曲线的几何 6 证明.弧长参数下，其为r(s),r”(s)张成的有向面积，即x(sy”(s)-x”(s)y(s),再化为一般参数。 *常曲率曲线只能为直线（曲率为0）或圆（曲率非0） 证明.前者由定义易得，后者通过求导可说明(s)=r(s)+(s)为常向量，从而得证。 定理1.11.设K:(a,)→R为连续函数，则存在孤长参数曲线r(s)使得s处曲率为(s),且若存在两条这 样的曲钱r,元，则有刚体变换A使得F=Aor。 r'(s)=t(s】 证明.存在性也即寻找r(8)满足 =m=p-】 s)T ,利用微分方程中的Picard存 0 在唯一性定理，由任给的满足(s0训=1的初值可以解出t,进而解出r。 对于维生，的初位相差平移矩库，的切位相差旋转知阵，而关转矩阵与（日。）品均可交热。从 而可以提出，得唯一性。 S1.4空间曲线 幸正则曲线、曲率("(s川=（化，），n定义见下)、密切圆的定义与平面曲线相同 定理1.12.设r:(a,)→E为弧长参数的正则曲线，且r"(s)处处非零，则： 1.$1,2,3充分靠近时，T(s1),r(s2),r(s3)不共线： 2.123→s时，此三点确定的平面收敛到过r(s0),由(s0),"(s0)张成的平面。 证明.与平面情况类似可知1成立，记P(1,2,)为三点唯一确定的平面，假设其单位法向量(s1,2,g), p为其上一点，考虑函数s→r(s)-卫，a(s1,s2,s3)》,利用两次中值定理可取出((51,2，a)=("(,a)= 0。由于方向不定，可不妨假设{r(),"(a成右手系，有收敛时 r'(s),d）=("(s=0 (r(8)Ar"(s),a)=r(s)r"(s) 空间中，法向量不唯一，当”≠0时，令n=号为主法向量，（句）=（入n()为副法向量，则 有空间中的Frenet标架{r(s:t(s),n(s),b(s)},其中t-n平面称为密切平面，n-b平面称为法平面，tb平面称 为从切平面。 类似定义曲率，对m,求导，定义r=().称为挠率，有品 计算：利用r=-a,与定文可以化出r=s"s,进一步化为一般参数可知，=二， r"2 ∧r" *计算可知，一点处K,T不依赖参数化的选取 挠率的几何意义：W(s训=r(儿，为空间曲线离开密切平面的速度。 定理113.空间正则曲线r=r()曲率处处大于0，则其在某个平面上的充要条件是r=0
一 曲线的几何 耶 证明. 弧长参数下，其为r 0 耨s耩, r00耨s耩张成的有向面积，即x 0 耨s耩y 00耨s耩 − x 00耨s耩y 0 耨s耩，再化为一般参数。 耪常曲率曲线只能为直线耨曲率为耰耩或圆耨曲率非耰耩 证明. 前者由定义易得，后者通过求导可说明p耨s耩 耽 r耨s耩 耫 1 a n耨s耩为常向量，从而得证。 定理 1.11. 设κ 耺 耨a, b耩 → R为连续函数，则存在弧长参数曲线r耨s耩使得s处曲率为κ耨s耩，且若存在两条这 样的曲线r, r耖，则有刚体变换A使得r耖 耽 A ◦ r。 证明. 存在性也即寻找r耨s耩满足 r 0 耨s耩 耽 t耨s耩 t 0 耨s耩 耽 κ耨s耩n耨s耩 耽 κ耨s耩 耰 −耱 耱 耰 t耨s耩 T ，利用微分方程中的聐聩聣聡聲聤存 在唯一性定理，由任给的满足|t耨s0耩| 耽 耱的初值可以解出t，进而解出r。 对于唯一性，r的初值相差平移矩阵，t的初值相差旋转矩阵，而旋转矩阵与 耰 −耱 耱 耰 ! 、 聤 聤s 均可交换，从 而可以提出，得唯一性。 §1.4 空间曲线 耪正则曲线、曲率耨|r 00耨s耩| 耽 ht 0 , ni，n定义见下耩、密切圆的定义与平面曲线相同 定理 1.12. 