置信区间的求法 (1)已知方差a2 ()单个正态总体 1.均值{(2)未知方差a2 2.方差a2 (1)已知均值p (2)未知均值p (1)已知方差a2, (二)两个正态总体 1.均值H{(2)未知方差G,2,但相等! (1)已知均值p,p2 2.方差/1(2)未知均值1,p 如何根据实际样本,由给定的置信水平1-a,求出一个区间(旦,日),使 P(≤6≤6)=1-a? 我们选取未知参数的某个估计量e根据置信水平1-a,可以 找到一个正数δ,使得P(6-≤δ)=1-a, 只要知道的概率分布就可以确定δ.分布的分位数② 由不等式|-0|≤δ可以解出e:b-≤6≤6+6③ 这个不等式就是我们所求的置信区间(, 对于给定的置信水平,根据估计量U的分布,确定 一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平
只 要 知 道 ^ 的概率分布就可以确定 . 如何根据实际样本, 由给定的置信水平1- , 求出一个区间 , 使 根据置信水平1- , 可以 找到一个正数 , 二、置信区间的求法 (一) 单个正态总体 1. 均值 (1) 已知方差 2 1. 均值 1- 2 (1) 已知方差1 2 ,2 2 (二) 两个正态总体 2. 方差 2 (2)未知方差 2 P( ) 1 ？ ( , ) 使得P(| ˆ | ) 1， ^ 我们选取未知参数的某个估计量 , 由不等式 | ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ 这个不等式就是我们所求的置信区间( , ) . 分布的分位数 ① ② ③ (1) 已知均值 (2) 未知均值 (2) 未知方差1 2 ,2 2 2. 方差1 2/2 2 (1) 已知均值 1 , 2 (2)未知均值 1 , 2 ,但相等! 对于给定的置信水平, 根据估计量U 的分布, 确定 一个区间, 使得 U 取值于该区间的概率为置信水平
()单个正态总体置信区间的求法 设X1,…,X是总体X~N(,02)的样本,,S2分别是其样本 均值和样本方差,求参数 a2的置信水平为1-a的置信区间 1.均值μ的置信区间 ①确定未知参数的 (1)已知方差a2时 估计量及其函数的分布 X=1∑X1是的无偏估计量故可用X作为EX的一个估计量, 由抽样分布定理知 X-u-N(O, 1) XN n 4有了分布就可求出U取值于任意区间的概率 对给定的置信度1-a, P66 按标准正态分布的双侧a分位数的定义P(U|≥ua2)=a, 即令(ua2)=1-号,查正态分布表可得la2,②由分布求分位数 x-kk<ua e x-o V4a2<<X+%na/2③由a2 确 定置信区间 即得置信区间(X ual 5 X+gla2),简记为x±na2
─X , S 2分别是其样本 均值和样本方差, ─X ~ N( , 2/n), 求参数 、 2的置信水平为1- 的置信区间. 设 X1,…, Xn是总体 X~ N(, 2)的样本, n X U / ① 确定未知参数的 估计量及其函数的分布 是 的无偏估计量, ② 由分布求分位数 即得置信区间 (一) 单个正态总体置信区间的求法 (1)已知方差 2 时 ─ 故可用 X 作为 EX 的一个估计量, n i Xi n X 1 1 ~ N(0, 1), 对给定的置信度 1- , 按标准正态分布的双侧 分位数的定义 /2 / 2 / 2 | / | u n u X n u X n X (| | ) , P U u /2 , 2 ( /2 ) 1 即令 u 查正态分布表可得 u/2 , ③ 由u/2确 定置信区间 ( , ) , / 2 / 2 u n u X n X 有了分布就可求出U 取值于任意区间的概率 P 66 简记为 2 u n X 由抽样分布定理知 1. 均值 的置信区间
求置信区间首先要明确问题: 是求什么参数的置信区间?置信水平1-a是多少? 般步骤如下: X 1.寻找未知参数的一个良好的点估计量θ(X1,X2,…,Xn) 确定待估参数估计量函数U()的分布 U X-~N(0 2.对于给定的置信水平1-a,由概率P(U|≥xa)=a, 查表求出分布的分位数xa,①(nan2)=1- P(U|≥La2)=a 3由分位数U≥xa确定置信区间(B,6)x-an2<<x+gl2 (θ,θ)航就是θ的100(1a)%的置信区间. n 总体分布的形式是否已知,是怎样的(x-m02,x+mna2) 类型,至关重要
/2 /2 u n u X n X 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1- 是多少? ^ 1. 寻找未知参数 的一个良好的点估计量 (X1, X2, …, Xn ); 确 定 待 估 参 数 估 计 量 函 数 ^ U( ) 的分布 ; 求置信区间首先要明确问题： 2. 对于给定的置信水平 1- , 由概率 ─ ( , ) 就是 的100(1-)％ 的置信区间. ─一般步骤如下: ─ 3. 由分位数|U| x 确定置信区间 ( , ). ─ P(|U | x ) , P(|U | u /2 ) 2 ( / 2 ) 1 u ( / 2 , / 2 ) u n u X n X 查表求出分布的分位数 x , ~ (0,1) / N n X U n i Xi n X 1 1 总体分布的形式是否已知,是怎样的 类型,至关重要
例1某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入X(单位:元 且X~N(300,252)推行联产承包责任制后,在该乡抽得 n=16的样本,得=325元,假设a2=252没有变化求p的置信水 平为0.95的置信区间 解由于a=0.05,查正态分布表得 0u,1325≠<1%÷35-30.025=1.96, X 196<m<32S 1.96 25/16 即得置信区间(312.75,337.25).区间长度为24.25 如在上例中取a=0.01+0.04,由正态分布上侧分位数定义知 0.01+0.04=1-φ(u0)+1-①(u04)=1-①(u0)+(-l0.04) 1-P(-0.04<U<L0) 长度为25.5 查表知on=23,u=1.75→325-252.33<<325+25175 16 4同一置信水平下的置信区间不唯一,其长度也不相等 当然区间长度越短的估计,精度就越高 谁是 由于标准正态分布密度函数的图形是单峰且对称的, 在保持面积不变的条件下,以对称区间的长度为最短!!
某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入 X(单位:元), 求 的置信水 平为 0. 95 的置信区间. 推行联产承包责任制后, 在该乡抽得 n=16 的样本, 且 X ~ N (300, 25 2). 解 由于 =0.05 , 查正态分布表得 例1 得 ─x =325元, 假设 2 = 25 2没有变化, /2 | / | u n X | 1.96 25/ 16 325 | 1.96 16 25 1.96 325 16 25 325 即得置信区间 ( 312. 75 , 337. 25 ). 同一置信水平下的置信区间不唯一, 如在上例中取 =0. 01+ 0. 04 , 0.01 0.04 1 (u0.01) 1(u0.04 ) u0.01 2.33 , u0.04 1.75 由正态分布上侧分位数定义知 1 P( u0.04 U u0.01 ) 1 (u0.01) (u0.04 ) 查表知 1.75 16 25 2.33 325 16 25 325 u0. 025 =1.96 , 当然区间长度越短的估计, 精度就越高. 其长度也不相等. 区间长度为 24. 25 长度为 25. 5 谁是精度最高的？ 由于标准正态分布密度函数的图形是单峰且对称的, x x 在保持面积不变的条件下, 以对称区间的长度为最短 ! !