,X离散型 各质点坐标位置为X1,X2,… 各质点质量分别为P1,P2,… xf(x)d,X连续型 连续分布着，其线密度为f(x) 物理力学解释：设有一个总质量为1的质点系分布在x轴上， 之P,离散型， 总质量 Pk=1,离散型， 则X的数学期望 仍为EX f(x)dk=1,连续型， 与总质量之比为rxfx)d心，连续型， 这表明EX可以视为X的取值中心的坐标 质点系的质心坐标 例3设随机变量X密度为f(x)= lx-4叫 2 e 0<x<十0， 其中a,是常数，且>0，求E). 拉普拉斯分布 x-a 解X=nxf)=2玩xe“d 盒+e"k=a
例3 设随机变量 X 密度为 其中a, 是常数, 且>0， , 2 1 ( ) | | f x e x x a 求 E(X). 解 xe dx x a | | 2 1 EX x f (x)dx t a e dx t | | ( ) 2 1 a . 连续型 离散型 x f x dx X x p X EX k k k ( ) , , 1 物理力学解释：设有一个总质量为 1 的质点系分布在 x 轴上， ——各质点坐标位置为 各质点质量分别为 , , , , 1 2 1 2 p p x x ——连续分布着，其线密度为 f ( x ) 总质量 连续型， 离散型， ( ) 1, 1, f x dx p k k 则X 的数学期望 与总质量之比为 连续型， 离散型， ( ) , , x f x dx x p k k k 仍为 EX 这表明EX 可以视为X 的取值中心的坐标 质点系的质心坐标 x a t dx dt 拉普拉斯分布
例4p.100例5)设随机变量X密度为)=元(1+x2) -0<X<十0， 试证E(X)不存在. 柯西分布 解l=lxzd+5 不绝对收敛 2 d 元ln(1+x2 是imln(1+x) 1→+00 +0, .E(X)不存在
例4(p.100例5) 设随机变量 X 密度为 , (1 ) 1 ( ) 2 x x f x 试证 E(X)不存在. 解 dx x x (1 ) 1 | | 2 | x| f (x)dx 0 2 ln(1 ) 1 x 柯西分布 lim l n(1 ) 1 2 x x = + , ∴ E(X)不存在. 不绝对收敛 dx x x 0 2 (1 ) 2
已学过的重要分布的数学期望： 由期望的定义不难算得 若X~B(n,p),则 EX=np 若X~P(2),则 EX=几. 若XU(a,b),则EX=+b 2 若XE(2),则 EX=1/九， 若X~N(u,σ2)，则 EX=u. 例已知某地区成年男子身高X~N(1.68,o2), EX=4=1.68 这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量 他们的身高，那么，这些身高平均值的近似是1.68
这意味着,若从该地区抽查很多个成年男子,分别测量 他们的身高， . 2 a b EX 若X~U(a, b),则 若X~N( , EX . 2),则 若X ~P(),则 EX . 已学过的重要分布的数学期望： 由期望的定义不难算得 例 已知某地区成年男子身高 X ~ N(1.68, 2), EX 1.68 那么,这些身高平均值的近似是1.68. 若X~B(n, p), 则 EX = np . 若X~E( ),则 EX =1/
三、随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布 如何计算X的某个函数g)的期望 种方法是： g(X)也是随机变量，它的分布可以由已知的X 的分布求出来.一旦知道了g()的分布， 就可以按照期望定义把 E[g)]计算出来. 比较复杂 是否可以不先求g()的分布而只根据X的分布求得E[g()]呢？ 下面的定理指出答案是肯定的.类似EX的推理，可建立如下的定理： 定理1(P.101 4.1)设随机变量Y是随机变量X的连续函数Y=g(), (1)设X为离散型随机变量，其分布列为PX=X)=p:,=1,2,, 如果 sx川P:收敛，则EY=Eg(X)川=名g(x)P5 (2) 设X是连续型随机变量，其密度函数为f),如果Ig(x)f(x) 收敛，则距Y=E[g(X)]=g(x)f(x)d
如果 收敛, | g(x)| f (x)dx 一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望定义把 E[g(X)] 计算出来 . 它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 三、随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X 的分布 一种方法是: 下面的定理指出答案是肯定的. 类似 EX 的推理，可建立如下的定理: 定理1(P.101 TH4.1) 设随机变量Y 是随机变量X 的连续函数Y=g(X), 比较复杂 (1) 设 X 为离散型随机变量,其分布列为P(X=Xi )=pi , i=1,2,…, 是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？ (2) 设X 是连续型随机变量,其密度函数为 f (x), 1 | ( )| i 如果 g x i pi 收敛, 1 [ ( )] ( ) ; k 则 EY E g X g xk pk [ ( )] ( ) ( ) . 则 EY E g X g x f x dx 如何计算 X 的某个函数 g(X) 的期望 ？ g(X)也是随机变量
g(xx)pR2 X离散型 EY EL8(X)= g(x)f(x)dk,X连续型 由此公式求E[gX]时，甚至不必知道(X的分布，直接利用X 的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便 推广设随机变量Z是随机变量X,Y的连续函数Y=g(X,), 含言(x,D四 X,Y)离散型 则EZ=ELg(X,Y)川= 蕘筱 [g(x,yf(x,y)xdy X,Y)连续型 将g()特殊化，可得到多种其他的数字特征： 联合密度 E(Xk)一k阶原点距， 其中k是正整数 E(X)一k阶绝对原点距， E[X-E(X)]k一k阶中心距， E(|X-EXk)—k阶绝对中心距
( ) k E X k E[X E(X)] (| | ) k E X (| | ) k E X EX 其中 k 是正整数. 将g(X)特殊化，可得到多种其他的数字特征: —— k阶原点距， —— k阶中心距， —— k阶绝对原点距， —— k阶绝对中心距， 连续型 离散型 g x f x dx X g x p X EY E g X k k k ( ) ( ) , ( ) , [ ( )] 1 由此公式求E[g(X)]时, 甚至不必知道 g(X)的分布, 直接利用X 的分布就可以了. 推广 设随机变量Z 是随机变量X,Y 的连续函数Y=g(X,Y), 则 连续型 离散型 ( , ) ( , ) , ( , ) ) , ( , ) , ( [ ( , )] 1 1 g x y f x y dxdy X Y g x y p X Y EZ E g X Y i j ij i j 联合分布列 联合密度 绝对收敛 这给求随机变量函数的期望带来很大方便