设r 耺 耨a, b耩 → E3为弧长参数的正则曲线，且r 00耨s耩处处非零，则： 1. s1,2,3充分靠近时，r耨s1耩, r耨s2耩, r耨s3耩不共线； 2. s1,2,3 → s时，此三点确定的平面收敛到过r耨s0耩，由r 0 耨s0耩, r00耨s0耩张成的平面。 证明. 与平面情况类似可知耱成立，记P耨s1, s2, s3耩为三点唯一确定的平面，假设其单位法向量a耨s1, s2, s3耩， p为其上一点，考虑函数s → hr耨s耩 − p, a耨s1, s2, s3耩i，利用两次中值定理可取出hr 0 耨ξ1,2耩, ai 耽 hr 00耨η耩, ai 耽 耰。由于a方向不定，可不妨假设{r 0 耨ξ1耩, r00耨η耩, a}成右手系，有收敛时 hr 0 耨s耩, ai 耽 hr 00耨s耩, ai 耽 耰 hr 0 耨s耩 ∧ r 00耨s耩, ai 耽 |r 0 耨s耩 ∧ r 00耨s耩| 。 耪空间中，法向量不唯一，当r 00耨s耩 6耽 耰时，令n耨s耩 耽 r 00(s) |r 00(s)|为主法向量，b耨s耩 耽 t耨s耩 ∧ n耨s耩为副法向量，则 有空间中的聆聲聥聮聥聴标架{r耨s耩耻t耨s耩, n耨s耩, b耨s耩}，其中t耭n平面称为密切平面，n耭b平面称为法平面，t耭b平面称 为从切平面。 类似定义曲率，对hn, bi求导，定义τ 耨s耩 耽 hn 0 耨s耩, b耨s耩i，称为挠率，有 聤 聤s t n b 耽 耰 κ 耰 −κ 耰 τ 耰 −τ 耰 t n b 。 计算：利用τ 耽 − hn, bi与定义可以化出τ 耨s耩 耽 耨r 0 耨s耩, r00耨s耩, r000耨s耩耩 |r 00| 2 ，进一步化为一般参数可知τ 耽 耨r 0 , r00, r000耩 |r 0 ∧ r 00| 2 ， 而空间曲率可类似算得κ 耽 |r 0 ∧ r 00| |r 0 | 3 。 耪计算可知，一点处κ, τ不依赖参数化的选取 挠率的几何意义：|b 0 耨s耩| 耽 |τ 耨s耩|，为空间曲线离开密切平面的速度。 定理 1.13. 空间正则曲线r 耽 r耨t耩曲率处处大于0，则其在某个平面上的充要条件是τ ≡ 耰
二 曲面的几何 证明.对左推右，设弧长参数化后有r(s)-r(so),)=0恒成立，求导即可知t(s),n(s)亦在此平面，组合 可知r(s)((s,d)=0,从而得证。右推左时，由b(s)=0可知6(s)为常向量，求导可验证r(s)与恒垂直。 (s)符号的意义：离开密切平面的方向与b相同/相反 *反向参数化后，挠率不变 计算得0处展开r(s)可得r(s)=r0)+(s-0)t(0)+(0+0)n(O)+Ozob(0)+o(s),从而 可得Frenet标架下点的坐标。 定理1.14.曲线的孤长、曲率、挠率在刚体运动下不变。 证明.设刚体运动将变为T+x,直接进行计算可发现旋转矩阵T由于行列式为1被合并消去，x在求导中 消去，从而不变。 定理1.15.空间曲线基本定理 设K,T:(a,b)→R连续，且>0，则存在孤长参数曲钱r:(a,)→E3以，r为曲率，挠率，若有两条不 同，则可以通过刚体变换使之重合。 证明。类似平面时的讨论，化为常微分方程控制。 ◇ 对s∈(a,)作为弧长参数的曲线，心(s)ds称为全曲率 令r:0,!→E为正则曲线（闭区间光滑指能光滑延拓到某开区间上），且(O)与r()各阶导数相等，则称 其为闭曲线。若其在0，)上为一 一映射，则称简单闭曲线。 练习。标索平面简单闭曲线的全曲率。 