数 理 着考处 考虑到式(10.2.10)及式(102.13),则有 Hed(t-o)=hod(o-r)=-Hod(o-T+2) H(+) (10.2.14 由式(102.13)可得 H(0+4n)=Ha(O+2n)+2n]=-H(+2x) H() (10.2.15 结论2: 当N为偶数时,理想数字低通滤波器幅度函数H(o)既 是实偶函数,且对o=z奇对称,又是周期为4n的周期函数
10.2.10 10.2.13 ( ) ( ) ( 2) ( ) (10.2.14) 10.2.13 ( 4 ) [( 2 ) 2 ] ( 2 ) ( ) (10.2.15) ( ) gd gd gd gd gd gd gd gd gd HH H H HH H H N H πω ωπ ωπ π π ω ωπ ωπ π ωπ ω ω ω π − = − =− − + =− + + = + + =− + = = 2 考虑到式（ ）及式（ ），则有 由式（ ）可得 结 论 ： 当 为偶数时，理想数字低通滤波器幅度函数 既 是实偶函数，且对 奇对称，又是周期为 的周期函数。 4 π
数 理 2【2】FIR数字低通滤波器的窗函数设计方法 着考处 由式(102.5)知,h(1)是无限长非因果信号,由式(10.2.6)知, h(mn)是无限长非因果序列,因此,理想模拟低通滤波器和理想数字 低通滤波器都是非因果系统,那么,它们都是物理上不可实现系统 需要设计的FIR数字低通滤波器,其单位冲激响应h(n)是有限 长的,即要用一个有限长hn)的去逼近一个无限长的h(n),逼近最 有效的方法是截断h(n),或用一个有限长度的窗口函数序列v(m)来 截取h(m)现对h(n)作数据截断,即加矩形窗进行处理。令 h(n)=ha(nr(n) 102.16 考虑到式(10.2.16)及式(1027),则有 h(N-1-m)=h(N-1-n)R(N-1-n)=h(n)R(n)=h(m)(10.2.17 由式(10.217)知,h(m)是对称轴为 N 的偶对称序列
【2】FIR数字低通滤波器的窗函数设计方法 10.2.5 ( ) 10.2.6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a d d d h t h n h n hn h n h n wn FIR 由式（ ）知， 是无限长非因果信号，由式（ ）知， 是无限长非因果序列，因此，理想模拟低通滤波器和理想数字 低通滤波器都是非因果系统，那么，它们都是物理上不可实现系统。 需要设计的 数字低通滤波器，其单位冲激响应 是有限 长的，即要用一个有限长 的去逼近一个无限长的 ，逼近最 有效的方法是截断 ，或用一个有限长度的窗口函数序列 来 截 () () ( ) ( ) ( ) (10.2.16) 10.2.16 10.2.7 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) (10.2.17) 1 10.2.17 ( ) 2 d d d N dN d N hn hn hn h nR n hN n h N nR N n h nR n hn N hn n = −− = −− −− = = − = 取 。现对 作数据截断,即加矩形窗进行处理。令 考虑到式（ ）及式（ ）,则有 由式（ ）知， 是对称轴为 的偶对称序列
数 理 着考处 当N为奇数时,考虑到式(102.16)及式(10.2.7),则FIR数字低通 滤波器的频率特性可表示为 H(e")=∑hn)em=∑h(mR、(n)em=∑h(n)em N h,()e +h h, (n)e n=0 (N-3)/2 (N-3)/2 ne )e ∑h(N-1-mlem) 公[h(me(n1N- N-1 2+h(N-1-n) N (h(a)+22 hi(n)cos[(n-o1je e (N-1)/2 )+2h n)cos(no)le 2 (10.2.18)
1 0 ( 3) 2 1 1 2 0 ( 1) 2 10.2.16 10.2.7 ( ) () () () () 1 ( ) ( ) ( ) 2 N j jn jn jn d N d nn n N N N j jn jn d d d n n N N H e hne h nR ne h ne N h ne h e h ne h ω ω ωω ω ω ω +∞ +∞ − − −− =−∞ =−∞ = − − − − − − = = + == = − =+ + = ∑∑ ∑ ∑ ∑ 当 为奇数时，考虑到式（ ）及式（ ），则 数字低通 FIR 滤波器的频率特性可表示为 ( 3) 2 1 ( 3) 2 (1) 2 0 0 ( 3) 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 ( 0 1 () ( ) ( 1 ) 2 1 [ ( ) ( 1 ) ] ( ) 2 1 1 {[ ( ) 2 ( )cos[( ) 2 2 N N Nj jn j N m d d d n m N N N N N j n j n j j d d d n d d n N ne h e h N me N h ne h N ne e h e N N h h n n ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − − − − = = − − − − − − − − − − = = − + +− − − = + − − + − − =+ − ∑ ∑ ∑ 3) 2 1 2 ( 1) 2 1 2 1 ]} 1 1 [ ( ) 2 ( )cos( )] (10.2.18) 2 2 N Nj N Nj d d n e N N h h nn e ω ω ω − − − − − − = − − =+ − ∑ ∑
