数 理 着考处 N 考虑到式(10.22)及式(10.24),并注意到t2 则有理想数字低通滤波器的频率特性可表示为 j H(e)=H()*O2x()=[G2a.(92)e ]*2() (e2"*∑(o+2kx) -(+2k丌) (O+2k e ISe(N-1)G(a+2k) Hed(oe (10.2.8)
1 2 2 2 2 1 2 2 1( 2) 2 2 1 2 ( 1) 2 1 10.2.2 10.2.4 2 ( ) ( ) () [ () ] () () ( 2 ) ( 2) ( c c c c d N j T j d a T Nj k Nj k k Nj jN k N t T He H j G e T G e k T G ke e eG ω π ω π ω ω π ω ω π ω ω δ ω δ ω ω δω π ω π ω − − Ω Ω Ω= − +∞ − Ω =−∞ +∞ − − + =−∞ − − − − − = = ∗ =Ω ∗ = ∗+ = + = + ∑ ∑ 考虑到式（ ）及式（ ），并注意到 ， 则有理想数字低通滤波器的频率特性可表示为 1 2 2 ) ( ) (10.2.8) k Nj gd k H e ω π ω +∞ =−∞ − − = ∑
数 理 着考处 式中,理想数字低通滤波器的幅度函数为 H(o)=∑ e J(N-1)kz 2a(+2k G2a2(o)*∑(-1)No(O+2z)(1029) -00 式(10.2.8)表明,修正的单位冲激响应不变法, 可将一个线性相位的理想模拟低通滤波器变换成一个 线性相位的理想数字低通滤波器
( 1) 2 ( 1) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( 1) ( 2 ) (10.2.9) 10.2.8 c c jN k gd k N k k H eG k G k π ω ω ω ω π ω δ ω π +∞ − − =−∞ +∞ − =−∞ = + = ∗− + ∑ ∑ 式中，理想数字低通滤波器的幅度函数为 式（ ）表明，修正的单位冲激响应不变法， 可将一个线性相位的理想模拟低通滤波器变换成一个 线性相位的理想数字低通滤波器
数 理 2奶【1】理想数字低通滤波器幅度函数具有的特点 着考处 由于门函数G20(o)是o的实偶函数,考虑到线性卷积标尺性质 式(2.3.34)及冲激函数的标尺性质式(22.16),由式(10.29)可得 H(-)=G2(-O)*∑(-1)b(-O+2k) G2(O)*∑(-1)1(O-2kz) G2a(O)*∑(-1)(O+2kz) (10.2.10) 式(10.2.10)表明,理想数字低通滤波器幅度函数是的实偶函数
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( ) 2.3.34 2.2.16 , 10.2.9 ( ) ( ) ( 1) ( 2 ) ( ) ( 1) ( 2 ) ( ) ( 1) ( 2 ) ( ) c c c c N k gd k N k k N k k gd G H G k G k G k H ω ω ω ω ω ω ω ω δω π ω δ ω π ω δ ω π ω +∞ − =−∞ +∞ − =−∞ +∞ − =−∞ − = − ∗ − −+ = ∗− − = ∗− + = ∑ ∑ ∑ 由于门函数 是 的实偶函数，考虑到线性卷积标尺性质 式（ ）及冲激函数的标尺性质式（ ）由式（ ）可得 (10.2.10) 式（10.2.10）表明，理想数字低通滤波器幅度函数是的实偶函数。 【1】理想数字低通滤波器幅度函数具有的特点
数 理 着考处 讨论:(1)若N=2m+1(m为正整数),考虑到式(1029),则有 H(o)=∑ e12mG2(O+2kx)=G2()*2n(O) (10.2.11) 结论1: 当N为奇数时,理想数字低通滤波器幅度函数H(o既是实偶函数, 又是周期为2的周期函数 2)若N=2m(m为正整数,考虑到式(1029,则有 ()=∑ G2o(O+2k丌) G2(O)*∑(-1)(O+2kz) (10.2.12) k=-00
2 2 2 2 (2 1) 2 1 2 1 , 10.2.9 , ( ) ( 2 ) ( ) ( ) (10.2.11) ( ) 2 2 2 , 10.2.9 , ( ) ( c c c j mk gd k gd jm k gd Nm m H e G kG N H N mm H eG π ω ω π π ω ω ω π ω δ ω ω π ω ω +∞ − =−∞ − − = + = += ∗ = = + ∑ 1 讨论：（）若 （ 为正整数）考虑到式（ ）则有 结论 ： 当 为奇数时，理想数字低通滤波器幅度函数 既是实偶函数， 又是周期为 的周期函数。 （ ）若 （ 为正整数）考虑到式（ ）则有 2 2 ) ( ) ( 1) ( 2 ) (10.2.12) c k k k k G k ω π ω δω π +∞ =−∞ +∞ =−∞ = ∗− + ∑ ∑
数 理 着考处 考虑到式(10.2.12),则有 H(o+2x)=G2(o)*∑(-1)(m+2kz)*(O+2z) (O)*∑(-1)(O+2+2kz) ∑(-1o{o+(k+1)2x」 n()* ∑(-1)2(a+2pz) (o)*∑(-1)°(0+2pz) H() (102.13)
2 2 2 1 2 2 10.2.12 ( 2 ) [ ( ) ( 1) ( 2 )] ( 2 ) ( ) ( 1) ( 2 2 ) ( ) ( 1) [ ( 1)2 ] ( ) ( 1) ( 2 ) ( ) ( 1) ( 2 ) ( ) c c c c c k gd k k k k k p p p p gd HG k G k G k G p G p H ω ω ω ω ω ω π ω δω π δω π ω δω π π ω δω π ω δ ω π ω δω π ω +∞ =−∞ +∞ =−∞ +∞ =−∞ +∞ − =−∞ +∞ =−∞ += ∗ − + ∗+ = ∗ − ++ = ∗ − ++ = ∗− + =− ∗ − + = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 考虑到式（ ），则有 (10.2.13)