂质导致的散射 的宽度无关我们知道，时间反演不变的自旋霍尔系统 由于在实际材料中存在者破坏S2守恒的项，如 的边缘态存在两个通道，人们因此相信此时中间层能 Rashba自旋轨道耦合项，所以S2不再是好量子数 带反转材料H口起主要作用导致体系处于自旋用 因此不能实现量子化自旋蛋尔效应.但是Kane和 尔绝缘体态这也是人们首次在实验上观测到了时间 Mele注意到，只要这些散射项不破坏时间反演，作 反演不变的体系表现出非平的拓扑性质.在这种品 边缘态出现的无质量的狄拉克粒子就能保留下 子讲中杂质散射起若今人意想不到的作用最诉的玛 米 只是这些态上的自旋和动量会耦 论研究表明它们会导致一种被称为拓扑安德绝 这样的边缘态被称为“helical liquid 他们由此 体的态出现，四这种拓扑非平庸的态甚至不需要量 提出了二维量子霍尔绝缘体的五分类该分类可以 子阱中的能带翻转 简单理解为边界上时间反演共轭对数目的奇偶性 我们前面已经证明，当在边界上只存 一对时间反 三维拓扑绝缘体 演共轭对时，非磁杂质不会导致共扼对之间的摆合 所以这个无能隙的边缘金属态是受到时间反演对称 2006年，时间反演不变的拓扑绝缘体由3个小 性保护的.但是如果在边界上存在两支时间反演共 组从一维推广到三维体系31从另外的角度来 轭对的话，背向散射就会在这两对之间发生 从而号 看二维拓林绝终体也可以桶对四维推广的量 致狄拉克点的简并被移除 维的边缘金属态也被 霍尔模型降维来得到 破坏了，因此奇数对狄拉克粒子和偶数对秋拉克粉 对于 维绝缘体来说其表面是个二维体系在 子在物国性质上右质不 布里渊区中存在4个时间反演对称的点，当体系存 要实现时间反演不变的拓扑绝缘体，必须利用 在表面态时，在这些特殊的点上，会出现Kram 自旋轨道耦合来打开电荷激发能照.由于石墨中的 简并 从而可能形成 维的狄拉克能谱同二维自 本征自旋轨道耦合太弱，大约只有103mevs1,实 霍尔绝缘体类似，三维的拓扑绝缘体也可以通过 验上很难被观测到.要获得较强的自旋轨道耦合效 的拓扑不变量来分类，即表面布里渊区中狄拉克点 应，人们应该在重原子材料中寻找拓扑绝缘体2006 数目的奇偶性决定了绝缘体的拓扑类别.Fu和 年Bernevig,Hughes和张首最指出由自旋轨道， Kac从单粒子波函数的角度，利用体材料在布里渊 合导致的能带反转是实现量子自旋霍尔效应的一般 区的波函数性质定义了一个拓扑不变量来刻划扭 机制，可以在半导体材料HgTe和CdTe形成的量 扑缘体的拓扑分类他们引入了一个矩强 子阱中来实现.在 般的半导体材料中，导带电 ,),当考虑三维体系时 子是s轨道贡献的，价带则是由D轨道形成的 在动量空间一共有8个时间反演不变的点，记为 CdTe就是这样一种常规的半导体材料.但在HgTe M(a=18)在这些点上k和-k可以场过一公 中，由于自旋轨道耦合非常强，引起 轨道之间 倒格矢联系起来，如图3(a)所示容易证明 的能带反转这种能带翻转会导致材料能带上出现 a( )= 4m(),这是 个完全反对称的矩阵 物理·39卷(2010年)8期 ·567 3/094-2010Cn al Ele c Publishing House.ll rightts reserved http /hwww.cnki net
