一、半群的概念(续) 半髒中的幂:设半群V=<S,。>,则对vx∈S, x1=x,x+l=x"ox,(m为正整数) 幂运算的性质: roh=xm+", (xmy=xm(m,m为正整数) 独异点中的幂:设独异点V=<S,°,E,则对x∈eS, x0=e,xm+l=xnox,(n为自然数) 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 6 一、半群的概念（续） 半群中的幂：设半群V = <S, >，则对 xS， x 1 = x，x n+1 = x n x，(n为正整数) 独异点中的幂：设独异点V = <S, , e>，则对 xS， x 0 = e，x n+1 = x n x，(n为自然数) 幂运算的性质： x m x n = x m + n ， (x m) n = x mn (m, n为正整数)
一、半群的概念(续) 半群的同恣:设V1=<S1,°>,V2=<S2,*>为半群, q:S1→S2,且对vx,y∈S1有 Poy)=p(x)*o) 则称是半群v到V2的同态。 独异点的同态:设V=<S1,°,e1>,V2=<S2,*,2> 为独异点,q:S1→S2,且对vx,y∈S有 P(xoy)=o(x)*ov,o(el=ex 则称ρ是独异点到V2的同态。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 7 一、半群的概念（续） 半群的同态：设V1 = <S1 , >，V2 = <S2 , >为半群， : S1 → S2 , 且对 x, yS1有 (x y) = (x) (y)， 则称 是半群V1到V2的同态。 独异点的同态：设V1 = <S1 , , e1>，V2 = <S2 , , e2> 为独异点， : S1 → S2 , 且对 x, yS1有 (x y) = (x) (y)， (e1 ) = e2， 则称 是独异点V1到V2的同态
一、半群的概念(续) a 0 如:半群V=<S,“,其中S a,d∈R 0 d 为矩阵乘法。令9:S→S,(a0)=(a0 0d)(00 则是半群的自同态,且同态象为<g(S),°, 其中p(S)=a0 a∈R 0 但是不是独异点V=S,(10的自同态。 0 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 8 一、半群的概念（续） 如：半群V = <S, •>，其中S = ， •为矩阵乘法。令 : S → S, ( ) = ， 则 是半群V的自同态，且同态象为< (S) , •>， 其中 (S) = 。 但是不是独异点V = <S, • , >的自同态。 a d R d a , 0 0 d a 0 0 0 0 a 0 a R a 0 0 0 0 1 1 0
、群的概念 群:设Ⅳ=<G,>是代数系统,是二元运算。 如果。在G上是可结合的,存在幺元e∈G, 并且G中的任意元素x都有x-1∈G, 则称V=<G,0>为群。 如:<Z,+>,<R-{0},x>,<P(S,>,<Zn是群, 但<N,+>,<Mn(R),不是。 代数系/( 半群 独异点(6 群 2021/2/24 离散数学 9
2021/2/24 离散数学 9 二、群的概念 群：设V = <G, >是代数系统， 是二元运算。 如果 在G上是可结合的，存在幺元eG， 并且G中的任意元素x 都有x –1 G ， 则称V = <G, >为群。 如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn , >是群， 但<N, +>, <Mn (R), •>不是。 代数系统 独异点 群 (1) (2) (3) 半群
群的概念(续) 有限群:G为有限集的群<G,。>称为有限群, 否则称为无限群。 G为有限群的阶。 如:<Z,+>,<R-{0},X>为无限群,<Zn>为有限群。 交换群:若群<G,。>中的二元运算。是可交换的, 则称群<G,o>为交换群,也称阿贝尔群。 如:<Z,+>,<R-{0},X>,<PS),⊕>,<Zn>都是 阿贝尔群。 2021/2/24 离散数学 10
2021/2/24 离散数学 10 二、群的概念（续） 有限群：G为有限集的群<G, >称为有限群， 否则称为无限群。 |G|为有限群的阶。 交换群：若群<G, >中的二元运算 是可交换的， 则称群<G, >为交换群，也称阿贝尔群。 如：<Z, +>, <R–{0}, >为无限群，<Zn , >为有限群。 如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn , >都是 阿贝尔群