数 理 着考处 由式(10.1.1)可知,虽然h(n)是一个非因果序列,但是 满足绝对可和条件,因此系统是一个非因果稳定系统。考虑 该系统的近似实现时,可取系统的单位冲激响应为 M()=amR(n)(其中,n22 N-1 (10.1.5 考虑到式(10.1.5),则有 N N-1-n h(N-1-n)=a 2R、(N-1-n) R(n)=h(n) (10.1.6) 由式(10.1.6)可知,h(m是以n_N-1 为轴,并且是偶对称的
0 0 1 1 2 1 2 10.1.1 ( ) , , 1 ( ) ( ) (10.1.5) 2 10.1.5 ( 1) ( 1) () () n n N N N n N N n N h n N hn a R n n hN n a R N n a R n hn − − −− − − − − = = −− = − − = = 由式（ ）可知，虽然 是一个非因果序列，但是 满足绝对可和条件 因此 系统是一个非因果稳定系统。考虑 该系统的近似实现时，可取系统的单位冲激响应为 （其中， ） 考虑到式（ ），则有 (10.1.6) 1 10.1.6 ( ) 2 N hn n − 由式（ ）可知， 是以 为轴，并且是偶对称的。 =
2、偶对称的线性相位数字滤波器幅度函数多 具有的特点 考虑到偶对称条件 h(n)=h(N-1-n),0≤n≤N-1 (10.1.7) 则线性相位数字滤波器的频率特性满足 H(eo)=H(e y )e )(N- ) on (10.1.8) 当=丌,并且N为偶数时,则有 H(e)=0 (10.1.9) 式(10.1.9)表明,若h(n)偶对称,并且N为偶数,只 能用于设计线性相位FIR数字低通和带通滤波器不能用于 设计线性相位FIR数字高通滤波器和带阻滤波器
2、偶对称的线性相位数字滤波器幅度函数 具有的特点 ( 1) ( ) ( 1 ) , 0 1 (10.1.7) ( ) ( ) (10.1.8) ( ) 0 (10.1.9) 10. j jj N j hn hN n n N He He e N H e ω ωω π ω π − −− = −− ≤ ≤ − = = = 考虑到偶对称条件 则线性相位数字滤波器的频率特性满足 当 ，并且 为偶数时，则有 式（ 1.9 ( ) , h n N FIR FIR ）表明，若 偶对称，并且 为偶数，只 能用于设计线性相位 数字低通和带通滤波器 不能用于 设计线性相位 数字高通滤波器和带阻滤波器
数 理 着考处 下面详细讨论h(n)满足偶对称条件时,线性相位FIR 数字滤波器幅度函数具有的特点。 iH(elo)=DTFTh(n]=H(o)e1p( (10.1.10) 由于h(n)是实序列,因此H(e)=H(e),考虑到 式(8.24),则有 H(eo)=H(O)eo()=h(o)e 2 (10.1.11) 考虑到式(10.1.10),则有 H(e)=h(oe (10.1.12) 考虑到式(10.1.11)及式(10.1.12),则有 Relh(e i TH(eo)+h(el)]=hg( N )(10.1.13)
( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] ( ) (10.1.10) ( ) ( ) ( ) 8.2.4 ( ) ( ) ( ) j j g j j Nj j j g g h n He hn H e hn He H e He H e H e ω ϕ ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω ω − ∗ − − = = = = = FIR DTFT 下面详细讨论 满足偶对称条件时，线性相位 数字滤波器幅度函数具有的特点。 设 由于 是实序列，因此 ，考虑到 式（ ），则有 1 2 (10.1.11) 10.1.10 ( ) ( ) (10.1.12) 10.1.11 10.1.12 1 Re[ ( )] [ ( ) ( )] 2 Nj j g j jj He H e He He H e ω ω ω ωω ω − ∗ ∗ = = += 考虑到式（ ），则有 考虑到式（ ）及式（ ），则有 1 ( )cos( ) (10.1.13) 2 g N H ω ω −
数 理 着考处 讨论:【1】若N=2m+1(m为整数),由式(10.1.13)可得 H(O) Re[h(eo) (10.1.14 cos mo 由式(10.1.14)可得 HGo Relh(e) relh(e H(O coS(-ma cos mo 由式(10.1.14)可得 H2(+2x) Re[h(el(otim))] re[h(elo) H2(o)(10.1.16) cos m(@+2T) cos mo 考虑到式(10.1.15)及式(10.1.16),则有 H(x-0)=H2[(-m)=H(-x) H[(-x)+2x]=H2(x+o)(10.1.17)
1 2 1 10.1.13 Re[ ( )] ( ) (10.1.14) cos 10.1.14 Re[ ( )] Re[ ( )] ( ) ( ) (10.1.15) cos( ) cos 10.1.14 ( 2) j g j j g g g Nmm H e H m He He H H m m H ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω π − = + = −= = = − + = 讨论：【】若 （ 为整数），由式（ ）可得 由式（ ）可得 由式（ ）可得 ( 2) Re[ ( )] Re[ ( )] ( ) (10.1.16) cos ( 2 ) cos 10.1.15 10.1.16 ( ) [ ( )] [( )] [( ) 2 ] ( ) (10.1.17) j j g gg g g g H e H e H m m HH H H H ω π ω ω ωπ ω πω ωπ ωπ ωπ π πω + = = + − = −− = − = −+ = + 考虑到式（ ）及式（ ），则有
数 理 着考处 考虑到式(10.1.15)及式(10.1.16),则有 H(2+O)=H8(0)=Hg(-O) =H(O+2丌)=H2(2x-) (10.1.18) 结论1 (1)由式(10.1.16)可知,幅度函数H(O)仍然是周期为2n的周 期函数; 2)由式(10.1.15)、式(10.1.17)及式(10.1.18)可知,幅度 函数H2()对m=0,O=,=2偶对称。 可见,若h(n)=h(N-1-n),0≤n≤N-1,并且N为奇数, 可以用于实现各种类型的线性相位FIR数字滤波器,即线性相 位FIR数字低通滤波器、数字高通滤波器、数字带通滤波器、 数字带阻通滤波器、数字点阻滤波器(数字陷波器)
10.1.15 10.1.16 (2 ) ( ) ( ) ( 2 ) (2 ) (10.1.18) 1 10.1.16 ( ) 2 2 10.1.15 10.1.17 10.1.18 g gg g g g H HH H H H πω ω ω ω π πω ω π += = − = −+ = − 1 考虑到式（ ）及式（ ），则有 结论 ： （）由式（ ）可知，幅度函数 仍然是周期为 的周 期函数； （ ）由式（ ）、式（ ）及式（ ）可知 () 0 2 () ( 1 ),0 1 Hg hn hN n n N N ω ω ωπω π == = = −− ≤ ≤ − FIR FIR ，幅度 函数 对 ， ， 偶对称。 可见，若 ，并且 为奇数， 可以用于实现各种类型的线性相位 数字滤波器，即线性相 位 数字低通滤波器、数字高通滤波器、数字带通滤波器、 数字带阻通滤波器、数字点阻滤波器（数字陷波器）