群的概念(续) 例:设G={,a,b,￠},为G上的二元运算,运算表 如下: e oeabc bbcea ccbae b 称群<G,o>为Kei四元群。在含四个元素的群中, 任意元素与自己运算的结果都为幺元;除幺元外,任意 两个运算的结果都等于另一个元素。 2021/2/24 离散数学 11
2021/2/24 离散数学 11 二、群的概念（续） 例：设G = {e, a, b, c}，为G上的二元运算，运算表 如下： e a b c a a e c b b b c e a e e a b c c c b a e 称群<G, >为Klein四元群。在含四个元素的群中, 任意元素与自己运算的结果都为幺元；除幺元外，任意 两个运算的结果都等于另一个元素
群的概念(续) 群中的幂:设群<G,o>,则对x∈G, x0=e,xn+=xnox,(m为非负整数) x"=(x-y"=(ay)1,(m为正整数) 幂运算的性质: (1)VxeG,(x--=x (2)Vx,yeG,(xoy-l=y-lox-l (3)Vx∈G, roh=xm+n,m,n为整数 (4)Vx∈G,(xm)=xmn,m,n为整数 2021/2/24 离散数学 12
2021/2/24 离散数学 12 二、群的概念（续） 群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x 0 = e ，x n+1 = x n x，(n为非负整数) x -n= (x -1 ) n= (xn ) -1 ，(n为正整数) (1) xG，(x -1 ) -1 = x， 幂运算的性质： (2) x, yG，(x y) -1 = y -1 x –1 ， (3) xG，x m x n = x m + n ，m, n为整数 (4) xG，(x m) n = x mn ， m, n为整数
群的概念(续) 设<G,o>为群,对va,b∈G,方程aox=b 定理1和 oa=b在G中有解,且解是唯一的。 显然,两个方程的解分别是x=a1b,y=boa-l 例1:S={1,2,3},在群<P(S),⊕>中解方程 1,2}⊕x={1,3}和y⊕{1}={2,3}。 解::群<P(S),⊕>的幺元是, 2} ,{1}l={1} x={1,2}e{1,3}={1,2}⊕{1,3}={2,3} y={2,3}⊕{1}1={2,3}{}={1,2,3}。心 2021/2/24 离散数学 13
2021/2/24 离散数学 13 二、群的概念（续） 设<G, >为群，对 a, bG，方程a x = b 定理1 和y a = b在G中有解，且解是唯一的。 显然，两个方程的解分别是x = a -1 b，y = b a –1 。 例1：S = {1, 2, 3}，在群<P(S), >中解方程 {1, 2} x = {1, 3} 和 y {1} = {2, 3}。 解： ∵群<P(S), >的幺元是， ∴ {1, 2}-1= {1, 2}，{1}-1= {1} y = {2, 3} {1}-1 = {2, 3} {1} = {1, 2, 3}。 ∴ x = {1, 2}-1 {1, 3}= {1, 2} {1, 3} = {2, 3}
群的概念(续) 定理2群<G,>中不存在零元0 证明:若G=1,则G的唯一元素必是幺元e。 若G|>1,假设彐日∈G, 则对vx∈G,有x。θ=x=日≠e, 即说明G中任何元素都不是θ的逆元 这与<G,o>中每个元素都有逆元矛盾。 因此,群<G,∞中不存在零元。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 14 二、群的概念（续） 定理2 群<G, >中不存在零元 。 证明：若|G| = 1，则G的唯一元素必是幺元e 。 若|G| > 1，假设 G， 则对 xG，有x = x = e， 即说明G中任何元素都不是 的逆元， 这与<G, >中每个元素都有逆元矛盾。 因此，群<G, >中不存在零元
群的概念(续) 设<G,。为群,则G中适合消去律。 定理3 即对ya,b,c∈G,有 (1)若aob=oc,则b=c (2)着boa=coa,则b=c 定理A设<G,为有限群,则的运算表中的每 行(每一列都是G中元素的一个置换,且不 同行(或列)的置换都不相同。 利用定理4可以通过运算表判断某个代数系统不是群 但是不能判断某个代数系统是群。 2021/2/24 离散数学 15
2021/2/24 离散数学 15 二、群的概念（续） 设<G, >为有限群，则G的运算表中的每一 行(每一列)都是G中元素的一个置换，且不 同行(或列)的置换都不相同。 定理4 设<G, >为群，则G 中适合消去律。 即对 a, b, cG，有 (1) 若a b = a c，则b = c。 (2) 若b a = c a，则b = c。 定理3 利用定理4可以通过运算表判断某个代数系统不是群， 但是不能判断某个代数系统是群