究这些曲线的特点，于是解析几何就产生了。2.以理论问题为起点数学的产生其次是以理论问题为起点的，即是人类为了了解思想存在的内部性质的需要，用以解决理论上的问题。例如，五世纪的普多克罗斯（pudkyols）注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此，必定存在着两倍于直径的半圆。而伽利略却注意到，每个正整数与它的平方能建立一一对应的关系，而这些正整数的平方的集合应是正整数集合的真子集，这样就构成了一个整体和它的部分相等的悸论（史称伽利略论），为了解决这个论，康托等作了研究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。（二）数学的研究对象恩格斯曾对数学的属性作过如下的描述：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一种科学。这是对数学研究对象的一种经典的解释，是对数学十分概括和深刻的解释。数学是对现实世界的事物在空间形式和数量关系方面的抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践和日常生活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。“空间形式”是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。人类在社会和生产实践中，不断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化、形式化，形成数学科学体系。此外，从数学的产生与发展历史看，数学还具有这样几个性质：其一，数学的对象是由人类发明或创造的；其二，数学的创造源于对现实世界和数学世界研究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个发展的动态体系。（三）数学的基本特征1.理论的抽象性数学的抽象性是指数学来源于实践，是现实世界的事物在数量关系和空间形式上的抽象，在表现形式和处理方法上都具有抽象的特征。不仅数学的概念是抽象的，而且数学方法本身也是抽象的。2.逻辑的严谨性数学的严谨性是指数学中每一个定理、定律都要经过严格的证明才能得以成立。表现在数学定义的准确性；数学推理的逻辑性；数学结论的精确性
究这些曲线的特点，于是解析几何就产生了。 2.以理论问题为起点 数学的产生其次是以理论问题为起点的，即是人类为了了解思想存在的内部 性质的需要，用以解决理论上的问题。例如，五世纪的普多克罗斯（pudkyols） 注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此， 必定存在着两倍于直径的半圆。而伽利略却注意到，每个正整数与它的平方能建 立一一对应的关系，而这些正整数的平方的集合应是正整数集合的真子集，这样 就构成了一个整体和它的部分相等的悖论（史称伽利略悖论），为了解决这个悖 论，康托等作了研究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。 （二）数学的研究对象 恩格斯曾对数学的属性作过如下的描述：数学就是研究“现实世界的空间形 式和数量关系”的一种科学。这是对数学研究对象的一种经典的解释，是对数学 十分概括和深刻的解释。数学是对现实世界的事物在空间形式和数量关系方面的 抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践和日常生 活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。“数量关系”是算术、代数等领 域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。“空间形式”是几何学研 究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。人类在社会和生产实践中，不 断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化、形式化，形成 数学科学体系。 此外，从数学的产生与发展历史看，数学还具有这样几个性质：其一，数学 的对象是由人类发明或创造的；其二，数学的创造源于对现实世界和数学世界研 究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个发展的动 态体系。 （三）数学的基本特征 1.理论的抽象性 数学的抽象性是指数学来源于实践，是现实世界的事物在数量关系和空间形 式上的抽象，在表现形式和处理方法上都具有抽象的特征。不仅数学的概念是抽 象的，而且数学方法本身也是抽象的。 2.逻辑的严谨性 数学的严谨性是指数学中每一个定理、定律都要经过严格的证明才能得以成 立。 表现在数学定义的准确性；数学推理的逻辑性；数学结论的精确性
3.应用的广泛性几乎每时每刻我们都要在生产和日常生活中用到数学；几乎所有的科学一如天文学、物理学、地质学、化学、生物学、医学、信息学、语言学、历史学等都广泛地应用数学这一工具。几乎所有的领域一一如军事、艺术、航空、经济、管理等也都广泛地应用数学这一工具。（四）数学的主要内容数学科学的全部内容，是由数学问题、数学知识、数学方法与数学思想组成的系统。在这个系统中，数学问题、数学知识、数学方法与数学思想具有各自不同的内涵，也有着不同的作用。就数学问题、数学知识、数学方法与数学思想的关系而言，一方面，数学思想与数学方法蕴含在数学的知识体系之中，数学思想与方法的突破又常常导致数学知识的创新；另一方面，数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事物的内在联系，是数学方法的进一步概括和升华。因此，如果说问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为规则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑是数学的“灵魂”。数学问题—数学的“心脏”教数学知识——数学的“躯体”学内数学思想数学的“灵魂”一容数学方法——数学的“行为规则”二、小学数学学科“学科”是一个教育学的概念，专指学校课程内容中的一定科学领域的总称。当数学成为学校的教育教学的对象的时候，就被称之为“数学学科”。（一）作为学科的数学作为学科的数学，它自然是源于数学科学，但作为一种教育活动的对象，其又有一定的独特性。也就是说，作为教育的数学和作为科学的数学是不完全相同的。1.从知识体系看作为科学的数学，是一个完整的、独立于任何人的任何知识结构而存在的、特定的知识和思想体系。而作为教育的数学，则是一个经过人为的加工和提炼的、依据某一特殊人群（作为获得基础的人类文化遗产的学生）的特殊需要（即数学