对空间曲线，由定义(9)≥0，由此全曲率必然非负。 Fenchel,1929:任何空间简单闭曲线有k(s)ds≥2r,取等等价于曲线为平面简单凸闭曲线。 Fary,1949/Milnar,.1950:若曲线具非平凡扭结，则(s)ds≥4r。 二曲面的几何 *研究怎样的曲面 曲面可作以下映射：r:DCE2→E3,且满足每个分量函数光滑且ru=(器，器，)，。=（器，器，）线 性无关即外积非零)，则称为正则曲面片。 点r(u0,)处，考虑曲线r(,)与r(,)可得到两个切向量r.(,),(u0,0)。 *曲面上过(o,0)的所有光滑曲线在此处的切向量构成二维线性空间，即为r。,r张成的平面，定义为切 平面。 证明.定义光滑函数t→(u(),》,则曲面上的光滑曲线可写成t→r(u(),),不妨设u(0)=o,0= r(O),求导可知r(uo,o)处的切向量为是ru+器r。 另一个推论：留，需，号不可能同时为0，于是由反函数定理： 不妨设(uo,)处哥非零，则存在(o,o)邻域，其上(u,)→（，）有反函数（红，）→(u,),于是r(u,心)= (r,,2(x,)）a 法向量
二 曲面的几何 耷 证明. 对左推右，设弧长参数化后有hr耨s耩 − r耨s0耩, ai 耽 耰恒成立，求导即可知t耨s耩, n耨s耩亦在此平面，组合 可知τ 耨s耩hb耨s耩, ai 耽 耰，从而得证。右推左时，由b 0 耨s耩 耽 耰可知b耨s耩为常向量，求导可验证r耨s耩与b恒垂直。 τ 耨s耩符号的意义：离开密切平面的方向与b相同耯相反 耪反向参数化后，挠率不变 计算得耰处展开r耨s耩可得r耨s耩 耽 r耨耰耩 耫 耨s − κ(0)2 s 3 6 耩t耨耰耩 耫 耨 κ(0)s 2 2 耫 κ 0 (0)s 3 6 耩n耨耰耩 耫 κ(0)τ(0)s 3 6 b耨耰耩 耫 o耨s 3 耩，从而 可得聆聲聥聮聥聴标架下点的坐标。 定理 1.14. 曲线的弧长、曲率、挠率在刚体运动下不变。 证明. 设刚体运动将p变为pT 耫x，直接进行计算可发现旋转矩阵T由于行列式为耱被合并消去，x在求导中 消去，从而不变。 定理 1.15. 空间曲线基本定理 设κ, τ 耺 耨a, b耩 → R连续，且κ > 耰，则存在弧长参数曲线r 耺 耨a, b耩 → E3以κ, τ为曲率，挠率，若有两条不 同，则可以通过刚体变换使之重合。 证明. 类似平面时的讨论，化为常微分方程控制。 对s ∈ 耨a, b耩作为弧长参数的曲线， R b a κ耨s耩聤s称为全曲率。 令r 耺 聛耰, l聝 → E3为正则曲线耨闭区间光滑指能光滑延拓到某开区间上耩，且r耨耰耩与r耨l耩各阶导数相等，则称 其为闭曲线。若其在聛耰, l耩上为一一映射，则称简单闭曲线。 练习. 探索平面简单闭曲线的全曲率。 对空间曲线，由定义κ耨s耩 ≥ 耰，由此全曲率必然非负。 聆聥聮聣聨聥聬耬耱耹耲耹：任何空间简单闭曲线有 R l 0 κ耨s耩聤s ≥ 耲π，取等等价于曲线为平面简单凸闭曲线。 聆聡聲聹耬耱耹耴耹耯聍聩聬聮聡聲耬耱耹耵耰：若曲线具非平凡扭结，则 R l 0 κ耨s耩聤s ≥ 耴π。 二 曲面的几何 耪研究怎样的曲面？ 曲面可作以下映射：r 耺 D ⊂ E2 → E3，且满足每个分量函数光滑且ru 耽 ∂x ∂u , ∂y ∂u , ∂z ∂u , rv 耽 ∂x ∂v , ∂y ∂v , ∂z ∂v 线 性无关耨即外积非零耩，则称为正则曲面片。 一点r耨u0, v0耩处，考虑曲线r耨u, v0耩与r耨u0, v耩可得到两个切向量ru耨u0, v0耩, rv耨u0, v0耩。 