数 理 着考处 【2】若N=2mm为整数),由式(10.1.13)可得 Relh(e) (10.1.19) cos( m 由式(10.1.19)可得 G-o)- Relh(e Re[h(e ) H2() (10.1.20) cos[-(m-o cos(m-o 由式(10.1.19)可得 H2(o+2n)= Re[h(el(otir)) Relh(e Hg()(10.121) cos[(m-O+2) cos(m-o 特别地:H2(2x)=-H2(0)
2 2 10.1.13 Re[ ( )] ( ) (10.1.19) 1 cos( ) 2 10.1.19 Re[ ( )] Re[ ( )] ( ) ( ) (10.1.20) 1 1 cos[ ( ) ] cos( ) 2 2 10.1.19 j g j j g g N mm H e H m He He H H m m H ω ω ω ω ω ω ω ω ω − = = − − = = = −− − 【 】若 （ 为整数），由式（ ）可得 由式（ ）可得 由式（ ）可得 ( 2) Re[ ( )] Re[ ( )] ( 2 ) ( ) (10.1.21) 1 1 cos[( )( 2 )] cos( ) 2 2 (2 ) (0) j j g g g g H e H e H m m H H ω π ω ω π ω ω π ω π + + = = − = − −+ − 特 别 地： = −
数 理 着考处 考虑到式(10.1.20)及式(10.1.21),则有 H2(x-0)=H[-(O-m)=H[(-x) H2I(D0-)+2n]=-H2(z+o) (10.1.22) 特别地:H(x)=-H(x,H(丌)=0 考虑到式(10.1.20)及式(10.121),则有 H2(+2n)=-H2()=-H2(O) H2(-+2n)=H2(2x-0) 0.1.23) 考虑到式(10.1.21),则有 H2(O+4x)=H[(O+2n)+2 H(O+2T)=H(o (10.1.24)
10.1.20 10.1.21 ( ) [ ( )] [( )] [( ) 2 ] ( ) (10.1.22) () () () 0 10.1.20 10.1.21 ( 2) () ( ) ( 2 ) (2 ) ( gg g g g g gg g gg g g HH H H H H HH H HH H H πω ωπ ωπ ωπ π πω π ππ ωπ ω ω ω π πω − = −− = − =− − + =− + = − = + =− =− − = −+ = − 考虑到式（ ）及式（ ），则有 特别地： ， 考虑到式（ ）及式（ ），则有 10.1.23) 10.1.21 ( 4 ) [( 2 ) 2 ] ( 2 ) ( ) (10.1.24) g g g g H H H H ωπ ωπ π ωπ ω += ++ =− + = 考虑到式（ ），则有
数 理 着考处 结论2: (1)由式(10.1.24)可知,幅度函数H(O)是周期为4x的周期函数; (2)由式(10.1.20)及式(10.1.23)可知,幅度函数H(o)对O=0, 0=2z偶对称,并且H(2z)=-H2(O) 3)由式(10.2)可知,幅度函数H2()对m=x奇 对称,并且H(x)=0 可见,若h(m)=h(N-1-n),0≤n≤N-1,并且N为偶数,由 于H(π)=0,因此,不能用于实现线性相位FR数字高通滤波器、 数字带阻通滤波器和数字陷波器,只能用于实现线性相位FIR数字 低通滤波器和数字带通滤波器
1 10.1.24 ( ) 4 2 10.1.20 10.1.23 ( ) 0 2 (2 ) (0) 3 10.1.22 ( ) () 0 () ( 1 ),0 1 () 0 g g g g g g g H H H H H H hn hN n n N N H ω π ω ω ω π π ω ωπ π π = = = − = = = −− ≤ ≤ − = 结论 ：2 （）由式（ ）可知，幅度函数 是周期为 的周期函数； （ ）由式（ ）及式（ ）可知，幅度函数 对 ， 偶对称，并且 （ ）由式（ ）可知，幅度函数 对 奇 对称，并且 可见，若 ，并且 为偶数，由 于 ，因此，不能用于 FIR FIR 实现线性相位 数字高通滤波器、 数字带阻通滤波器和数字陷波器，只能用于实现线性相位 数字 低通滤波器和数字带通滤波器
2、奇对称的线性相位数字滤波器幅度函数多 具有的特点 考虑到奇对称条件 h(n)=-h(N-1-n),0≤n≤N-1 (10.1.25) 则线性相位数字滤波器的频率特性满足 H(e)=-H(e)e-0 (10.1.26) 当=丌,并且N为奇数时,则有 H(e)=0 (10.1.27 式(10.1.27)表明,若h(n)奇对称,并且N为奇数,只能 用于设计线性相位FIR数字低通和带通滤波器不能用于设计 线性相位FIR数字高通滤波器和带阻滤波器
2、奇对称的线性相位数字滤波器幅度函数 具有的特点 ( 1) ( ) ( 1 ) , 0 1 (10.1.25) ( ) ( ) (10.1.26) ( ) 0 (10.1.27) j jj N j hn hN n n N He He e N H e ω ωω π ω π − −− =− − − ≤ ≤ − = − = = 考虑到奇对称条件 则线性相位数字滤波器的频率特性满足 当 ，并且 为奇数时，则有 10.1.27 ( ) , h n N FIR FIR 式（ ）表明，若 奇对称，并且 为奇数，只能 用于设计线性相位 数字低通和带通滤波器 不能用于设计 线性相位 数字高通滤波器和带阻滤波器
数 理 着考处 下面详细讨论h(n)满足奇对称条件时,线性相位FR 数字滤波器幅度函数具有的特点 H(elo)=dtftih(n)]=H()e/plo) (10.1.28) 由于h(n)是实序列,因此H(e)=H(e),考虑到 式(8.27),则有 H(e)=h(oeo=h(o)e2 2 =jH,(oe (10.1.29) 考虑到式(10.1.29),则有 H(e)=jH,(o) (10.1.30) 考虑到式(10.1.29)及式(10.1.30),则有 N Reh(e=[h(e)+h(e)l= h(osing (10.1.31)
( ) 1 ( ( ) 2 2 ( ) ( ) [ ( )] ( ) (10.1.28) ( ) ( ) ( ) 8.2.7 ( ) () () j j g j j N j j j g g h n He hn H e h n He H e He H e H e ω ϕ ω ω ω π ω ω ϕ ω ω ω ω − ∗ − − + = = = = = FIR DTFT 下面详细讨论 满足奇对称条件时，线性相位 数字滤波器幅度函数具有的特点。 设 由于 是实序列，因此 ，考虑到 式（ ），则有 1 ) 2 1 2 ( ) (10.1.29) 10.1.29 ( ) ( ) (10.1.30) 10.1.29 10.1.30 1 Re[ ( )] [ ( ) ( )] ( )sin( 2 Nj g Nj j g j jj g jH e H e jH e N He He H e H ω ω ω ω ωω ω ω ω − − − ∗ ∗ = = − − = += 考虑到式（ ），则有 考虑到式（ ）及式（ ），则有 1 ) (10.1.31) 2 ω