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 物理 ·39 卷 (2010 年) 8 期 http :ΠΠwww. wuli. ac. cn 边缘激发 ,它们的自旋和速度相反 ,并构成一维无质量 的狄拉克粒子(见图 1(d) 和图 2(b)) .如果我们假设系 统的边界在 x 方向 ,同时在 y 方向满足周期性条件 ,狄 拉克简并点只能出现在 ky = 0 或 ky =π处 ,因为在这两 个波矢处系统是时间反演不变的. 这一对无质量的边缘激发的重要特征是 ,狄拉 克简并点受到时间反演对称性保护 ,在其附近非磁 杂质散射不会打开能隙. 这个结论可作如下说 明[16 ] ,假设 Ψ是一个边缘态 ,时间反演对称性要求 ΘΨ是另外一个边缘态. 我们考虑任意一个非磁杂 质在这对时间反演共轭对之间的散射矩阵元 ,考虑 到非磁杂质散射满足 ΘV = VΘ, 而 (ΘΨ, VΨ) = - (ΘVΨ,Ψ) ,所以(ΘΨ,VΨ) = 0 ,即在时间反演共 轭态之间不存在非磁杂质导致的散射. 由于在实际材料中存在着破坏 S Z 守恒的项 ,如 Rashba 自旋轨道耦合项 ,所以 S Z 不再是好量子数 , 因此不能实现量子化自旋霍尔效应. 但是 Kane 和 Mele 注意到 ,只要这些散射项不破坏时间反演 ,作 为边缘态出现的无质量的狄拉克粒子就能保留下 来[17 ] ,只是这些态上的自旋和动量会耦合在一起 , 这样的边缘态被称为“helical liquid”[18 ] . 他们由此 提出了二维量子霍尔绝缘体的 Z2 分类 ,该分类可以 简单理解为边界上时间反演共轭对数目的奇偶性. 我们前面已经证明 ,当在边界上只存在一对时间反 演共轭对时 ,非磁杂质不会导致共轭对之间的耦合 , 所以这个无能隙的边缘金属态是受到时间反演对称 性保护的. 但是如果在边界上存在两支时间反演共 轭对的话 ,背向散射就会在这两对之间发生 ,从而导 致狄拉克点的简并被移除 ,一维的边缘金属态也被 破坏了. 因此奇数对狄拉克粒子和偶数对狄拉克粒 子在物理性质上有本质不同. 要实现时间反演不变的拓扑绝缘体 ,必须利用 自旋轨道耦合来打开电荷激发能隙. 由于石墨中的 本征自旋轨道耦合太弱 ,大约只有 10 - 3 meV [15 ] ,实 验上很难被观测到. 要获得较强的自旋轨道耦合效 应 ,人们应该在重原子材料中寻找拓扑绝缘体. 2006 年 ,Bernevig , Hughes 和张首晟指出由自旋轨道耦 合导致的能带反转是实现量子自旋霍尔效应的一般 机制 ,可以在半导体材料 HgTe 和 CdTe 形成的量 子阱中来实现[19 ] . 在一般的半导体材料中 ,导带电 子是 s 轨道贡献的 ,价带则是由 p 轨道形成的 , CdTe 就是这样一种常规的半导体材料. 但在 HgTe 中 ,由于自旋轨道耦合非常强 ,引起 s - p 轨道之间 的能带反转. 这种能带翻转会导致材料能带上出现 非平庸的拓扑结构 ,从而实现二维的量子自旋霍尔 效应. 在 CdTe - HgTe - CdTe 量子阱中 ,可以通过 调节中间层 HgTe 的宽度 ,来实现正常能带结构到 反转能带结构之间的转变. 遵循这种能带翻转的思 想 ,刘朝星等人通过理论计算表明 ,在 InAs/ GaSb 结构中也有可能观测到自旋霍尔效应[ 20 ] . 2007 年 ,德国的一个实验小组制备了 CdTe - HgTe - CdTe 三明治型量子阱 ,其中中间层的宽度是 d.通过测量样品的纵向电导 ,发现中间层 HgTe 存在 一个临界宽度 dc .当 d < dc 时 ,材料的电导几乎是 0 ,这 表明 ,作为常规半导体的 CdTe 在起主要作用. 但当 d > dc时 ,材料的电导是 2 × e 2 h ,并且其数值大小与样品 的宽度无关.我们知道 ,时间反演不变的自旋霍尔系统 的边缘态存在两个通道 ,人们因此相信此时中间层能 带反转材料 HgTe 起主要作用 ,导致体系处于自旋霍 尔绝缘体态. 这也是人们首次在实验上观测到了时间 反演不变的体系表现出非平庸的拓扑性质. 