2第六章离散傅里叶级数和离散傅里叶变换令 数 到目前为止,我们讨论了连续时间周期信号的频 谱(CTFS)、连续时间非周期信号的频谱(CTFT) 及非周期序列的频谱DTFT),本章主要讨论周期序列 的傅里叶级数(DFS及其性质、有限长序列的傅里叶 变换(DFT)的性质、有限长序列的傅里叶变换与周期序 列的傅里叶级数的关系 有限长序列的离散傅里叶变换不仅在理论上十分重 要,而且还存在快速算法,因此,离散傅里叶变换在数 字信号处理中起着核心作用
第六章 离散傅里叶级数和离散傅里叶变换 到目前为止，我们讨论了连续时间周期信号的频 谱（CTFS）、连续时间非周期信号的频谱（CTFT ） 及非周期序列的频谱(DTFT) ，本章主要讨论周期序列 的傅里叶级数（DFS)及其性质、有限长序列的傅里叶 变换(DFT)的性质、有限长序列的傅里叶变换与周期序 列的傅里叶级数的关系。 有限长序列的离散傅里叶变换不仅在理论上十分重 要，而且还存在快速算法，因此，离散傅里叶变换在数 字信号处理中起着核心作用
数 理 26.1限长序列与周期序列的关系 着考处 在这里我们先讨论非周期序列与周期序列的关 系,再讨论有限长序列与周期序列的关系。 1、非周期序列与周期序列的关系 由例3.3.13已经知道,将非周期序列x(n)作N点的周期开拓, 可以得到周期为N的周期序列(m),即 (n)=x(n)*S(n)=x(m)*∑6(n-rN)=∑x(n-rN)(6.1.1)
6.1有限长序列与周期序列的关系 在这里我们先讨论非周期序列与周期序列的关 系，再讨论有限长序列与周期序列的关系。 1、非周期序列与周期序列的关系 3.3.13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.1.1) N r r xn N N xn x n x n n x n n rN x n rN δ δ +∞ +∞ =−∞ =−∞ = ∗ = ∗ −= − ∑ ∑ 由例 已经知道，将非周期序列 作 点的周期开拓， 可以得到周期为 的周期序列 ，即
数 理 着考处 显然,对非周期序列x(m)作N点的周期开拓时,在周期 序列(n)每一周内,是不同整数rN的位移序列x(n-rN)的 叠加而成,因此,可能存在序列的重叠。这些重叠的序列 值按位相加后便构成(n)对应位的序列值 若周期序列(n)的周期N趋于无穷大,则周期序列(m) 就变成了非周期序列x(m),即非周期序列可以表示成 x(n)=lim x(n) (6.1.2) N→
( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) (6.1.2) N xn N x n rN x n rN x n x n N x n x n xn xn →∞ − = 显然，对非周期序列 作 点的周期开拓时，在周期 序列 的每一周内，是不同整数 的位移序列 的 叠加而成，因此，可能存在序列的重叠。这些重叠的序列 值按位相加后便构成 对应位的序列值。 若周期序列 的周期 趋于无穷大，则周期序列 就变成了非周期序列 ，即非周期序列可以表示成
数 理 22、有限长序列与周期序列的关系 着考处 设序列x(n)是从0到N-1的有限长序列,即满足x(n)=x(n)R(m 将有限长序列x(m)作N点的周期开拓,同样可以得到周期为N的周 期序列(n),即 i(n=x(n)*s(n)=x((n)) (6.1.3) 式(6,1.3)中,符号(n)表示n模N,在数学上表示?n对N取余 数或称为n对N取模值”,即周期重复出现的(n)的数值是相等的。 考虑到,则式(6.1.3)可写成 (n)=x(n)*(n)=∑x(mn-N)R、(n-rN) (6.1.4) 显然x(m)=X(m)R(n) (6.1.5) 式(61.5)表明,x(n)正是周期序列(n)的主值序列(即x(m)在 0≤n≤N-1周内的序列)
2、有限长序列与周期序列的关系 () 0 1 () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) (6.1.3) 6.1.3 (( )) , ? ”“ ” (( )) 6.1.3 N N N N N xn N xn xnR n xn N N x n xn xn n x n n nN nN n N n δ − = =∗ = 设序列 是从 到 的有限长序列，即满足 ， 将有限长序列 作 点的周期开拓，同样可以得到周期为 的周 期序列 ，即 式（ ）中，符号 表示 模 在数学上表示 对 取余 数 或称为 对 取模值 ，即周期重复出现的 的数值是相等的。 考虑到，则式（ ）可写成 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.1.4) () () () (6.1.5) 6.1.5 ( ) ( ) ( ) 0 1 N N r N x n x n n x n rN R n rN xn xnR n x n x n x n n N δ +∞ =−∞ =∗ = − − = ≤≤ − ∑ 显然 式（ ）表明， 正是周期序列 的主值序列（即 在 一周内的序列）
数 理 26.2导出周期序列傅里叶级数的各种途径 着考处 从前面的分析和讨论已经知道,在时域上,以等 间隔T对连续时间非周期信号x(1)抽样,可以得到样值 序列x(n)=x(n7),对样值序列作N点的周期开拓,可 以得到周期为N的周期序列(n)。这里首先导出周期序 列的傅里叶级数,再揭示有限长序列的离散傅里叶变 换与周期序列傅里叶级数的关系 在例5.225中,以DTFT的时域线性卷和定理为依据, 给出了一种从CTFT经DTFT导出DFS的方法,这里再 介绍其它几种导出DFS的方法
6.2导出周期序列傅里叶级数的各种途径 ( ) () ( ) ( ) 5.2.25 a a T x t x n x nT N N xn = DTFT CTFT DTFT DFS 从前面的分析和讨论已经知道，在时域上，以等 间隔 对连续时间非周期信号 抽样，可以得到样值 序列 ，对样值序列作 点的周期开拓，可 以得到周期为 的周期序列 。这里首先导出周期序 列的傅里叶级数，再揭示有限长序列的离散傅里叶变 换与周期序列傅里叶级数的关系。 在例 中，以 的时域线性卷和定理为依据， 给出了一种从 经 导出 的方法，这里再 介绍其它几种导出 的方法。 DFS