例1设 034 204 05-1 l21 那么 AB= 204 10 3 05-1 121 例2如果 A=(au) 是一线性方程组的系数矩阵,而 b2 b 分别是未知量和常数项所成的n×1和s×1矩阵,那么线性方程组就可以写成矩阵 的等式 A X= B 例3在空间中作一坐标系的转轴设由坐标系(x1y1,=1)到(x2,y2=2)的坐标 变换的矩阵为 a 22a23 a aaa a. 如果令 y 那么坐标变换的公式可以写成 如果再作一次坐标系的转轴,设由第二个坐标系(x2,y2,z2)到第三个坐标系
例 1 设 − − = − − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 , 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 A B , 那么 − − − = − − − − − = 2 17 10 10 2 6 5 6 7 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 AB 例 2 如果 ( ) sn A = aij 是一线性方程组的系数矩阵，而 = = n bs b b B x x x X 2 1 2 1 , 分别是未知量和常数项所成的 n1 和 s 1 矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵 的等式 AX = B . 例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 ( , , ) 1 1 1 x y z 到 ( , , ) 2 2 2 x y z 的坐标 变换的矩阵为 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A 如果令 = = 2 2 2 2 1 1 1 1 , z y x X z y x X , 那么坐标变换的公式可以写成 X1 = AX2 . 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 ( , , ) 2 2 2 x y z 到第三个坐标系
(x3,y3z3)的坐标变换公式为 X=BX 3 其中 bu bu2 bus B=b21b2b23,X3 b3 b32 b33 那么不难看出,由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C=AB 矩阵的乘法适合结合律设 A=(an),B=(b),C=()m 则 (ABC=A(BC) 但是矩阵的乘法不适合交换律,即一般说来 AB≠BA 例如,设 A B AB 00 BA 由这个例子我们还可看出,两个不为零的矩阵的乘积可以是零,这是矩阵乘 法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立即当AB=AC时,不一定有 定义3主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的nxn矩阵 0
( , , ) 3 3 3 x y z 的坐标变换公式为 X2 = BX3 , 其中 = = 3 3 3 3 31 32 33 21 22 23 11 12 13 , z y x X b b b b b b b b b B . 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C = AB. 矩阵的乘法适合结合律.设 ( ) ( ) ( ) jk nm kl mr sn ij A = a , B = b , C = c 则 (AB)C = A(BC). 但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来 AB BA. 例如，设 − − = − − = 1 1 1 1 , 1 1 1 1 A B = − − − − = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 AB , 而 − − = − − − − = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 BA . 由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘 法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 AB = AC 时,不一定有 B = C. 定义 3 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 nn 矩阵 0 0 1 0 1 0 1 0 0
称为n级单位矩阵,记为En,或者在不致引起含混的时候简单写为E显然有 EA =A 矩阵的乘法和加法还适合分配律,即 A(B+C)=AB+AC, (B+C)A= BA+ BC 应该指出,由于矩阵的适合交换律,所以(9)与(10)是两条不同的规律 我们还可以定义矩阵的方幂设A是一n×n矩阵,定义 A A 换句话说,A就是k个A连乘当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义由乘法 的结合律,不难证明 AA=A (4) 这里k,是任意正整数因为矩阵乘法不适合交换律,所以(AB)与AB一般不相 等 3.数量乘法 定义4矩阵 k ka 2…ka2n k 称为矩阵A=(a)与数k的数量乘积,记为k换句话说,用数k乘矩阵就是把 矩阵的每个元素都乘上k 数量乘积适合以下的规律: (k+1)A=kA=lA k(A+B)=kA+kB
称为 n 级单位矩阵，记为 En ，或者在不致引起含混的时候简单写为 E .显然有 AsnEn = Asn , Es Asn = Asn . 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即 A(B + C) = AB + AC , (9) (B + C)A = BA + BC . (10) 应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律. 我们还可以定义矩阵的方幂.设 A 是一 nn 矩阵，定义 = = + . , 1 1 A A A A A k k 换句话说， k A 就是 k 个 A 连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法 的结合律，不难证明 k l k l A A A + = , k l kl (A ) = A . 这里 k,l 是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以 k (AB) 与 k k A B 一般不相 等. 3. 数量乘法 . 定义 4 矩阵 s s sn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 ( ) sn A = aij 与数 k 的数量乘积，记为 kA.换句话说，用数 k 乘矩阵就是把 矩阵的每个元素都乘上 k . 数量乘积适合以下的规律： (k + l)A = kA = lA , (11) k(A + B) = kA+ kB , (12)
k(LA)=(kl)A, (13) lA=A (14) k(AB)=(kA)B= A(kB) 矩阵 0 k 00 通常称为数量矩阵作为(15)的特殊情形,如果A是一n×n矩阵,那么有 kA=(kE)A=A(kE) 这个式子说明,数量矩阵与所有的n×n矩阵作乘法是可交换的可以证明:如果 一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法是可交换的,那么这个矩阵一定是数量矩阵 再有 kE+lE =(k+DE (kEE)=(kDE 这就是说,数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法. 4.转置 把一矩阵A的行列互换,所得到的矩阵称为A的转置,记为A可确切地定 义如下 定义5设 A 所谓的转置就是指矩阵 12a 显然,s×n矩阵的转置是n×s矩阵. 矩阵的转置适合以下的规律:
k(lA) = (kl)A , (13) 1A = A , (14) k(AB) = (kA)B = A(kB) . (15) 矩阵 = k k k kE 0 0 0 0 0 0 通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形，如果 A 是一 nn 矩阵，那么有 kA = (kE)A = A(kE). 这个式子说明，数量矩阵与所有的 nn 矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果 一个 n 级矩阵与所有 n 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵. 再有 kE + lE = (k + l)E , (kE)(lE) = (kl)E , 这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法. 4. 转置 把一矩阵 A 的行列互换，所得到的矩阵称为 A 的转置，记为 A .可确切地定 义如下： 定义 5 设 = s s sn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ， 所谓的转置就是指矩阵 = n n sn s s a a a a a a a a a A 1 2 12 22 2 11 21 1 . 显然， sn 矩阵的转置是 ns 矩阵. 矩阵的转置适合以下的规律：
(A)’=A (16) (A+B)=A+B (AB)'=BA', (kA=kA (19) (16)表示两次转置就还原,这是显然的 例4设 ),B=113 42 求(AB),B'A
(A) = A , (16) (A + B) = A + B , (17) (AB) = BA , (18) (kA) = kA . (19) (16)表示两次转置就还原，这是显然的. 例 4 设 ( ) − = − = 4 2 1 1 1 3 2 1 0 A 1 1 2 , B 求 (AB) , BA