数 理 第五章序列的傅里叶变换 着考处 通过将输入序列x(mn)分解成基本序列em0(O=9T)的 加权和,利用序列的傅里叶变换,同样可以将时域中复杂 的线性卷和运算转化为频域中简单的乘法运算,由此产生 了线性位不变离散时间系统的频域分析方法,也称为频谱 分析方法。该方法在序列的数字滤波及数字滤波器的设计 等方面得到广泛应用
第五章 序列的傅里叶变换 ( ) jn x n e T ω 通过将输入序列 分解成基本序列 （ ）的 ω = Ω 加权和，利用序列的傅里叶变换，同样可以将时域中复杂 的线性卷和运算转化为频域中简单的乘法运算，由此产生 了线性位不变离散时间系统的频域分析方法，也称为频谱 分析方法。该方法在序列的数字滤波及数字滤波器的设计 等方面得到广泛应用
F压数 理 25.1非周期序列的傅里叶变换 着考处 非周期序列的傅里叶变换是非周期序列频谱分析的 基础,为此,首先导出非周期序列的傅里叶变换,然后 讨论非周期序列傅里叶变换存在的充分条件,最后讨论 非周期序列的傅里叶变换与相应连续时间非周期信号的 傅里叶变换的关系。 1、非周期序列的傅里叶变换 对连续时间非周期信号x()施行等间隔的抽样, 则样值信号x(1)可写成 x(1)=x2()()=x()∑8(t-m7)=∑x(n)6(-m7)(1.1) n=-00 n=-00 式中,x(m)=x(m7),称x(n)为样值序列,简称序列
5.1非周期序列的傅里叶变换 非周期序列的傅里叶变换是非周期序列频谱分析的 基础，为此，首先导出非周期序列的傅里叶变换，然后 讨论非周期序列傅里叶变换存在的充分条件，最后讨论 非周期序列的傅里叶变换与相应连续时间非周期信号的 傅里叶变换的关系。 1、非周期序列的傅里叶变换 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.1.1) () ( ) () a s s aT a n n a xt T x t x t x t t x t t nT x n t nT x n x nT x n δδ δ +∞ +∞ =−∞ =−∞ = = −= − = ∑ ∑ 对连续时间非周期信号 施行等间隔 的抽样， 则样值信号 可写成 式中， ，称 为样值序列，简称序列
数 理 着考处 考虑到连续时间非周期信号的傅里叶逆变换式,即式(2.4.22) 则非周期序列可写成 t ∫x(x20d O=QT Xueda (2m+1)r1 X,(edo ∑,「ca7x(kb +2m丌 v=0+2m Xu =-00 丌 T T +2m DJe do , ∫X(e")mdo (5.1.2) 2丌 式(5.1.2)称为非周期序列的傅里叶逆变换( IDTFT)式
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 2.4.22 1 ( ) ( ) () ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 2 j nT a at nT a jn a m jn a m m m jnv a m m x n x nT x t X j e d T Xj ed T T Xj ed T T v X j e dv T T v m ω π ω π π π π ω ω ω π ω ω π π ω π +∞ Ω = −∞ +∞ −∞ +∞ + − =−∞ +∞ + − =−∞ = = = ΩΩ = Ω = = = + ∫ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ 考虑到连续时间非周期信号的傅里叶逆变换式，即式（ ）， 则非周期序列可写成 11 2 (2) ( ) 2 112 [ ( )] 2 1 ( ) (5.1.2) 2 5.1.2 jn m a m jn a m j jn m Xj e d T T m Xj ed T T Xe e d π ω π π π ω π π ω ω π ω π ω π ω π ω π ω π +∞ + − =−∞ +∞ − =−∞ − + + = = ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ 式（ ）称为非周期序列的傅里叶逆变换（ ）式。 IDTFT
数 理 着考处 由式(5.1.2),并考虑到连续时间非周期信号的傅里叶变换 式,即式(2423),并注意到式(246)及式(22.9),则有 +2m丌 +2m丌 X(e) X. n=-00 ∫x0x7∑e71=x0∑2(-=my ∫D∑x(mn)“0(-m)t=∑x(nm)em∫。(-mm)ml ∑x(n)em=∑x (5.1.3) n=-00 n=-0 式(5.1.3)称为非周期序列的傅里叶变换(DTFT)式,也称为非周期序列 频谱的计算公式,并记X(e)= DTFTIX(m)
2 2 5.1.2 2.4.23 2.4.6 2.2.9 12 1 ( ) ( ) () 1 ( ) [ ] ( ) [ ( )] [ m j t j T a a m m m j t j t j t TT T a a m n m Xe X j x t e dt TT T x t e e dt x t e t nT dt T ω π ω ωπ ω ω π δ +∞ +∞ + +∞ − −∞ =−∞ =−∞ +∞ +∞ +∞ − − +∞ − −∞ −∞ =−∞ =−∞ + = = = =− = ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ 由式（ ），并考虑到连续时间非周期信号的傅里叶变换 式，即式（ ），并注意到式（ ）及式（ ），则有 ( ) ( )] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) (5.1.3) 5.1.3 j nT T jn a a n n jn jn a n n x nT e t nT dt x nT e t nT dt x nT e x n e X ω ω ω ω δ δ +∞ +∞ +∞ − +∞ − −∞ −∞ =−∞ =−∞ +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ − = − = = ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑ 式（ ）称为非周期序列的傅里叶变换（ ）式，也称为非周期序列 DTFT 频谱的计算公式，并记 ( ) [ ( )] j e xn ω = DTFT
2、非周期序列傅里叶变换存在的充分条件争 数 若非周期序列满足绝对可和条件,即 ∑kxOn) 5.1.4) 则X(e")s∑xnlm∑|(n) 亦即非周期序列x(n)的傅里叶变换X(e)存在 因此,非周期序列x(n)满足绝对可和条件是其傅里 叶变换Y(e°)存在的充分条件
2、非周期序列傅里叶变换存在的充分条件 ( ) (5.1.4) ( ) () = () () ( ) ( ) ( ) n j jn n n j j x n X e xne xn xn X e x n X e ω ω ω ω +∞ =−∞ +∞ +∞ − =−∞ =−∞ < ∞ ≤ < ∞ ∑ ∑ ∑ 若非周期序列满足绝对可和条件，即 则 亦即非周期序列 的傅里叶变换 存在。 因此，非周期序列 满足绝对可和条件是其傅里 叶变换 存在的充分条件