耪曲面上过r耨u0, v0耩的所有光滑曲线在此处的切向量构成二维线性空间，即为ru, rv张成的平面，定义为切 平面。 证明. 定义光滑函数t → 耨u耨t耩, v耨t耩耩，则曲面上的光滑曲线可写成t → r耨u耨t耩, v耨t耩耩，不妨设u耨耰耩 耽 u0, v0 耽 v耨耰耩，求导可知r耨u0, v0耩处的切向量为du dt ru 耫 dv dt rv。 另一个推论：∂(x,y) ∂(u,v) , ∂(y,z) ∂(u,v) , ∂(z,x) ∂(u,v)不可能同时为耰，于是由反函数定理： 不妨设耨u0, v0耩处∂(x,y) ∂(u,v)非零，则存在耨u0, v0耩邻域，其上耨u, v耩 → 耨x, y耩有反函数耨x, y耩 → 耨u, v耩，于是r耨u, v耩 耽 耨x, y, z聾耨x, y耩耩。 法向量
二曲面的几何 r.Ar,定义为法向量，与切平面垂直，{r:ru,r,rAr,小构成（未必正交的）标架 对光滑参数变换（ū，）→(u,),记J= 货则同=（份）计元A元=dA 由此不同参数化下法向量可能反向。 S2.1第一基本形式 iE=(ru:Tu),F=(Tu:re),G=(ru;ro): 1.曲面上曲线的长度 记r=r(u,),r()=r(u(),v() 曲线长度s(a)=6r'(t)dt 而s(@)=V,,代入可发现根号内为E+2F+G好 其中T,S代表S在P处的切平面。 3计可验证，在不阴参数化下，（信日月=（任）户 定义I=Edudu+Fdu⑧d+Fdu②du+Gdu②du,可发现其在坐标变换下保持不变，称为第一基本 形式。 *它是一个由一形式d,d张量积得到的二形式 定义说明：对f:S→R曲面上的光滑函数（可看作对山，光滑），可定义一形式 ao:,s→R→doo=re 其中r(=r(u),)满足r(0)=r(0)= 其具有线性性，事实上只与严，v有关，与r()选取无关。 于是，r(u,)→u的映射（不妨记为，有du(r.)p)=是引lw=nu(r(u,o》=l,du(r)=0,同理d(r) 0,du(r)=1 *第一基本形式在合同变换下不变 面积：设r:D→E3为正则曲面片，其面积定义为 raAr尸=u,ra〉rr)-(r,r 曲率：高斯曲率定义为K(p)=A,其中na,n代表ruAr归一化后对u,v偏导，由于两者平行可作商。 *验证可知面积、曲率均不依赖参数选取，且在合同变换下不变 例：计算(u,,fu,)的高斯曲率 ru=(1.0,fu),r =(0,1,f)Ar=(-fu,-fo:1) -fv n=++行++行++ fuufve -fae K)=层++ 参数变换
二 曲面的几何 耸 耪ru ∧ rv定义为法向量，与切平面垂直，{r耻 ru, rv, ru ∧ rv}构成耨未必正交的耩标架 对光滑参数变换耨耖u, v耖耩 → 耨u, v耩，记J 耽 ∂u ∂u¯ ∂v ∂u¯ ∂u ∂v¯ ∂v ∂v¯ ! ，则 ru rv ! 耽 J ru rv ! ，计算得ru ∧ rv 耽 聤聥聴耨J耩ru ∧ rv， 由此不同参数化下法向量可能反向。 §2.1 第一基本形式 记E 耽 hru, rui, F 耽 hru, rvi, G 耽 hrv, rvi： 耱耮 曲面上曲线的长度 记r 耽 r耨u, v耩, r耨t耩 耽 r耨u耨t耩, v耨t耩耩 曲线长度s耨a耩 耽 R a 0 |r 0 耨t耩|聤t 而s 0 耨a耩 耽 p hr 0耨t耩, r0耨t耩i，代入可发现根号内为Eu2 t 耫 耲F utvt 耫 Gv2 t 耲耮 切向量ν 耽 λru 耫 µrv, ω 耽 λr耖 u 耫 耖µrv，则hν, ωi 耽 λ µ E F F G! λ耖 µ耖 ! 