§2正交基 、标准正交基 定义5欧氏空间V的一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一个正交 向量组 按定义,由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组 正交向量组是线性无关的这个结果说明,在n维欧氏空间中,两两正交的非 零向量不能超过n个 定义6在n维欧氏空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基:由单 位向量组成的正交基称为标准正交基组 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基 设61,E2…,5n是一组标准正交基,由定义,有 几1,当=j 0,当i≠j 显然,(1)式完全刻画了标准正交基的性质换句话说,一组基为标准正交基 的充要条件是:它的度量矩阵为单位矩阵因为度量矩阵是正定矩阵的,根据第 五章关于正定二次型的结果,正定矩阵合同于单位矩阵这说明在n维欧氏空间中 存在一组基,它的度量矩阵是单位矩阵由此断言,在n维欧氏空间中,标准正交 基是存在的 在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单地表示出来,即 a=(E1a)E1+(E2,a)E2+…+(En,a)E 在标准正交基下,内积有特别简单的表达式设 a=x1E1+xE)+…+x,E B=ya,+y tyne 那么 (a,B)=xy+x,y,+.+x,y=XY. 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广 应该指出,内积的表达式(3),对于任一组标准正交基都是一样的这说明了,所
§2 正交基 一、标准正交基 定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交 向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交的非 零向量不能超过 n 个. 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单 位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设 n , , , 1 2 是一组标准正交基，由定义，有 = = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基 的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第 五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在 n 维欧氏空间中 存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在 n 维欧氏空间中，标准正交 基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n ( ,) ( ,) ( ,) = 1 1 + 2 2 ++ . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 . 1 1 2 2 n n = x + x ++ x . 1 1 2 2 n n = y + y ++ y 那么 ( , ) . = x1 y1 + x2 y2 ++ xn yn = X Y (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所
有的标准正交基,在欧氏空间中有相同的地位 规范正交基的存在性及其正交化方法 定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基 应该注意,定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法 如果从任一个非零向量出发,按证明中的步骤逐个地扩充,最后就得到一组正交 基再单位化,就得到一组标准正交基 定理2对于n维欧氏空间中任意一组基61E2…,En,都可以找到一组标准正 交基n1,n2 使 L(s1E2,…,6)=L(7 ,n;),i=1,2,…,n 应该指出,定理中的要求 E1)=L(m1,n2,…,n1),i=1,2,…,n 就相当于由基1,E2…,En到基n,nh2,…,n的过渡矩阵是上三角形的 定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和 文献中称为施密特( Schmidt)正交化过程. 例1a1=(10.0,a2=(1,0,1,0),a3=(-100,1,a4=(,-1,-1,1) 变成单位正交组 、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地 位,所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式 设E1,E2…,En与1,n2…是欧氏空间V中的两组标准正交基,它们之间的 过渡矩阵是A=(an),即 (71,n2,…,n)=( a 因为n1,2…,7n是标准正交基,所以
有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 二、规范正交基的存在性及其正交化方法 定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法. 如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交 基.再单位化，就得到一组标准正交基. 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 n , , , 1 2 ，都可以找到一组标准正 交基 n , , , 1 2 ，使 L( 1 , 2 , , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i = n 应该指出，定理中的要求 L( 1 , 2 , , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i = n 就相当于由基 n , , , 1 2 到基 n , , , 1 2 的过渡矩阵是上三角形的. 定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和 文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程. 例 1 (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) 1 = 2 = 3 = − 4 = − − 变成单位正交组. 三、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地 位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式. 设 n , , , 1 2 与 n , , , 1 2 是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们之间的 过渡矩阵是 ( ) A = aij ，即 (1 ,2 , ,n ) = n n nn n n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 ( , , , ) 因为 n , , , 1 2 是标准正交基，所以
∫1,当 矩阵A的各列就是n,n2…n在标准正交基E1,E2…,En下的坐标按公式(3)(4) 式可以表示为 当i=j a1a1+a2a21+…+ann=10,当≠j (5)式相当于一个矩阵的等式 A'A=E 或者 定义7n组实数矩阵A称为正交矩阵,如果A'A=E 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;反过来,如果第一组基 是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基 最后指出,根据逆矩阵的性质,由 AA=E 即得 AA=E 写出来就是 +a,2a+……+a1na l≠J (5)式是矩阵列与列之间的关系,(7)式是矩阵行与行之间的关系这两组关系是等 价的 例2考虑定义在闭区间[0,2x]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2x] 函数组 1. coS x sin x... cosnx. sin nx 构成C[0,2x]的一个正交组 把上面的每一向量除以它的长度,就得到C[0,2x]的一个标准正交组
= = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (4) 矩阵 A 的各列就是 n , , , 1 2 在标准正交基 n , , , 1 2 下的坐标.按公式(3),(4) 式可以表示为 = + + + = 0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j a ia j a ia j anianj 当 当 (5) (5)式相当于一个矩阵的等式 AA = E (6) 或者 A = A −1 定义 7 n 组实数矩阵 A 称为正交矩阵，如果 AA = E 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基 是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基. 最后指出，根据逆矩阵的性质，由 AA = E 即得 AA = E 写出来就是 = + + + = 0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j ai a j ai a j ai na j n 当 当 (7) (5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等 价的. 例 2 考虑定义在闭区间 [0, 2 ] 上一切连续函数所作成的欧氏空间 C[0,2 ]. 函数组 1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx, . 构成 C[0,2 ] 的一个正交组. 把上面的每一向量除以它的长度,就得到 C[0,2 ] 的一个标准正交组:
cosx,rsnx,……," cosmi, sin x, 例3欧氏空间R的基 E1=(0,…0,1,0,…0),1=1,2…,n 是R的一个标准正交基
sin , . 1 cos , 1 sin , , 1 cos , 1 , 2 1 x x nx nx 例 3 欧氏空间 n R 的基 ） （ ） (0,,0, 1,0,,0 i i = ,i = 1,2, ,n 是 n R 的一个标准正交基