第三章微分中值定理 第一节中值定理 、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结思考题
第三章 微分中值定理 第一节 中值定理 一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结 思考题
罗尔(Role)定理 罗尔(Rol定理如果函数f(x在区间a,b 上连续在开区间(a,b)内可导且在区间端点的函数 值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 ξ(a<ξ<b),使得函数∫(x)在该点的导数等于零, 即f(ξ)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在-1,3上连续,在(-1,3)上可导,且∫(-1)=f(3)=0, ∫'(x)=2(x-1),取ξ=1,(1∈(-1,3)∫(2)=0
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
几何解释: C y=∫(x) 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切线是 水平的 2 物理解释 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零 点击图片任意处播放皙停
点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证∵∫(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则f(x)=M 由此得∫(x)=0.V∈(a,b),都有∫'()=0 (2)若M≠m.∵f(a)=∫(b, 最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a) 则在(a,b)内至少存在一点使f(4)=M ∫(ξ+△x)≤∫(5),∴∫(ξ+△x)-∫(ξ)≤0
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若Ax>0,则有 f∫(ξ+△x)-∫(ξ ≤0; △r 若Ax<0.则有f(+A)-f(8z0; ∴∫(ξ)=lim f∫(ξ+△x)-∫(2) ≥0; △ ∫f1()=Iim ∫(2+△x)-∫(2) ≤0;∵f(2)存在, △r→>+0 △v ∫'()=f(64).∴只有f(2)=0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0