数 理 着考处 考虑到式(10223),则FIR数字低通滤波器的幅度函数为 H2(O)=h() N-1) N n)(-n)cos(nO)(10.224) 若选择的窗函数v(n)在靠近边沿处(即n=0及n=N-1处) 比矩形窗变化更平滑和缓慢,换言之,偏离对称轴n=(N-1)/2 后,w(n)是逐渐递减的时限序列,使得(m)h(n)<h(n)。比较 式(10.2.19)和式(10.2.24)可知,选择这样的窗函数v(n)可使 H(ω)中高次谐波分量的幅度更小,叠加后可使起伏波纹的幅度 减小。因此,为了减小数字低通滤波器通带和阻带的波纹,获得 更加接近(e)的幅频特性,一是要选择适当大的N值,二是 要选择偏离对称轴n=(N-1)/2后逐渐递减的窗函数(m)
( 1) 2 1 10.2.23 1 1 () ( )( ) 2 2 1 1 2 ( ) ( ) cos( ) (10.2.24) 2 2 ( ) 0 1 ( 1) 2 ( ) () () () g d N d n d d N N Hh w N N h nw n n w n n n N n N w n wnh n h n ω ω − = − − = − − + −− = =− = − < ∑ 考虑到式（ ），则 数字低通滤波器的幅度函数为 FIR 若选择的窗函数 在靠近边沿处（即 及 处）， 比矩形窗变化更平滑和缓慢，换言之，偏离对称轴 后， 是逐渐递减的时限序列，使得 。比较 10.2.19 10.2.24 ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 ( ) g j d w n H H e N n N w n ω ω = − 式（ ）和式（ ）可知，选择这样的窗函数 可使 中高次谐波分量的幅度更小，叠加后可使起伏波纹的幅度 减小。因此，为了减小数字低通滤波器通带和阻带的波纹，获得 更加接近 的幅频特性，一是要选择适当大的 值，二是 要选择偏离对称轴 后逐渐递减的窗函数
2g【3】矩形窗对理想数字低通滤波器幅频特性的影响 数 由式(5.2.30)知道,矩形窗的频谱为 W(e)= DTFTIR(m)=∑R、(n)em=W()e2(1025) n=-00 式中,幅度函数为 WR(O= sin(No/2) (10.2.26) sin(o/2) 显然,矩形窗的幅度函数是的偶函数,并且有 N/2 coS(No/2 WR(O=limWR(o)=lim sin(No/2) lim O→>0 00sin(O/2)01/2cos(o/2 令W(o)=0,则sn(No/2)=0,即O=±2m/N(m为正整数) 因此,在主值区间-x,n上,幅度函数Wa(o)随变化的曲线 如图102.1所示
【3】矩形窗对理想数字低通滤波器幅频特性的影响 1 2 5.2.30 ( ) [ ( )] ( ) ( ) (10.2.25) sin ( 2) ( ) (10.2.26) sin ( 2) Nj j jn R NN R n R W e R n R ne W e N W ω ω ω ω ω ω ω +∞ − − − =−∞ == = = DTFT ∑ 由式（ ）知道，矩形窗的频谱为 式中，幅度函数为 显然，矩形窗的幅度 00 0 sin( 2) 2cos( 2) (0) lim ( ) lim lim sin( 2) 1 2cos( 2) ( ) 0 sin( 2) 0 2 [ ,] ( ) 10.2.1 R R R R N NN W W N WN m N m W ωω ω ω ω ω ω ω ω ω ωπ ππ ω ω →→ → == = = = == ± − 函数是的偶函数，并且有 令 ，则 ，即 （ 为正整数） 因此，在主值区间 上，幅度函数 随 变化的曲线， 如图 所示
数 理 着考处 WRO 6丌47 NNN N 图1021在主值区间,矩形窗的幅度函数 在描述矩形窗的幅度函数的图02中,通常将ok2x/N的频谱图, 称为矩形窗的幅度函数的主瓣,将2m/N<o<2(m+1)r/N(m为正整数 的频谱图称为矩形窗的幅度函数的旁瓣。因此矩形窗的幅度函数W(O) 是由一个主瓣和无穷多个旁瓣组成的