构成TpS × TpS → R的映射， 其中TpS代表S在P处的切平面。 耳耮 计算可验证，在不同参数化下， E耖 F耖 F耖 G耖 ! 耽 J E F F G! J T。 定义I 耽 E聤u ⊗ 聤u 耫 F聤u ⊗ 聤v 耫 F聤v ⊗ 聤u 耫 G聤v ⊗ 聤v，可发现其在坐标变换下保持不变，称为第一基本 形式。 耪它是一个由一形式聤u, 聤v张量积得到的二形式 定义说明：对f 耺 S → R曲面上的光滑函数耨可看作对u, v光滑耩，可定义一形式 聤f耨p耩 耺 TpS → R, v → 聤f耨v耩耨p耩 耺耽 聤 聤t t=0 f耨r耨t耩耩 其中r耨t耩 耽 r耨u耨t耩, v耨t耩耩满足r耨耰耩 耽 p, r0 耨耰耩 耽 v。 其具有线性性，事实上只与p, v有关，与r耨t耩选取无关。 于是，r耨u, v耩 → u的映射耨不妨记为u耩，有聤u耨ru耩耨p耩 耽 d du u=u0 u耨r耨u, v0耩耩 耽 耱，聤u耨rv耩 耽 耰，同理聤v耨ru耩 耽 耰, 聤v耨rv耩 耽 耱。 于是，对任何V 耽 λru 耫 µrv, W 耽 λr耖 u 耫 耖µrv，即有I耨V, W耩 耽 λ µ E F F G! λ耖 µ耖 ! 。 耪第一基本形式在合同变换下不变 面积：设r 耺 D → E3为正则曲面片，其面积定义为RR D |ru ∧ rv|聤u聤v 耪|ru ∧ rv| 2 耽 hru, rui hrv, rvi − hru, rvi 2 曲率：高斯曲率定义为K耨p耩 耽 nu∧nv ru∧rv ，其中nu, nv代表ru ∧rv归一化后对u, v偏导，由于两者平行可作商。 耪验证可知面积、曲率均不依赖参数选取，且在合同变换下不变 例：计算耨u, v, f耨u, v耩耩的高斯曲率。 ru 耽 耨耱, 耰, fu耩, rv 耽 耨耰, 耱, fv耩 ⇒ ru ∧ rv 耽 耨−fu, −fv, 耱耩 n 耽 p −fu f 2 u 耫 f 2 v 耫 耱 , p −fv f 2 u 耫 f 2 v 耫 耱 , 耱 p f 2 u 耫 f 2 v 耫 耱 K耨p耩 耽 fuufvv − f 2 uv 耨f 2 u 耫 f 2 v 耫 耱耩2 参数变换
二 曲面的几何 由，r,不共线，对某点附近可参数化使得r(u,)=(u,t,f(u,》,下面不妨考虑(0,0)处高斯曲率： 在(0,0)处切平面上取标准正交基e1,e2,记 h(u,)=(r(u,)-r(0,0),n(0,0》 a(u,)=(r(u,w)-r(0,0)-h(u,)n(0,0),e) u,)=r(u,)-r(0,0)-h(u,)n0,0),e2) 可以发现(u,)=(a,元，h)是r在平移(0,0，f0,0)至(0,0,0)后将切平面转到xy平面的结果。 计算知哥=(ru A re,e1Ae2）≠0，局部可存在(a,)=(a,元，j(a,)。由于h(0,0)=hu(0,0)=0, 利用复合函数求导可知后=后 =0,从而R(0,0)=a 另一方面，由于此时切平面己经在xy平面上，考虑适当的绕轴的旋转，也即成为(a,可，了。R(a,),这 icos8-0sin8=元 usin9+tcos9=元 f(u.)=f(i,) 计算可知a=了COs28+(订o-了aa)si血9cos9,从而可选取合适的角度使得fa=0。 