()+CP(1)+DP()+S(1)=N(t) d(I(1) dt =2M(1)·S(1)-4·CP()-CP(t)+M(t)]-a·2(t) ds(o drP1. DP(o)-iM().S(r) CP(1)=CP(-1)+B2DP(t)-R(D) R(1)=(4+d)CP(1) (0)=10,(0)=S0,CP(0)=CB,DP(0)=DP 对方程组的说明: 方程1:整个系统的组成的刻画 方程2:传染源数目的变化趋势,其中-a·2(1)代表外界控制因素对(1)的抑制用。 方程3:健康人群的变化; 方程4:确诊病人的变化: 方程5:退出系统的人数; 模型一的求解: 在模型中,参数的确定 每天新增的疑似排除人数 每天新增的疑似转化为确诊的人数 B2 DP(O DP(o) 当天治愈人数x当天病人死亡数 CP(O CP(n) 对题中的数据去除偏离较大的点,进行多项式拟合,得:B1=0.0284591;月2=0016083;由于治 愈和死亡都是等同的退出该系统,考虑其和u+δ=0.003615 很明显建立的模型是无法得到S(t),I()等的解析解的。于是我们用龙格一库塔方法来求出 其数值解。 我们先通过前10天的实际数据,做出时间的函数图象,用计算机在的邻域内以微小步长 搜索,并不断调整使实际图象与理论图象尽量趋于一致,得到此时的λ=0.532;∝=0.683;将 第30天的数据作为微分方程的初始值,并由差分方程迭代求解,得到()数值解(即预测值)。 由于I(t)没有实际原始数据与之做对比,不便直观上观察出预测与实际的差别。我们转化为累 计确诊病例增量(记为:L(t))的比较,由递推式: L(t)=L(t-1)+B2DP(),L(10)=1347,做关于L()-L(t-1)~t的10天以后的“确诊病例日 增量图”如下:
6 = = = = = + ⋅ = − + ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − + − ⋅ + + + = 0 0 0 0 2 1 2 (0) , (0) , (0) , (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I I S S CP CP DP DP R t CP t CP t CP t DP t R t DP t M t S t dt dS t M t S t CP t CP t M t I t dt d I t I t CP t DP t S t N t µ δ β β λ λ µ δ α 对方程组的说明： 方程 1：整个系统的组成的刻画； 方程 2：传染源数目的变化趋势，其中 ( ) 2 −α ⋅ I t 代表外界控制因素对i(t)的抑制用。 方程 3：健康人群的变化； 方程 4：确诊病人的变化； 方程 5：退出系统的人数； 模型一的求解： 在模型中，参数的确定： β 1 = DP(t) 每天新增的疑似排除人数 ； β 2 = DP(t) 每天新增的疑似转化为确诊的人数 ； CP(t) u 当天治愈人数 = ； CP(t) 当天病人死亡数 δ = ； 对题中的数据去除偏离较大的点，进行多项式拟合，得：β 1 =0.0284591； β 2 =0.016083；由于治 愈和死亡都是等同的退出该系统，考虑其和u + δ = 0.003615； 很明显建立的模型是无法得到S(t),I(t) 等的解析解的。于是我们用龙格—库塔方法来求出 其数值解。 我们先通过前 10 天的实际数据，做出时间的函数图象，用计算机在λ 的邻域内以微小步长 搜索，并不断调整使实际图象与理论图象尽量趋于一致，得到此时的λ =0.532；α =0.683；将 第 30 天的数据作为微分方程的初始值，并由差分方程迭代求解，得到 I(t) 数值解（即预测值）。 由于 I(t)没有实际原始数据与之做对比，不便直观上观察出预测与实际的差别。我们转化为累 计确诊病例增量（记为：L(t)）的比较,由递推式： L(t)=L(t-1)+ ( ) 2 β ⋅ DP t ,L(10)=1347,做关于 L(t) − L(t −1) ~ t 的 10 天以后的“确诊病例日 增量图”如下：
80· 可见,总体趋势符合的很好,但个别点有较大的误差。 模型二:基于低通滤波理论的系统控制模型 SARS传染病的不同之处就在于其发展到了后期,各方面的有力措施对它进行了控制,而在 前期,由于人们缺乏了解,整个社会的警惕性不高,所以导致在开始阶段相当于处于自然增长 蔓延的状态。那么我们的模型刻画在初期时相当于是一般传染病的蔓延态势。 对于进入“高峰期”后的情形,由系统控制理论基础,联想到通信系统中的低通滤波曲线, 我们把系统看成是非线形系统,设想引入一个“有效控制函数”,使得原本按照自然规律变化增 长下的新增病例数在“有效控制函数”的影响下按照我们所预期的期望逐渐变化。即:当模型 进入控制期后,其新増病例数应逐步减少。控制函数的起点则代表了整个社会、政府采取有力 措施的起始时间,并将现实中的各种措施用映射的观点,将其转化为控制函数中的某些参量, 即:整个社会对SRAS控制作用的影响完全由我们的控制函数体现 有效控制函数C的引入 C中各参量的具体物理意义: 的物理意义:它反映了患者数与政府等各种控制措施的相对比率关系,总的患者比率依 然会同传染率4成正,而与治愈率成反比。因此可以把它定义为“相对感染率”,并记为 g=。如果考虑廴,以值的变化,λ减小,以增大时,则正好体现出了随时间的推移,对SARs 的医疗研究增多,人群预防措施得当,传染率将减小,治愈率将提髙的客观规律,亠比值越小, 其控制效用越好。 e4“的物理意义:构造的一个下降趋势的函数。它是以控制时间t做为起始时刻的。y 它的物理意义是代表了政府等采取强硬措施(如隔离等)的力度。并且我们假设,不论在如何 提高其医疗水平的情况下,其自然的传染率是始终要高于治愈率,即