数 理 着考处 考虑到式(102.18),则FIR数字低通滤波器的幅度函数为 N (N-D/2N-1 H(o=hd 2)+22(2 n)cos(no) 10.2.19) 式(10.2.19)表明与连续时间周期信号的傅里叶级数类似FIR数字 低通滤波器的幅度函数H()直流分量h[(N-1)/2]和(N-1)/2次谐波 分量构成。由式(1026)知道,h(N-1)/2]为h(m)的最大值,当n靠近 (N-1)2时,h(m)较大因此,直流分量和低次谐波分量构成了H2(谱图 的基本框架结构髙次谐波分量起调节作用,使得数字低通滤波器的幅频特 性H(e")=|H2(o)更加接近理想数字低通滤波器的幅频特性|(e") 基于这一事实在通带和阻带内,由于直流分量和(N-1)/2次谐波分量的 叠加,H(20)的图形将出现起伏的波纹。显然N越大高频分量增多高频 分量的调节作用增强起伏波纹的幅度将减小有利于H(e)逼近H(em小
( 1) 2 1 10.2.18 1 1 ( ) ( ) 2 ( )cos( ) (10.2.19) 2 2 10.2.19 , , ( ) [( 1) 2] ( 1) 2 10.2.6 [( 1) 2] ( ) N g d d n g d d d N N H h h nn H hN N h N hn ω ω ω − = − − =+ − − − − ∑ FIR FIR 考虑到式（ ），则 数字低通滤波器的幅度函数为 式（ ）表明 与连续时间周期信号的傅里叶级数类似 数字 低通滤波器的幅度函数 由直流分量 和 次谐波 分量构成。由式（ ）知道， 为 的最大值，当 ( 1) 2 ( ) , , , () , , ( ) () ( ) , ( 1) 2 ( ) , , , , d g j j g d j n N hn H He H H e N He N ω ω ω ω ω − = − 靠近 时， 较大 因此 直流分量和低次谐波分量 构成了 谱图 的基本框架结构 高次谐波分量起调节作用使得数字低通滤波器的幅频特 性 更加接近理想数字低通滤波器的幅频特性 。 基于这一事实 在通带和阻带内，由于直流分量和 次谐波分量的 叠加， 的图形将出现起伏的波纹。显然 越大 高频分量增多 高频 分量的调节作用增强 起伏波 , () () j j He H e d 纹的幅度将减小 有利于 逼近 。 ω ω
数 理 着考处 若点窗函数w(n)=(n)R(m)满足偶对称条件,即 v(N-1-n)=w(n) (10.2.20 利用窗函数(m)对作数据截断,即FIR数字低通滤波器的单位冲激响应为 h(n)=h,(n)w(n) (10.2.21) 考虑到式(10.221)及式(10.27),则有 h(N-1-n)=h2(N-1-n)w(N-1-n)=h(m)w(n)=h(n) (10.2.22) N 由式(10.222)可知,h(n)是以n=2 为对称轴,并且是偶对称序列 当为奇数时,类似地,FIR数字低通滤波器的频率特性可表示为 H(e")=∑h(n)em=∑h(m)m(m)em=∑h(n)m(n)em N N (N-1)/2 n)coS(nO)le2(10.223)
() () () ( 1 ) ( ) (10.2.20) ( ) ( ) ( ) ( ) N d wn wnR n wN n wn w n hn h nwn = −− = = FIR 若点窗函数 满足偶对称条件，即 利用窗函数 对作数据截断，即 数字低通滤波器的单位冲激响应为 (10.2.21) 10.2.21 10.2.7 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) (10.2.22) 1 10.2.22 ( ) d d hN n h N nwN n h nwn hn N hn n −− = −− −− = = − = 考虑到式（ ）及式（ ），则有 由式（ ）可知， 是以 1 0 ( 1) 2 1 2 1 2 ( ) () () () () () 11 1 1 [ ( ) ( ) 2 ( ) ( )cos( )] (10.2.23) 22 2 2 N j jn jn jn d d nn n N Nj d d n H e hne h nwne h nwne NN N N h w h nw n n e ωω ω ω ω ω +∞ +∞ − − −− =−∞ =−∞ = − − − = == = −− − − = + −− ∑∑ ∑ ∑ FIR 为对称轴，并且是偶对称序列。 当为奇数时，类似地， 数字低通滤波器的频率特性可表示为