4、‖sin(x2+y2)do σ,其中σ是圆域 x2+y2≤42的面积,σ=16π. 二、利用二重积分定义证明: kf(x, y)do k∫ ∫f(x,y)dσ.(其申为常数) 、比较下列积分的大小: 1、』∫(x2+y)与(x+pd,其中D是由圆 (x-2)2+(y-1)2=2所围成 2、jm(x+p)lσ与{m(x+y)2d,其中D是矩形 闭区域:3≤x≤5,0≤y≤1
4、 + D sin( x y )d 2 2 __________ ,其中 是圆域 2 2 2 x + y 4 的面积 , = 16. 二、利用二重积分定义证明 : = D D kf (x, y)d k f (x, y)d .(其中k 为常数) 三 、比较下列积分的大小 : 1、 + + D D x y d x y d 2 2 3 ( ) 与 ( ) ,其中D是由圆 ( 2) ( 1) 2 2 2 x − + y − = 所围成 . 2、 x + y d x + y d D 2 ln( ) 与 [ln( )] ,其中D是矩形 闭区域:3 x 5,0 y 1
四、估计积分Ⅰ ∫e x2+4y2+9)d的值,其中D是圆 形区域:x2+y2≤
四、估计积分 = + + D I (x 4 y 9)d 2 2 的值,其中D是圆 形区域: 4 2 2 x + y
练习题答案 1、连续; 2、以z=f(x,y)为曲顶,以D为底的曲顶柱体体积 的代数和; 3、>,< 1、‖(x+y)2los(c x+ y)dc 2、』m(x+plo<∫(x+p)da 四、36πS‖(x2+4y2+9)ds100
一、1、连续； 2、以z = f (x, y)为曲顶,以D 为底的曲顶柱体体积 的代数和； 3、>,<； 4、 . 三、1、 + + D D x y d x y d 2 3 ( ) ( ) ； 2、 x + y d x + y d D 2 ln( ) [ln( )] . 四、 + + 36 ( 4 9) 100 2 2 x y d . 练习题答案
第三节二重积分的应用 、问题的提出 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片的转动惯量 五、平面薄片对质点的引力 六、小结
第三节 二重积分的应用 一、问题的提出 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片的转动惯量 五、平面薄片对质点的引力 六、小结
问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do时, 相应地部分量可近似地表示为∫(x,y)ldo的形式, 其中(x,y)在d内.这个f(x,y)do称为所求量U 的元素,记为U,所求量的积分表达式为 U=∫f(x,pyo
一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. d d f (x, y)d (x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 = D U f (x, y)d dU