§3不变因子 现在来证明,-矩阵的标准形是唯一的 定义5设λ-矩阵A(4)的秩为r,对于正整数k,1≤k≤r,A(4)中必有非 零的k级子式.A(4)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D(4)称为 A(A)的k级行列式因子 由定义可知,对于秩为r的λ-矩阵,行列式因子一共有r个行列式因子的 意义就在于,它在初等变换下是不变的 定理3等价的λ-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子 现在来计算标准形矩阵的行列式因子设标准形为 d,() d2() (1 0 其中d(),d2(4)…,d()是首项系数为1的多项式,且 d(4)ldl-(λ)(=1,2,…,r-1)不难证明,在这种形式的矩阵中,如果一个k 级子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个k级子式一定为零因此,为了 计算k级行列式因子,只要看由1,2…4行与i,2…列组成的k级子式就行 了,而这个k级子式等于 d2(4),d,(),…,d() 显然,这种k级子式的最大公因式就是 (4)d2(4)…d4() 定理44-矩阵的标准形是唯一的 证明设(1)是A(4)的标准形由于A(4)与(1)等价,它们有相同的秩与相同的 行列式因子,因此,A(4)的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r;A()
§3 不 变 因 子 现在来证明， −矩阵的标准形是唯一的. 定义 5 设 −矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k,1 k r, ， A() 中必有非 零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 () Dk 称为 A() 的 k 级行列式因子. 由定义可知，对于秩为 r 的 −矩阵，行列式因子一共有 r 个.行列式因子的 意义就在于，它在初等变换下是不变的. 定理 3 等价的 −矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d (1) 其 中 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 是 首 项 系 数 为 1 的 多 项 式 ， 且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − .不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为零.因此，为了 计算 k 级行列式因子，只要看由 k i ,i , ,i 1 2 行与 k i ,i , ,i 1 2 列组成的 k 级子式就行 了，而这个 k 级子式等于 ( ), ( ), , ( ) 1 2 k di di di 显然，这种 k 级子式的最大公因式就是 ( ) ( ) ( ) d1 d2 dk 定理 4 −矩阵的标准形是唯一的. 证明 设(1)是 A() 的标准形.由于 A() 与(1)等价，它们有相同的秩与相同的 行列式因子，因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数 r ; A()
的k级行列式因子就是 D4(4)=d1()d2(1)…d4()(k=1,2,…,r) 于是 d1(A)=D1(4),d2(4) D2() d (a) D(4) (3) D1() () 这就是A(4)的标准形()的主对角线上的非零元素是被A(4)的行列式因子所唯 一决定的,所以A(4)的标准形是唯一的 定义6标准形的主对角线上非零元素d1(4),d2(4)…,d(4)称为-矩阵 A(4)的不变因子 定理5两个A-矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子,或者,它 们有相同的不变因子 由(3)可以看出,在λ-矩阵的行列式因子之间,有关系式 D(4)Dk+1(4)(k=1,2 在计算λ-矩阵的行列式因子时,常常是先计算最高级的行列式因子这样,由(4) 就大致有了低级行列式因子的范围了 例如,可逆矩阵的标准形设A(4)为一个n×n可逆矩阵,由定理1知 4(4)Fd, 其中d是一非零常数,这就是说 Dn()=1 于是由(4)可知,DA(4)=1(k=1,2,…,m)从而 d4(4) (k=1,2,…,n) 因此,可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.反过来,与单位矩阵等价的矩阵一定是 可逆矩阵,因为它的行列式是一个非零的数这就是说,矩阵可逆的充要条件是 它与单位矩阵等价又矩阵A(4)与B(4)等价的充要条件是有一系列初等矩阵 P,P2…,P,Q1Q2…,Q,使
的 k 级行列式因子就是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 D d d d k r k = k = . (2) 于是 ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 1 2 1 1 2 − = = = r r r D D d D D d D d . (3) 这就是 A() 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被 A() 的行列式因子所唯 一决定的，所以 A() 的标准形是唯一的. 定义 6 标准形的主对角线上非零元素 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 称为 − 矩阵 A() 的不变因子. 定理 5 两个 −矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它 们有相同的不变因子. 由(3)可以看出，在 −矩阵的行列式因子之间，有关系式 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1) Dk Dk+1 k = r − . (4) 在计算 −矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4) 就大致有了低级行列式因子的范围了. 例如，可逆矩阵的标准形.设 A() 为一个 nn 可逆矩阵，由定理 1 知 | A() |= d , 其中 d 是一非零常数，这就是说 Dn () =1 于是由(4)可知， D ( ) 1 (k 1,2, ,n) k = = 从而 d ( ) 1 (k 1,2, ,n) k = = 因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E .反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是 可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是 它与单位矩阵等价.又矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件是有一系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2 1 2 ，使
A()=PP2…PB(1)QQ2…Q 特别是,当时B(4)=E,就得到 定理6矩阵A(4)是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积 推论两个sxn的-矩阵A(4)与B(4)等价的充要条件为,有一个sxs可逆 矩阵与一个n×n可逆矩阵Q(A),使 B()=P(4)A()Q()
A P1P2 PlB Q1Q2 Qt () = () 特别是，当时 B() = E ，就得到 定理 6 矩阵 A() 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积. 推论 两个 sn 的 −矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为，有一个 ss 可逆 矩阵与一个 nn 可逆矩阵 Q() ，使 B() = P()A()Q()