7 10 20 30 40 50 60 20 40 60 80 100 可见，总体趋势符合的很好，但个别点有较大的误差。 模型二：基于低通滤波理论的系统控制模型 SARS 传染病的不同之处就在于其发展到了后期，各方面的有力措施对它进行了控制，而在 前期，由于人们缺乏了解，整个社会的警惕性不高，所以导致在开始阶段相当于处于自然增长 蔓延的状态。那么我们的模型刻画在初期时相当于是一般传染病的蔓延态势。 对于进入“高峰期”后的情形，由系统控制理论基础，联想到通信系统中的低通滤波曲线， 我们把系统看成是非线形系统，设想引入一个“有效控制函数”，使得原本按照自然规律变化增 长下的新增病例数在“有效控制函数”的影响下按照我们所预期的期望逐渐变化。即：当模型 进入控制期后，其新增病例数应逐步减少。控制函数的起点则代表了整个社会、政府采取有力 措施的起始时间，并将现实中的各种措施用映射的观点，将其转化为控制函数中的某些参量， 即：整个社会对 SRAS 控制作用的影响完全由我们的控制函数体现。 有效控制函数 C 的引入： λ µ γ µ λ − − − = × ( ) 0 t t C k e C 中各参量的具体物理意义： µ λ 的物理意义：它反映了患者数与政府等各种控制措施的相对比率关系，总的患者比率依 然会同传染率λ 成正，而与治愈率 µ 成反比。因此可以把它定义为“相对感染率”，并记为： µ λ ε = 。如果考虑λ,µ 值的变化，λ 减小，µ 增大时，则正好体现出了随时间的推移，对 SARS 的医疗研究增多，人群预防措施得当，传染率将减小，治愈率将提高的客观规律， µ λ 比值越小， 其控制效用越好。 λ µ γ − − − ( ) 0 t t e 的物理意义：构造的一个下降趋势的函数。它是以控制时间 0t 做为起始时刻的。γ : 它的物理意义是代表了政府等采取强硬措施（如隔离等）的力度。并且我们假设，不论在如何 提高其医疗水平的情况下，其自然的传染率是始终要高于治愈率，即： λ − µ > 0
k:为待定系数,无任何物理意义 那么,我们最终提出的模型方案是: s()+i(1)+r(1)=1 di(t) A×s(1)×i(1)-×i(1) dt ds(1) =-A×s(1)×i(1) i(0)×N(0)=10 i(1)= m(×xc…(r≥) 其中:s(t),i(1),r(t):易感染者,患者,和退出系统者所占的比率。 i():微分方程求出来的原始解析解 模型二的求解 1.由模型二我们可以解得 s, - 那么,由(1)= if(1)…(t<l0) i()×C……(t≥l0) 在t以前,SARS表现出的性状和其它传染性疾病的表现趋势差不多,因此 我们重点讨论在控制期(0)以后的情况.当:t≥10时, ()=[s+)-s(0)+2hs(t)、xkxe k×[(s0+i0)-(1)+ln(2)×e2……[1] 由[1]式,我们提出性质1 性质1:政府等控制的起始时间在“快速蔓延期”后越早越好,即:越小越好. r(-o) 证明:(1)今后的变化趋势受衰减系数e4-的影响是非常大的,有[3]式我们不难看出, 当→∞,o→>0是,其整个式子的值趋近于0,也就是达到了理想情况下的最小值。但是,to 在我们的假设之中,它是不可能接近于0时刻,它必定是在经过“快速蔓延期”后,促使全社 会引起高度重视的某个时间点,因此,t-t0的差值越大,其下降(衰减)越快,也就更早地可将
8 k :为待定系数，无任何物理意义。 那么，我们最终提出的模型方案是： 其中：s(t),i(t),r(t) ：易感染者，患者，和退出系统者所占的比率。 ii(t) ：微分方程求出来的原始解析解。 模型二的求解 1．由模型二我们可以解得： ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln( 0 0 0 s s t ii t s i s t λ µ = + − + 那么，由 × ≥ < = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ii t C t t ii t t t i t LL LL 在 0t 以前，SARS 表现出的性状和其它传染性疾病的表现趋势差不多，因此， 我们重点讨论在控制期( 0t )以后的情况. 当: 0 t ≥ t 时, λ µ γ µ λ λ µ − − − = + − + × ( ) 0 0 0 0 )] ( ) ( ) [( ) ( ) ln( t t k e s s t i t s i s t = λ µ γ µ λ µ λ − − − × + − + × ( ) 0 0 0 0 )] ( ) [ ( ) ( ) ln( t t e s s t k s i s t ……[1] 由[1]式，我们提出性质 1： 性质 1:政府等控制的起始时间在“快速蔓延期”后越早越好,即: 0t 越小越好. 