第十章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 问题的提出 、对弧长的曲线积分的概念 三、对弧长曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结
第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 一 、问题的提出 二、对弧长的曲线积分的概念 三、对弧长曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结
、问题的提出 B 实例:曲线形构件的质量 (5,m)/M 2 匀质之质量M=p·s AM 分割 0 259 →>△S; 取(5;,m)∈As,△M1≈p(5,m) 求和M≈∑(5,m)A 近似值 精确值 取极限M=lim∑p(5,m)△s
一 、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn1 Mi Mi1 M2 M1 ( , ) i i L 匀质之质量 M s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M s ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 n i i i i M s 取极限 lim ( , ) . 1 0 n i i i i M s 近似值 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为△,又(,n)为第 个小段上任意取定的一点,y 作乘积f(ξ:,n)△s, (5;,7h M 并作和∑f(,m)△s, A M
二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一 点 个小段 设第 个小段的长度为 又 为第 在 上有界 用 上的点 把 分成 设 为 面内一条光滑曲线弧 函数 1.定义 o x y A B Mn1 Mi Mi1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在,则称此极限为函数∫(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作∫(x,y)d,即 被积函数 L ∫,f(y)h=lm∑f(5,n),△(积分和式 久→ i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=p(x,p)d
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或 第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的 长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . L M x y ds
闭新 2存在条件: 当∫(x,y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分』f(x,y)d存在 3推广 函数∫(x,y,z)在空间曲线弧T上对弧长的 曲线积分为 x,y2=m∑/(5,分)△
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函数 f (x, y,z)在空间曲线弧 上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds f s