在这种量 子阱中 ,杂质散射起着令人意想不到的作用. 最近的理 论研究表明 ,它们会导致一种被称为拓扑安德森绝缘 体的态出现[21 , 22] ,这种拓扑非平庸的态甚至不需要量 子阱中的能带翻转. 4 三维拓扑绝缘体 2006 年 ,时间反演不变的拓扑绝缘体由 3 个小 组从二维推广到三维体系[23 —25 ] . 从另外的角度来 看 ,三维拓扑绝缘体也可以通过对四维推广的量子 霍尔模型[12 ]降维来得到[26 ] . 对于三维绝缘体来说 ,其表面是个二维体系 ,在 布里渊区中存在 4 个时间反演对称的点. 当体系存 在表面态时 ,在这些特殊的点上 ,会出现 Kramers 简并 ,从而可能形成二维的狄拉克能谱. 同二维自旋 霍尔绝缘体类似 ,三维的拓扑绝缘体也可以通过 Z2 的拓扑不变量来分类 ,即表面布里渊区中狄拉克点 数目的奇偶性决定了绝缘体的拓扑类别. Fu 和 Kane 从单粒子波函数的角度 ,利用体材料在布里渊 区的波函数性质 ,定义了一个拓扑不变量来刻划拓 扑绝缘体的拓扑分类[27 ] . 他们引入了一个矩阵 ωmn ( k) ≡〈um ( k) |Θ| un ( - k) 〉. 当考虑三维体系时 , 在动量空间一共有 8 个时间反演不变的点 ,记为 Λα(α= 1 , .,8) ,在这些点上 , k 和 - k 可以通过一个 倒格矢联 系 起 来 , 如 图 3 ( a ) 所 示. 容 易 证 明 , ωT mn (Λα) = - ωmn (Λα) ,这是一个完全反对称的矩阵 , ·567 · 前沿进展
前沿进展 (8) 具有进一步的潜在应用价值.目前，薛其坤等人通过分 子束外延的方法，生长出了高质量的Be和Be 薄膜，划，并通过角分辨光电子谱的实验验证了表面 狄拉克谱的存在.吕力等人也报道了他们在ST0,衬 底上生长Bi:S薄膜周并对其载流子浓度进行大幅 度调控的工作.除了上述这些材料之外，最近的能带计 算还预言了 类具有新型结构的拓扑绝缘体材料 TBiO2和TSbO2(这里O可以是尼.Se和S) 三维拓扑绝缘体的表面态可以用纯粹的自旋轨 道耦合模型来描写，其低能有效理论可以写成 图其由年色能斗代表自能的指向 ih(ox) 它的行列式等于它的Pfaffian的平方.于是可以定 这里是体系的费米速度σ是泡利矩阵.可以看到电子 义整数瓦=pf[(A)]Vdet[(A)】,该整数只能 的自旋和其轨道运动完全耦合在一起.对于每一个k态 等于土1然后通过下式定义特征参数% 其自旋的指向如图36)所示.当电子态绕狄拉克点转 5= 16 电子的自旋转过了2”角度，引起了 个的贝 位相.从另外 个角度来看时间反演对称性保证了k到 值得注意的是，在目前情况下，我们必须要求波 .k的背向做射不会发生这使得强拓扑绝终体表面金 函数材》在布里渊区连续，否则，在的符号可以 属态非常稳定，不会被非磁杂质散射而导致局域化 任意选取，其定义将失去意义.另外我们还可以针对 从这个意义上说 维拓扑绝缘体和 维拓扑绝缘体的 不同的表面夫计算另外3个特征系数” 性质是非常相似以的.此外由于磁性杂质可能会破坏时间 计算涉及到表面布里渊区中4 反演对称性从而在狄拉克点打开能隙并进而破坏表面 当参数6=1时，体系被称为“强拓扑绝缘体”：当 态的金属性因出拓扑绝终体中的磁性杂质效应非常雷 %=0而业。不为零时即是“弱拓扑绝缘体”此时 对磁性杂质的进 步研究表明】 拓扑绝缘体表面金 材料是否会展现秋拉克型能谱的表面态取决于表 态的独特性质，会在磁性杂质的近藤效应以及RKKY相 面的指向.Fu和Kane更进 步指出，当材料具有 互作用上部有明品反映 反射对称性时，在这些时间反演不变的点上，系统的 情得一提的是目前狄拉克型能在很多体系 波函数还具有确定的字称5(A)■±1，并且 中都会出现，特别是石墨体系，拓扑绝缘体表面 &=,5(其中2N是费米面下能带的数 的狄拉克能谱和石墨有本质不同，原因在于 目这个特点有助于人们寻找到合话的拓扑绝缘体 Fermion doubling定理.