证明：i(t)今后的变化趋势受衰减系数 λ µ γ − − − ( ) 0 t t e 的影响是非常大的，有[3]式我们不难看出， 当t → ∞ ，t0 → 0是，其整个式子的值趋近于 0，也就是达到了理想情况下的最小值。但是， 0t 在我们的假设之中，它是不可能接近于 0 时刻，它必定是在经过“快速蔓延期”后，促使全社 会引起高度重视的某个时间点，因此， 0 t − t 的差值越大，其下降(衰减)越快,也就更早地可将 × ≥ < = × = = − × × = × × − × + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 ii t C t t ii t t t i t i N I s t i t dt ds t s t i t i t dt di t s t i t r t LL LL λ λ µ
它控制住。为保证t-t0的差值最大化,其t0必定会小,也就证明了其开始控制的时间在“快速 蔓延期”后越早越好。 综上所述:性质1得证 这个性质也同日常生活中的常识是一致的 同时证明了“有效控制函数”引入的正确性与必要性。 2.我们还可将模型中各比率变换成所对应的具体的人数,得: d dt A×1×S-4×I[2] 将[2],[3]式相除并积分: ××S dt 同理可得:1(S)=10-S0-S+“lm()…[4 结合[3]、[4式可以看出,当S>“时,I(S)是减函数: 当S<“时,I(S)是增函数:而当S=“时,我们可以绘出其在第一象限的轨迹图样,可 以看出其那时的轨线取极大。 因此我们可以定性的认为:其x=为其阈值,当其 传染者超过此值,其发病的人数会越来越多,而当其 传染者的值小于此值时,发病的人数是会减少 而结合我们对SARS的认识,其超过阈值是很容易做到 的。因此,不加任何控制的话,其SARS的发展趋势将 会是相当迅猛的 (3)对于[2],[3]式我们进一步讨论得 取 Dulac函数B(,S)=Sm,k,m待定, D=(B(1,S)(A×1×S-4×1))+一(B(1,S)(-×I×S) 1mSm(××S-HxD)+(S"(-×I×S) =ASm4(k+1)-S"(k+1)/-(m+1)Sm 当m=k=-1时 必有D=0 由 Dulac函数的性质可得:其[2]、[3]式在第一象限内无闭轨 由此,我们提出性质2。 性质2:SARS(包括其它满足此微分方程的传染病)它们的流行绝不会是周期性的。即:疫情 爆发后不可能再次出现“快速蔓延期”。 证明:由上面[2][3]式在第一象限内无闭轨,由I、S的变化映射到二维平面中的点只会从
9 它控制住。为保证 0 t − t 的差值最大化，其 0t 必定会小，也就证明了其开始控制的时间在“快速 蔓延期”后越早越好。 综上所述：性质 1 得证。 这个性质也同日常生活中的常识是一致的。 同时证明了“有效控制函数”引入的正确性与必要性。 2． 我们还可将模型中各比率变换成所对应的具体的人数，得： = − × × = × × − × [3] [2] I S dt dS I S I dt dI λ λ µ 将[2]，[3]式相除并积分： 同理可得： ( ) ln( ) 0 0 0 S S I S I S S λ µ = − − + ……[4] 结合[3]、[4]式可以看出，当 λ µ S > 时，I（S）是减函数； 当 λ µ S < 时，I（S）是增函数；而当 λ µ S = 时，我们可以绘出其在第一象限的轨迹图样，可 以看出其那时的轨线取极大。 因此我们可以定性的认为：其 λ µ x = 为其阈值，当其 传染者超过此值，其发病的人数会越来越多，而当其 传染者的值小于此值时，发病的人数是会减少。 而结合我们对 SARS 的认识，其超过阈值是很容易做到 的。因此，不加任何控制的话，其 SARS 的发展趋势将 会是相当迅猛的。 (3)对于[2],[3]式我们进一步讨论得: 取 Dulac 函数 B(I, S) = k m I S ,k,m 待定， ( ( , )( )) (B(I, S)( I S)) S B I S I S I I D − × × ∂ ∂ × × − × + ∂ ∂ = λ µ λ = ( ( )) (I S ( I S)) S I S I S I I k m k m − × × ∂ ∂ × × − × + ∂ ∂ λ µ λ = m k m k k m S k I S k I m I S 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) + + λ + − µ + − + λ 当m = k = −1时 必有 D = 0 , 由 Dulac 函数的性质可得：其[2]、[3]式在第一象限内无闭轨。 由此，我们提出性质 2。 性质 2：SARS（包括其它满足此微分方程的传染病）它们的流行绝不会是周期性的。即：疫情 爆发后不可能再次出现“快速蔓延期”。 证明：由上面[2][3]式在第一象限内无闭轨，由 I、S 的变化映射到二维平面中的点只会从