量纲分析与无量纲化 量纲齐次原理 许多物理量是有量纲的,其中有些物理量的量 纲是基本的有些物理量的量纲则可以依定义 或物理定律推导出来量x量纲记号[x如:
量纲分析与无量纲化 一 . 量纲齐次原理 许多物理量是有量纲的,其中有些物理量的量 纲是基本的,有些物理量的量纲则可以依定义 或物理定律推导出来.量x量纲记号[x]如:
动力学:长度l质量m,时间量纲为基本量纲 分别记做L,M,T即 ]=D,[m]=M,[=T 其他量纲速度v=,故叫=Lr; 加速度a= d,故l1=LT2 d t 力f:由牛顿第二定律=m知,=LMr 动量m=LM;压强=f/S=LM
, [ ] ; −1 = v = LT dt dx 速度v 故 , [ ] ; −2 = a = LT dt dv 加速度a 故 : ,[ ] ; −2 力f 由牛顿第二定律f = ma知 f = LMT 动力学:长度l,质量m,时间t的量纲为基本量纲, 分别记做L,M,T.即 [ ] ; [ ] [ / ] . −1 −1 −2 动 量 mv = LMT 压 强 p = f S = L MT 其他量纲 [l] = L, [m] = M, [t] = T
有些物理常数比例系数也是有量纲的,如 万有引力常数由=k"m2知k1=EM72; 胡克定律中的比例系数f=kx,则k=M2 类似地在我们前面讲过的 Malthus人口模型中 dx(t) r·x(t) dt 这里的r也是有量纲的[r=T1而离散的指数增 长模型中的r是无量纲的另外,即使t的时间单 位为年,二者的值也是稍有不同 门]=LM2
有些物理常数,比例系数也是有量纲的,如 : ,[ ] ; 3 1 2 2 1 2 − − = k = L M T r m m 万有引力常数 由f k 知 [ ] ; −2 f = LMT : , [ ] . −2 胡克定律中的比例系数 f = kx 则 k = MT 类似地在我们前面讲过的Malthus人口模型中 ( ) ( ) r x t dt dx t = 这里的r也是有量纲的[r]=T-1 .而离散的指数增 长模型中的r是无量纲的.另外,即使t的时间单 位为年,二者的值也是稍有不同
常用的基本量纲: 热学:L,M,T及温度的量纲; 电学:L,M,T及电量q的量纲Q 另外,无量纲量c的量纲记做|c=1如314]=1,后 面常用π 量纲齐次原理用数学式子表示一个物 理定律时,等号两端必须保持量纲一致 Dimensional Homogeneity
常用的基本量纲: 热学: L,M,T及温度的量纲; 电学: L,M,T及电量q的量纲Q. 另外,无量纲量c的量纲记做[c]=1.如[3.14]=1,后 面常用π. 量纲齐次原理 用数学式子表示一个物 理定律时,等号两端必须保持量纲一致. Dimensional Homogeneity
例1单摆运动质量为m的小球系在长为残线的 端,另一端固定,让小球偏离平衡位置,则小球 在重力mg作用下做往复运动求周期t 我们用量纲分析来求周期t的表达式,出现的物 理量有mg,1我们设 t=Mm1g,常数a,B,?待定;为无量纲量 两边取量纲得:T=M“D(LT2)
例1 单摆运动 质量为m的小球系在长为l线的 一端,另一端固定,让小球偏离平衡位置,则小球 在重力mg作用下做往复运动.求周期t. 我们用量纲分析来求周期t的表达式,出现的物 理量有m,g,t,l.我们设 ,常 数, ,待 定;为无量纲量. t = m l g : ( ) −2 两边取量纲得 T = M L LT