实际上，上世纪80年代初 通过该方法预言了B *6 和。 人1就证明了在普通格点型中秋拉古物子 是成对出现的 在 维石墨中的狄拉克点就是成 2008年，Hsieh等人通过角分济光电子谱观测到 对出现的，但是三维拓扑绝缘体的二维表面态可以 了B.,Sb,材料表面的狄拉克型能谱这是实验上首 避开这个问题因为成对出现的两支秋拉克能增由 次对三维拓扑绝缘体的报道).但这种材料是一种 干拓扑的原因被排到了材料的两个不同的表面上 金，其结构和表面的性质极其复杂2009年，方忠和张 从而相互被完全隔开 ,因此 这些表面态中可以只有 首最等人合作报道了他们对B,e:Bi,S以及其他 个狄拉克点.但在超薄的拓扑绝缘体薄膜中，因 些材料的能带计算结果，表明前面两种材料都是强托 两个表面靠得比较近，它们之间会发生耦合并打开 扑绝缘体，并给出了其表面的单个狄拉克能谱的低能 能隙从而导致秋拉克点的简并被移除 有效模型 与此同时，美国Princeton的研究小组也 独立地报道了他们对Be,和BSe的角分辨光电子 5 拓扑绝缘体有效场论 谱的实验结果，确定了这两种材料都是表面只有一支 秋拉克能善的品拓扑绝缘体别今人惊奈的是BS 我们知道一维量子霜尔效应以桶过陈.寒 的禁带宽度达到了0.3V 远高于室温 另外B 门斯有效场论进行描述，时间反演不变的拓扑绝 与B.,Sb,不同，它是晶体，可以获得纯度很高的样品 缘体也可以用有效拓扑场论来描述.祁晓亮，Huges ,568 http //www.wuli.ac.cn 物理·39卷(2010年)8期 e1994-2010 China Acade c Publishing House.All rights reserved
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net http :ΠΠwww. wuli. ac. cn 物理 ·39 卷 (2010 年) 8 期 图 3 (a) 三维立方晶格的布里渊区示意图 ,图中圆点代表时间 反演不变的动量 ; (b) 三维拓扑绝缘体边缘态狄拉克谱的示意 图 ,其中灰色箭头代表自旋的指向 它的行列式等于它的 Pfaffian 的平方. 于是可以定 义整数δα = p f [ω(Λα) ]/ det[ω(Λα) ] ,该整数只能 等于 ±1. 然后 ,通过下式定义特征参数ν0 : ( - 1) ν0 = ∏ 8 α=1 δα . (6) 值得注意的是 ,在目前情况下 ,我们必须要求波 函数| un ( k) 〉在布里渊区连续 ,否则 ,δα 的符号可以 任意选取 ,其定义将失去意义. 另外我们还可以针对 不同的表面 ,去计算另外 3 个特征系数ν1 ,2 ,3 ,它们的 计算涉及到表面布里渊区中 4 个时间反演不变点. 当参数ν0 = 1 时 ,体系被称为“强拓扑绝缘体”;当 ν0 = 0而ν1 ,2 ,3 不为零时 ,即是“弱拓扑绝缘体”,此时 材料是否会展现狄拉克型能谱的表面态 ,取决于表 面的指向. Fu 和 Kane 更进一步指出 ,当材料具有 反射对称性时 ,在这些时间反演不变的点上 ,系统的 波函数还具有确定的宇称 ξm (Λα) = ±1 , 并且 δα = ∏ 2 N m =1ξm (Λα) ,其中 2 N 是费米面下能带的数 目. 这个特点有助于人们寻找到合适的拓扑绝缘体. Fu 和 Kane 通过该方法预言了 Bi1 - x Sbx 和α- Sn 是拓扑绝缘体. 