定理2如果函数∫(x,y)在矩形 R(a≤x≤b,a≤y≤B) 上连续,则 (xy)/地、(a 公式(2)也可写成 ∫df(x,y)=小∫(x,y).(2) 上页
定理2 如果函数 f (x, y) 在矩形 R(a x b, y ) 上连续,则 [ f (x, y)dy]dx [ f (x, y)dx]dy. (2) b a b a = 公式（2）也可写成 ( , ) = ( , ) . (2) b a b a dx f x y dy dy f x y dx
我们在实际中还会遇到对于参变量x的不同的值, 积分限也不同的情形,这时积分限也是参变量x的函 数这样积分 0(x)=m(xy)y() 也是参变量x的函数.下面我们考虑这种更为广泛地 工工工 依赖于参变量的积分的某些性质 上页
我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值， 积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函 数.这样,积分 x x ( ) ( ) ( ) ( ) x f x, y dy (3) x x = 也是参变量 的函数.下面我们考虑这种更为广泛地 依赖于参变量的积分的某些性质. x
定理3如果函数∫(x,y在矩形 R(a≤x≤b,asy≤B) 上连续,又函数a(x)与B(x)在区间a,b止上连续 并且c≤a(x)≤B,a≤B(x)≤B(a≤x≤b) 午则由积分(3)确定的函数(x在ab上也连续 工工工 证设x和x+△x是[a,b上的两点,则 Φ(x+△x)-Φ(x) 3(x+△x) a(x+△x) f(x+△x,y)-m,∫(x,y) 上页
定理3 如果函数 f (x, y) 在矩形 R(a x b, y ) (x) (x) [a,b] [a,b] (x) , (x) (a x b), (x) 上连续，又函数 与 在区间 上连续， 并且 则由积分（3）确定的函数 在 上也连续. 证 设 x 和 x + x 是 [a,b] 上的两点，则 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x y dy f x y dy x x x x x x x x x = + − + − + +
B(x+△x) f(x+△x,y)y a(x+△x) BO )小y a(x+△x) f(x+△,y+,∫(x+△x,y B(x+△x) B(x) f(x+△x,y)dy, a(r) Φ(x+△x)-Φ(x)= f(x+△x,yy a(x+△x) °B(x+△x 十 f(x+△x,y)dy B(r) +m(x+△,y-f(x,y).() 当△x→>0时,上式右端最后一个积分的积分限不变
( ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + = + + + + x x x x x x x x x x x x f x x y dy f x x y dy f x x y dy f x x y dy [ ( , ) ( , )] . (4) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + + + − = + + + x x x x x x x x f x x y f x y dy f x x y dy x x x f x x y dy 当 x → 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变