第四章二元美系和函数 541集合的卡尔积与二元关系 542关系的运算 543关系的性质 54关系的闭包 54.5等价关系和偏序关系 546函数的定义和性质 57函数的复合和反函数 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 1 第四章 二元关系和函数 §4.1 集合的笛卡尔积与二元关系 §4.2 关系的运算 §4.3 关系的性质 §4.4 关系的闭包 §4.5 等价关系和偏序关系 §4.6 函数的定义和性质 §4.7 函数的复合和反函数
84.1集合的笛卡尔积与二元关系 一、二元关系的概念 有房对(序偶):由两个元素x和按一定顺序排成 的二元组。记作:<x,y>。其中是它的第 元素,y是它的第二元素。 如平面直角坐标系点的坐标。 特:(1)当x≠y时,<x,y>≠<y,x> (2)<x,y>=<,v>当且仅当x=l,y=v (1)(2)说明有序对区别于集合。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 2 §4.1 集合的笛卡尔积与二元关系 一、二元关系的概念 有序对（序偶）：由两个元素x 和y 按一定顺序排成 的二元组。记作：< x, y >。其中x是它的第 一元素，y是它的第二元素。 特点：(1)当x y 时，< x, y > < y, x > (2) < x, y > = < u, v > 当且仅当x = u, y = v (1)(2)说明有序对区别于集合。 如平面直角坐标系点的坐标
、二元关系的概念(续) 元有序对:第一元素是一个n-1元有序对的有序对。 记作:x1,x2,…,xn>。 即<x 12,·9n >=<<x 1··9n-1n 鹤卡尔积:设A、B为两集合,以A中元素为第一元 素,B中元素为第二元素构成的二元有 序对的全体叫做4和B的笛卡儿积。 记作:AxB 符号化A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 3 一、二元关系的概念（续） n 元有序对：第一元素是一个n –1元有序对的有序对。 记作：< x1 , x2 , … , xn >。 即< x1 , x2 , … , xn> = << x1 , … , xn-1 >, xn > 笛卡尔积：设A、B为两集合，以A中元素为第一元 素，B中元素为第二元素构成的二元有 序对的全体叫做A和B的笛卡儿积。 记作：A B 符号化 A B = { < x, y > | xA yB }
、二元关系的概念(续) 例1:设4={a,b},B={0,1,2},求A4xB,B×A 解:由笛卡尔积的定义知 A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>, <b,0>,<b,1>,<b,2>} B×A={<0,a>,<0,b>, <1,><1.b> 2,a>,<2,b>} 一般地,着4=m,|B|=n,则4×B=|BxA|=m 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 4 一、二元关系的概念（续） 例1：设A = { a, b }，B = { 0, 1, 2 }，求A B，B A。 解：由笛卡尔积的定义知 A B = { < a, 0 >, < a, 1 >, < a, 2 >, < b, 0 >, < b, 1>, < b, 2> } B A = { < 0, a >, < 0, b >, < 1, a >, < 1, b >, < 2, a >, < 2, b> } 一般地，若|A| = m, |B| = n, 则|A B| = |B A| = mn
、二元关系的概念(续) 笛卡尔积运算的性质: (1)如果A,B中有一个空集,则笛卡儿积是空集, 即:⑦xB=Ax=团 (2)当A≠B,且A,B都不是空集时,有A×B≠B×A, 即笛卡尔积不满足交换律。 (3)当A,B,C都不是空集时,有(4×B)×C≠ Ax(B×C),即笛卡尔积不满足结合律。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 5 一、二元关系的概念（续） 笛卡尔积运算的性质： (1) 如果A, B中有一个空集，则笛卡儿积是空集， 即： B = A = (3) 当A, B, C都不是空集时，有(A B) C A ( B C)，即笛卡尔积不满足结合律。 (2) 当A B，且A, B都不是空集时，有A B B A, 即笛卡尔积不满足交换律