2008 年 ,Hsieh 等人通过角分辨光电子谱观测到 了Bi1 - xSbx 材料表面的狄拉克型能谱 ,这是实验上首 次对三维拓扑绝缘体的报道[28] . 但这种材料是一种合 金 ,其结构和表面的性质极其复杂. 2009 年 ,方忠和张 首晟等人合作报道了他们对 Bi2 Te 3 ,Bi2Se3以及其他一 些材料的能带计算结果 ,表明前面两种材料都是强拓 扑绝缘体 ,并给出了其表面的单个狄拉克能谱的低能 有效模型[29] . 与此同时 ,美国 Princeton 的研究小组也 独立地报道了他们对Bi2 Te 3 和 Bi2Se3的角分辨光电子 谱的实验结果 ,确定了这两种材料都是表面只有一支 狄拉克能谱的强拓扑绝缘体[30] . 令人惊奇的是 ,Bi2Se3 的禁带宽度达到了 0. 3eV ,远高于室温. 另外 ,Bi2Se3 与Bi1 - xSbx不同 ,它是晶体 ,可以获得纯度很高的样品 , 具有进一步的潜在应用价值. 目前 ,薛其坤等人通过分 子束外延的方法 ,生长出了高质量的 Bi2Se3 和 Bi2 Te 3 薄膜[31 , 32] ,并通过角分辨光电子谱的实验验证了表面 狄拉克谱的存在. 吕力等人也报道了他们在 SrTiO3衬 底上生长Bi2Se3 薄膜[33] ,并对其载流子浓度进行大幅 度调控的工作.除了上述这些材料之外 ,最近的能带计 算还预言了一类具有新型结构的拓扑绝缘体材料 TlBiQ2和 TlSbQ2 [34] (这里 Q 可以是 Te ,Se 和 S) . 三维拓扑绝缘体的表面态可以用纯粹的自旋轨 道耦合模型来描写 ,其低能有效理论可以写成[29 ] Hsurface = - i ÜνF (σר) z , (7) 这里νF是体系的费米速度σ, 是泡利矩阵.可以看到电子 的自旋和其轨道运动完全耦合在一起.对于每一个 k 态 , 其自旋的指向如图 3(b)所示.当电子态绕狄拉克点转一 圈后 ,电子的自旋转过了 2π角度 ,引起了一个π的贝里 位相.从另外一个角度来看 ,时间反演对称性保证了 k 到 - k 的背向散射不会发生 ,这使得强拓扑绝缘体表面金 属态非常稳定 ,不会被非磁杂质散射而导致局域化[35] . 从这个意义上说 ,三维拓扑绝缘体和二维拓扑绝缘体的 性质是非常相似的.此外 ,由于磁性杂质可能会破坏时间 反演对称性 ,从而在狄拉克点打开能隙 ,并进而破坏表面 态的金属性 ,因此拓扑绝缘体中的磁性杂质效应非常重 要.对磁性杂质的进一步研究表明 ,拓扑绝缘体表面金属 态的独特性质 ,会在磁性杂质的近藤效应以及 RKKY相 互作用上都有明显反映[36 —38] . 值得一提的是 ,目前狄拉克型能谱在很多体系 中都会出现 ,特别是石墨体系[ 39 ] . 拓扑绝缘体表面 的狄 拉 克 能 谱 和 石 墨 有 本 质 不 同 , 原 因 在 于 Fermion doubling 定理. 实际上 ,上世纪 80 年代初 , 人们就证明了在普通格点模型中 ,狄拉克粒子一定 是成对出现的[ 40 ] . 在二维石墨中的狄拉克点就是成 对出现的 ,但是三维拓扑绝缘体的二维表面态可以 避开这个问题 ,因为成对出现的两支狄拉克能谱由 于拓扑的原因被推到了材料的两个不同的表面上 , 从而相互被完全隔开 ,因此这些表面态中可以只有 一个狄拉克点. 但在超薄的拓扑绝缘体薄膜中 ,因为 两个表面靠得比较近 ,它们之间会发生耦合并打开 能隙 ,从而导致狄拉克点的简并被移除[41 ] . 5 拓扑绝缘体有效场论 我们知道 ,二维量子霍尔效应可以通过陈 - 赛 门斯有效场论进行描述[42 ] ,时间反演不变的拓扑绝 缘体也可以用有效拓扑场论来描述. 祁晓亮 , Huges ·568 · 前沿进展