10.2.1 2 2 2( 1) , , ( ) R N m N m Nm W ω π πω π ω < << + 在描述矩形窗的幅度函数的图 中，通常将 的频谱图， 称为矩形窗的幅度函数的主瓣，将 （ 为正整数） 的频谱图 称为矩形窗的幅度函数的旁瓣。因此 矩形窗的幅度函数 是由一个主瓣和无穷多个旁瓣组成的
数 理 着考处 若将幅度函数主瓣对应的角频率变化范围定义为主瓣宽度 ΔO,则矩形窗的幅度函数的主瓣宽度为 △On=4x/N (102.27) 由式(10.2.16),并考虑到式(5246)、式(10.2.8)及 式(10.225),则有 H(e) H(e wa( j(-6) )de )e2W2(-6) de H(o) (10.2.28) 式中,幅度函数为 H(ew(o-od8 (10.2.29)
( ) 4 (10.2.27) 10.2.16 5.2.46 10.2.8 10.2.25 1 ( ) ()( ) 2 1 ( ) 2 m m j jj d R Nj gd N He H e W e d H e π ω θ ω θ π ω ω π θ π θ π − − − − Δ Δ = = = ∫ 若将幅度函数主瓣对应的角频率变化范围定义为主瓣宽度 ，则矩形窗的幅度函数的主瓣宽度为 由式（ ），并考虑到式（ ）、式（ ）及 式（ ），则有 1 1( ) 2 2 1 2 ( ) ( ) (10.2.28) 1 ( ) ( ) ( ) (10.2.29) 2 Nj R Nj g g gd R We d H e H HW d π θ ω θ π ω π π ωθ θ ω ω θω θ θ π − − − − − − − − = = − ∫ ∫ 式中，幅度函数为
数 理 着考处 式(10.229)再次表明,当h(n)及R(n)都具有偶对称轴n=(N-1)/2 时,则H(e)具有线性相位。式(10.2.29)与式(102.18)不同之处在于 幅度函数H(O)个由傅里叶级数式(10.219)给出,一个由式(10229) 的周期卷积除以2π给出。由式(10.2.19)可知,对实际FIR数字低通滤波 器的幅度函数H(O)起影响的是h(N-1)/2-m由式(10.2.29)可知对 实际FR数字低通滤波器的幅度函数H(O)起影响的是矩形窗的幅度函数 Wg(o)对于非矩形窗v(m),由式(10.2.24)可知,对实际FR数字低通滤 波器的幅度函数H2(o)起影响的是h(N-1)/2-nh(N-1)/2-n与式 (10.2.29)类似,对实际FIR数字低通滤波器的幅度函数起影响的是窗的幅 度函数形(o)
10.2.29 , ( ) ( ) ( 1) 2 ( ) 10.2.29 10.2.18 ( ) 10.2.19 10.2.29 2 10.2.19 ( ) [( 1) 2 ] 1 d N j g g d hn R n n N H e H H h N n ω ω π ω = − − − FIR 式 （ ） 再次表明 当 及 都具有偶对称轴 时，则 具有线性相位。式（ ）与式（ ）不同之处在于： 幅 度 函数 一个由傅里叶级数式（ ）给出，一个由式（ ） 的 周 期 卷 积除以 给出。由式（ ）可知，对实际 数字低通滤波 器 的 幅 度 函 数 起影响的是 ，由式（ 0.2.29 , ( ) ( ) ( ) 10.2.24 ( ) [( 1) 2 ] [( 1) 2 ] 10.2.29 ( ) g R g d g H W w n H h N n w N n W ω ω ω ω −− −− FIR FIR FIR ） 可 知 对 实 际 数 字 低 通 滤 波器的幅度函数 起影响的是矩形窗的幅度函数 ；对于 非 矩 形 窗 ，由 式 （ ）可知，对实际 数字低通滤 波器的幅度函数 起影响的是 ，与式 （ ） 类 似，对实际 数字低通滤波器的幅度函数起影响的是窗的幅 度 函 数