∫nf(x)d≈JL(x)t b ∑a(x)f(x)a ∑| b a1(x)dtx∫(x1) i=0 ∫R,(xk=」 ∫m+() n+1 (x) a (n+ 1)
0 ( ) ( ) n b i i a i a x f x dx = = 0 ( ) ( ) n b i i a i a x dx f x = = = Ai ( ) ( ) b b n a a f x dx L x dx ( ) b n a R x dx 1 1 1 ( )( ) ( ) ( )! n b n a f x dx n + = + +
特别地,对积分区间[a,b]作如下等距节点划分: x+ih i=0.1 b 记 (x)dc b-a 1pb(x-x)…(x-x)(x-x+)…(x-xn) b-an(x2-x)…(x;-x12)x2-x1)…(x2-xn) 1rbt(t-1)…(t-i-1)(x-i+1)…(t-n) x=a+ th 1(i-i+1)…(i-n) (-1) t(t-1)…(t-i-1)(x-i+1)…(t-n)dt n·j、(n-j)
特别地，对积分区间[a,b]作如下等距节点划分： ( ) 1 ( ) b n i i a c a x dx b a = − 记 0 0 1, , , , i x x ih i n = + = 0 1 1 0 1 1 ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) b n i i n i a i i i i i i n x x x x x x x x c dx b a x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − − − 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) b a t t t i x i t n x a th dt n i i i i n − − − − + − = + − + − 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) !( )! n j b a t t t i x i t n dt n j n j − − = − − − − + − −
b b (-1) b t(t-1)…(t-i-1)(x-i+1)…(t-n)l n·j(n-j) b f(x)d≈(b-a∑cf(x) 牛顿一柯 i=0 特斯公式 其中的c是与a,b,h都无关的常数,且有课本P173表63 可查
( ) 1 ( ) b n i i a c a x dx b a = − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n b n i i a i f x dx b a c f x = 则 − 其中的 是与a,b,h都无关的常数，且有课本P173表6.3 可查。 ( ) n i c 牛顿－柯 特斯公式 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) !( )! n j b n i a c t t t i x i t n dt n j n j − − = − − − − + − −
n=1时, f(x)d≈(b-a)f(a)+∫(b) 2 梯形公式 n=2时, 广(x)(-o)/(+(+b)+/(b) Simpson公式
1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b a f x dx b a f a f b − + n =1 时， ——梯形公式 n = 2 时， ——Simpson公式 1 4 1 6 6 2 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a a b f x dx b a f a f f b + − + +
n=3时, 32a+b、3a+2b1 f(x)ds(b-)。f(a)+。f(,)+ )+f(b) 8°3 838 3/8公式 4时, 1630+b22a+2b16a+3b7 f(x)(b-a)f()+ +,f()+ )+一f(b) 90 445″490 —柯特斯公式
1 3 2 3 2 1 8 8 3 8 3 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a a b a b f x dx b a f a f f f b + + − + + + n = 3 时， ——3/8公式 n = 4 时， ——柯特斯公式 7 16 3 2 2 2 16 3 7 90 45 4 15 4 45 4 90 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a a b a b a b f x dx b a f a f f f f b + + + − + + + +