一般地若在一次实验中成功的概率为p0<p<1),独立重复进行次 这n次中实验成功的次数X服从的分布为:记为X~B(①,p) P(X=m)=Cmp"(1-p)"nm=0,1,2…,n 注:(1)随机变量X所服从的分布称为二项分布,n为实验次数; (2)该实验模型称为n次独立重复实验模型或n重 Bernoul实验模型 (3)若A和A是n重 Berno实验的两个对立结果,“成功”可以指二 者中任意一个,是“成功”的概率 例如:一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,取得合格 品件数X,以及取得不合格品件数Y服从分布为二项分布, X对应的实验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=08, 所以,X~B(4,0.8)类似Y~B(4,0.2)
一般地,若在一次实验中成功的概率为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的次数X服从的分布为: P( X m ) C p (1 p ) m 0,1,2,...,n m m n m = = n − = − 注:(1)随机变量X所服从的分布称为二项分布,n为实验次数; (2)该实验模型称为n次独立重复实验模型或n重Bernoulli实验模型; (3)若A和Ac是n重Bernoulli实验的两个对立结果,“成功”可以指二 者中任意一个,p是“成功”的概率. 例如:一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件, 取得合格 品件数X,以及取得不合格品件数Y服从分布为二项分布, 记为 X~B(n,p) X对应的实验次数为n=4, “成功”即取得合格品的概率为p=0.8, 所以,X~B(4,0.8) 类似,Y~B(4,0.2)
例2.2.5袋内有5个黑球,3个白球,每次抽取一个,不放回, 直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数, 求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率 解:(1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/8×7=15/56,类似有 P(X=2)=(3×2×5)(8×7×6)=5/56,P(X=3)=156, 所以X的概率分布为 X 0 3 P5/815/565/561/56 (2)Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有 P(Y=3)=P(X=2)=556,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为 234 3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4) P5/815/565/561/56 =6/56
(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4) =6/56 例2.2.5 袋内有 5个黑球，3个白球，每次抽取一个，不 放 回， 直 到 取得黑球为至。记X为取到白球的数目，Y为抽取次数， 求X、Y 的概率分布及至少抽取3次的 概率。 解:(1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有 P(X=2)=(3×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有 P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为 Y 1 2 3 4 P 5/8 15/56 5/56 1/56
课堂练习 1.PX=i}=2a,i=l,2,……,求常数a 2下面给出的数列能否成为某一随机变量的分 布列:0.1,0.2,0.3,0.4 3设随机变量X的概率分布为 X 0 2 3 P1/83/8 3/8 求:(1)a的值;(2)P(X≤1);(3)P(≤X<3) 4某射手在相同条件下独立地进行5次射击每次击中目标 的概率是06,求击中目标次数X的概率分布
P{ X i} 2a ,i 1,2, , = = i = 求常数a. 2.下面给出的数列能否成为某一随机变量的分 布列:0.1,0.2,0.3,0.4. 课堂练习: 1. 3.设随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 a 求:(1)a的值; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3) 4.某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标 的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布
第23节随机变量的分布函数 分布函数 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x},-0<x<+∞ 为随机变量X的分布函数 2.分布函数的性质: 1)F(x)是x的单调不减函数; (2)0≤F(x)≤1,-∞<X<+∞ F(oo)= lim F(x=0, F(+oo) =lim F(x=1; x→+0 (3)F(x)是右连续的,即 F(x+0)=F(x) 注Pa<X<b}=P{X≤b}P{X≤a}=F(b)-F(a PXa=l-PIXsa=1-F(a:
第2.3节 随机变量的分布函数 1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x}, －∞＜x＜＋∞ 为随机变量X的分布函数. (1) F(x)是x的单调不减函数; (2) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞ (− ) = lim ( ) = 0, (+ ) = lim ( ) = 1; →− →+ F F x F F x x x (3)F(x)是右连续的,即: F(x+0)=F(x) 注:P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a); P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a); 2. 分布函数的性质: 一、分布函数
例23.1设随机变量X服从参数为03的0-1分布,即: X01 求X的分布函数 P|0.30.7 解(1)当x<0时F(x)=PX}=∑PX=x}=0 ≤ (2)当0≤x时,F(x)=PNs=∑PX=x}=P{x=01=0.3 ≤x (3)当1≤x时F(PX≤x}=∑P{X=x} =P{X=0}+P{X=1} 分布函数图形如下 F(x) 0.3
例2.3.1.设随机变量X服从参数为0.3的0-1分布,即: X 0 1 P 0.3 0.7 ,求X的分布函数. 解:(1) 当x<0时,F(x)=P{X≤x}= = x x i i P{X x } =0 (2)当0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}= = x x i i P{X x } =P{x=0}=0.3 (3)当1≤x时,F(x)=P{X≤x}= = x x i i P{X x } =P{X=0}+P{X=1}=1 分布函数图形如下 x F(x) 1 1 0.3 0