曲面的面积 实例一颗地球的同步轨道通讯 卫星 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内,且可近似认为是圆轨道.通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同,即人们看到它在 天空不动.若地球半径取为R, 问卫星距地面的高度力应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大?
实例 一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同，即人们看到它在 天空不动．若地球半径取为R， 问卫星距地面的高度h 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 二、曲面的面积 卫星 h o x z
1.设曲面的方程为:z=∫(x,y) 在xoy面上的投影区域为D, 如图,设小区域do∈D, dA/ 点(x,y)∈lU, ∑为S上过M(x,y,f(x,y) 的切平面 以d边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dA, 则有dA≈ds
１．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 设小区域 d D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面 为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z 则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s o
d为M在xoy面上的投影,do=d4,cosy, cosr √+f2 f r2 3 dA=1+f2+f2l曲面S的面积元素 A=1+/2+flo, 曲面面积公式为:A=1+()+()
d 为dA 在 xoy 面上的投影, d = dA cos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f = dA = + f x + f y d 2 2 1 1 , 2 2 = + + D A f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： A dxdy Dxy y z x z = + + 2 2 1 ( ) ( )
同理可得 2.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面积公式为:4=1+()+()d在 3.设曲面的方程为:y=h(x,x) 曲面面积公式为:4=1+(e)+()k
３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y = + + ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dy z z x y x = + + 同理可得
例1求球面x2+p2+z2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=4A1 D1:x2+y2≤ax(x,y≥0) 0.5 曲面方程z=Vn2-x2-y2, 于是1+()+(= a -x
例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1 , D1：x + y ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y 0)