华东交通大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 几个典型的代数系统

第六章几个典烈的代数系统 §6.1半与详 §62格与布尔代数 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 1 第六章 几个典型的代数系统 §6.1 半群与群 §6.2 格与布尔代数

86.1半群与群 半群的概念 半群:设V=<S,。>是代数系统,是二元运算。 如果。在S上是可结合的,则称为半群。 即对x,y,z∈S,有(xoy)oz=xo(。z) 如:<z,+>,<N,+>,<Z,+>,<R,x>,<Mn(R),吟, <P(S),U>,<P(S,>,<P(S),由>,<Zm,⊕>都是半群, 但<Z,->不是半群。 可变换半群:如果半群V=<S,>中的二元运算。是 可交换的,则称V为可交换半群。國心 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 2 可交换半群：如果半群V = < S,  >中的二元运算 是 可交换的，则称V为可交换半群。 一、半群的概念 半群：设V = < S,  >是代数系统， 是二元运算。 如果 在S上是可结合的，则称V为半群。 即对 x, y, z S，有(x  y)  z = x  (y  z)。 §6.1 半群与群 如：<Z+ , +>, <N, +>, <Z, +>, <R, >, <Mn (R), •>, <P(S),∪>, <P(S),∩>, <P(S), >, <Zn , >都是半群， 但< Z, – >不是半群

一、半群的概念(续) 含幺半群(独异点):如果半群V=<S,°>的二元 运算含有幺元,则称为含幺半群(独异点 职彐e∈S,使得对x∈S都有e。x=xoe=x 独异点亦可记为<S,°,e>。 如:<N,+,0>,<Z,+,0>,<R,x,1>,<Mn(R,°,E>, <P(S),U,>,<P(S),n,S>,<P(S),⊕,>,<Zn⊕,0> 都是独异点,但<z,+>不是独异点。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 3 一、半群的概念（续） 含幺半群（独异点）：如果半群V = < S,  >的二元 运算 含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。 即 eS，使得对 xS都有e  x = x  e = x。 独异点亦可记为< S,  , e>。 如：<N, +, 0>, <Z, +, 0>, <R, , 1>, <Mn (R), • , E>, <P(S),∪, >, <P(S),∩, S>, <P(S), , >, <Zn , , 0> 都是独异点，但<Z+ , +>不是独异点

独异点的性质:<4,*>是独异点,则*的运算表 中没有任何两行或两列相同 证明:任取a,b(≠b所在行,由于A中含有幺元e, 我们比较a行,b行中e列的元素 a e=a b*e=b 因为:m≠b,所以*≠b*已,从而a行与b行不同, 同理可证任两列不同 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 4 独异点的性质：<A,  >是独异点, 则的运算表 中没有任何两行或两列相同. 证明： 任取a,b (ab)所在行,由于A中含有幺元e, 我们比较a行,b行中e列的元素 a  e = a b  e = b 因为： ab,所以ae  be,从而a行与b行不同, 同理可证任两列不同

一、半群的概念(续) 子半群:半群的子代数。 即设=<S,>是半群,BcS且B≠, 若B对。运算封闭,则<B,o是的子半群。 子独异点:含幺元的子半群。 即设V=<S,°,公是独异点,BcS且B≠⑧ 若B对运算封闭,且eB,则<B,°,C是V 的子独异点。 如:<z,+>和<N,+>是<Z,+>的子半群,且<N,+>是 <Z,+>的子独异点,但<Z,+>却不是。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 5 一、半群的概念（续） 子半群：半群的子代数。 即设V = <S, >是半群，B  S且B  ， 若B对 运算封闭，则<B, >是V的子半群。 子独异点：含幺元的子半群。 即设V = <S,  , e>是独异点，B  S且B  ， 若B对 运算封闭，且eB，则<B,  , e>是V 的子独异点。 如：<Z+ , +>和<N, +>是<Z, +>的子半群，且<N, +>是 <Z, +>的子独异点，但<Z+ , +>却不是