驾驶问题
驾驶问题
1.限定区域的问题 如图,从平面上的A(-2,0)经上半平面驾驶到 B(2,0)不能穿过湖所在的区域D:x2+y2<1, 求最短路径 A(-2,0) B(2,0)
1. 限定区域的问题 • 如图,从平面上的A(-2,0)经上半平面驾驶到 B(2,0),不能穿过湖所在的区域D:x2+y2<1, 求最短路径. • • A(-2,0) B(2,0)
背景知识 平面上连接两点的 最短路径是连接这 两点的直线段 如图,在一个环扇形 区域内连接两条向 径的最短路径是圆 弧EF EFIPQ 事实上,我们以极坐标形式表示曲线PQ时, 曲线PQ:p=p(0),记r=OE|,则 aV02+(,'(0)2d0≥r(B-a)
背景知识 • 平面上连接两点的 最短路径是连接这 两点的直线段 . • 如图 ,在一个环扇形 区域内连接两条向 径的最短路径是圆 弧EF. | EF | ≤ | PQ| ( ( )) ( ). : ( ), r |OE |, , P Q , 2 2 = + − = = l d r 曲 线PQ 记 则 事实上 我们以极坐标形式表示曲 线 时 O •E • F • • P Q
思考1:在y轴上取一点C(02y)2使得折线ACB 与区城O不交于是其长度为 ACB=2(4+y2)2 显然ACB随着y的减小而减小减小y使得y=y1 时C1(0,y1)满足:AC1与C1B都与区域D的边界相 切切点分别记为E和F C C A(-2,0 B(2,0)
思考1:在y轴上取一点C(0,y),使得折线ACB 与区域O不交.于是其长度为 | | 2(4 ) . 2 1/ 2 ACB = + y 显然,|ACB|随着y的减小而减小.减小y使得y= y1 时C1 (0,y1 )满足:A C1与C1 B都与区域D的边界相 切,切点分别记为E和F. • • A(-2,0) B(2,0) • • C1 • •C E F
因此我们得到折线AC1B是最短的折线 且 AE亠OE,BF亠OF 由于弧EF比折线EC1F更短的路径可以证 明路径:直线段AE弧EF直线段FB是最短的 路径. C E F A(-2,0) B(2,0)
因此,我们得到:折线A C1 B是最短的折线. 且 AEᅩOE,BF ᅩOF; 由于弧EF比折线E C1 F更短的路径.可以证 明路径:直线段AE,弧EF,直线段FB是最短的 路径. • • A(-2,0) B(2,0) • • C1 • •C E F O