3.应用的广泛性 几乎每时每刻我们都要在生产和日常生活中用到数学；几乎所有的科学—— 如天文学、物理学、地质学、化学、生物学、医学、信息学、语言学、历史学等 都广泛地应用数学这一工具。几乎所有的领域——如军事、艺术、航空、经济、 管理等也都广泛地应用数学这一工具。 （四）数学的主要内容 数学科学的全部内容，是由数学问题、数学知识、数学方法与数学思想组成 的系统。在这个系统中，数学问题、数学知识、数学方法与数学思想具有各自不 同的内涵，也有着不同的作用。 就数学问题、数学知识、数学方法与数学思想的关系而言，一方面，数学思 想与数学方法蕴含在数学的知识体系之中，数学思想与方法的突破又常常导致数 学知识的创新；另一方面，数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事 物的内在联系，是数学方法的进一步概括和升华。因此，如果说问题是数学的“心 脏”、方法是数学的“行为规则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑是 数学的“灵魂”。 二、小学数学学科 “学科”是一个教育学的概念，专指学校课程内容中的一定科学领域的总称。 当数学成为学校的教育教学的对象的时候，就被称之为“数学学科”。 （一）作为学科的数学 作为学科的数学，它自然是源于数学科学，但作为一种教育活动的对象，其 又有一定的独特性。也就是说，作为教育的数学和作为科学的数学是不完全相同 的。 1.从知识体系看 作为科学的数学，是一个完整的、独立于任何人的任何知识结构而存在的、 特定的知识和思想体系。而作为教育的数学，则是一个经过人为的加工和提炼的、 依据某一特殊人群（作为获得基础的人类文化遗产的学生）的特殊需要（即数学
教育的目标）和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系。2.从数学活动看作为科学的数学，是一类专门的人（可以称之为“数学家”的那些人）的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，而作为教育的数学，则是一类专门的人（可以称之为“学生”的那些人）在某些专门的人（可以称之为“教师”的那些人）的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程。3.从对象特征看作为科学的数学，其对象是一个完全由符号、概念和规则等构成的和完全开放的逻辑结构系统，而作为教育的数学，其对象则是含有经验、直观的和几乎是封闭的逻辑结构系统。最后，从活动的目的看，作为科学的数学活动，是为了获得发现和创造数学，而作为教育的数学活动，是为了“接受”已经发现和创造的数学。（二）小学数学学科的性质作为小学数学课程的数学学科，具有如下性质：1.生活性倡导将数学学习回归于儿童的生活，这已经成为了当今转变小学数学教育观念的一个重大的命题。因为我们已经开始关注到，儿童是从自己的生活实践开始认识数学的，所以，就要将儿童的数学学习真正地回归到儿童的生活中去，在学习中时时关注儿童关心什么？经历了什么？对什么感兴趣？在生活中发现了什么？让数学学习与儿童自己的生活充分地融合起来，将学习纳入他们的生活背景之中，让他们在自己寻找、发现、探究、认识和掌握数学。2.现实性儿童的数学是他们的现实数学，因此，儿童的数学学习的组织，应源于他们的数学现实。这种现实存在于儿童与外部世界的沟通和交流的构成之中，存在于儿童的社会生活的实践性活动之中。这些“现实”是小学数学课程的起点，也是儿童获得数学的学习活动与生活实践的节点。课程的任务是构建抽象与现实的连续体。因此，小学数学课程的一个重要的特征就是沟通抽象的数学与现实的实践的联系，强化数学的产生与运用真正回归儿童的生活现实。3.体验性即学校的数学教育，应当努力去改变相应的课程内容、教学方式、组织策略和评价模式。积极倡导努力探求解法，而不单是记忆步骤；主动探索模式，而不单是记忆公式；积极形成猜测，而不单是做些习题。可见，我们的学校的数学教
教育的目标）和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系。 2.从数学活动看 作为科学的数学，是一类专门的人（可以称之为“数学家”的那些人）的一 个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，而作为教育的数学，则是一类专门 的人（可以称之为“学生”的那些人）在某些专门的人（可以称之为“教师”的 那些人）的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程。 3.从对象特征看 作为科学的数学，其对象是一个完全由符号、概念和规则等构成的和完全开 放的逻辑结构系统，而作为教育的数学，其对象则是含有经验、直观的和几乎是 封闭的逻辑结构系统。最后，从活动的目的看，作为科学的数学活动，是为了获 得发现和创造数学，而作为教育的数学活动，是为了“接受”已经发现和创造的 数学。 （二）小学数学学科的性质 作为小学数学课程的数学学科，具有如下性质： 1.生活性 倡导将数学学习回归于儿童的生活，这已经成为了当今转变小学数学教育观 念的一个重大的命题。因为我们已经开始关注到，儿童是从自己的生活实践开始 认识数学的，所以，就要将儿童的数学学习真正地回归到儿童的生活中去，在学 习中时时关注儿童关心什么？经历了什么？对什么感兴趣？在生活中发现了什 么？让数学学习与儿童自己的生活充分地融合起来，将学习纳入他们的生活背景 之中，让他们在自己寻找、发现、探究、认识和掌握数学。 2.现实性 儿童的数学是他们的现实数学，因此，儿童的数学学习的组织，应源于他们 的数学现实。这种现实存在于儿童与外部世界的沟通和交流的构成之中，存在于 儿童的社会生活的实践性活动之中。这些“现实”是小学数学课程的起点，也是 儿童获得数学的学习活动与生活实践的节点。课程的任务是构建抽象与现实的连 续体。因此，小学数学课程的一个重要的特征就是沟通抽象的数学与现实的实践 的联系，强化数学的产生与运用真正回归儿童的生活现实。 3.体验性 即学校的数学教育，应当努力去改变相应的课程内容、教学方式、组织策略 和评价模式。积极倡导努力探求解法，而不单是记忆步骤；主动探索模式，而不 单是记忆公式；积极形成猜测，而不单是做些习题。可见，我们的学校的数学教