《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第4章 线性方程组

矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵.一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组(列)定义2矩阵的行初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换F (列）交换矩阵的两行2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；3）用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上

矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组. 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换： 3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）的对应元素上. 1) 交换矩阵的两行（列） 2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素；

显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出在对于一个线性方程组施行初等变换时，我们的自的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题．在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换．后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究

显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于 对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简 线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题. 下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵 来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出. 在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的 目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个 线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方 便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即 允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于 交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研 究

(2)在例1中，我们曾把方程组的系数矩阵1-35-34-35-31123先化为然后，进一步化为ailaln设A是一个定理4.1.2d21福a12n22m行n列的矩阵：aaam2mlmn

在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵                 5 3 4 2 3 3 5 1 1 3 1 2 1               100 110 3 3 5 1 先化为           100 010 001 然后，进一步化为 定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵：                mm mn n n aaa aaa aaa A     21 2 22 1 2 1 21 1 1

通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：**r行(5)*0

通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为 以下形式：                         0 0 0 0 0 **1000 ****10 *****1          r行 (5)

进而化为以下形式inC2nC.6rn这里r≥o,r≤m,r≤n，*表示矩阵的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相同证关若是矩阵A的元素α，都等于零，那么A已有（5）白的形式

这里  nrmror , * 表示矩阵的元素，但 不同位置上的 * 表示的元素未必相同. 证 若是矩阵A的元素 aij 都等于零，那么A 已有（5）的形式 进而化为以下形式，                          0 0 0 0 1000 0010 0001 1, 1,2 2 1,1 1           rr r n r n r n c c c c c c （6）