于是，经过合适的合同变换与参数变换，正则曲面片在一点处周围总可以写成(u,)=(u,u,∫(u,)使 得K(uo,w)=ujm 不妨设这点为(0,0)，此时由于f(0,0)=0,计算可得u-z平面上截线(0,0)处带符号曲率为f(0,0),u z平面上则为fm(0,0). *一般做不到参数,使得r,点点标准正交，除非曲面“平坦” 定义2.1.法曲率 取0点处任何单位切向量与单位法向量，将张成平面对曲面的戴线参数化孤长参数、正确方向)使得O点 切向量为巴，则此时的定向{O,}对应藏得的带符号曲率K(侧)称为O点处单位切向量的法曲率。 *由于取相反的时参数化方向与定向同时反向，K(-)=K(包) 一点处参数化使得K(o,to)=厂m后，考虑任何v=cos Or十sinr,可计算发现以u一n为平面标架 时r()=(，化f(tcos8,tsim8)即为所需的参数化曲线，此时Kn(o)即为ucos20+了esim20=Kn(e1)cos20+ 定理2.2.Elr:若Kn()不全相等，则不区分士u的意义下存在唯一方向1使得k1=Kn()达到最大值： 唯一方向使得2=Kn()达到最大值，且两方向相互垂直。若u与成角度日，则K()=c0s2队十 sin20k2。 §2.2第二基本形式 考虑r(u,)与一点P=r(uo,to,取过P点的一条弧长参数化的曲线r(s)=r(u(s),(s》 考虑rs,n)=ru,n)+2re,川u。+(,n)=II(,V),其中V=rn4。+r,而I1即为第二 基本形式，由L=(rw,n),M=(ruu,n),N=(r,n决定。 *II=Ldu⑧du+Mdu⑧du+Md⑧du+Ndudu 对P一切v-+有-咖-（亿(C 面对v=从+即=6红+，有cw門=(6月（低州）（付第=套未影式是对带双缕性 的 *当V为单位切向量时，K(W)=II(化，V)即为沿V的法曲率
二 曲面的几何 耹 由ru, rv不共线，对某点附近可参数化使得r耨u, v耩 耽 耨u, v, f耨u, v耩耩，下面不妨考虑耨耰, 耰耩处高斯曲率： 在耨耰, 耰耩处切平面上取标准正交基e1, e2，记 h耨u, v耩 耽 hr耨u, v耩 − r耨耰, 耰耩, n耨耰, 耰耩i u耖耨u, v耩 耽 hr耨u, v耩 − r耨耰, 耰耩 − h耨u, v耩n耨耰, 耰耩, e1i v耖耨u, v耩 耽 hr耨u, v耩 − r耨耰, 耰耩 − h耨u, v耩n耨耰, 耰耩, e2i 可以发现r耖耨u, v耩 耽 耨耖u, v, h 耖 耩是r在平移耨耰, 耰, f耨耰, 耰耩耩至耨耰, 耰, 耰耩后将切平面转到xy平面的结果。 计算知∂(¯u,v¯) ∂(u,v) 耽 hru ∧ rv, e1 ∧ e2i 6耽 耰，局部可存在r耖耨耖u, v耖耩 耽 耨耖u, v, 耖 耖f耨耖u, v耖耩耩。由于hu耨耰, 耰耩 耽 hv耨耰, 耰耩 耽 耰， 利用复合函数求导可知 耖fu¯ 耽 耖fv¯ 耽 耰，从而K耖 耨耖r耨耰, 耰耩耩 耽 耖fu¯u¯ 耖fv¯v¯ − 耖f 2 u¯v¯。 另一方面，由于此时切平面已经在xy平面上，考虑适当的绕z轴的旋转，也即成为耨耖u, v, 耖 耖f ◦ Rθ耨耖u, v耖耩耩，这 时 u聾 聣聯聳 θ − v聾 聳聩聮 θ 耽 耖u u聾 聳聩聮 θ 耫 聾v 聣聯聳 θ 耽 耖v 耖f耨耖u, v耖耩 耽 聾f耨聾u, v聾耩 计算可知 聾fu˜v˜ 耽 耖fu¯v¯ 聣聯聳 耲θ 耫 耨 耖fv¯v¯ − 耖fu¯u¯耩 聳聩聮 θ 聣聯聳 θ，从而可选取合适的角度使得 聾fu˜v˜ 耽 耰。 于是，经过合适的合同变换与参数变换，正则曲面片在一点处周围总可以写成r耨u, v耩 耽 耨u, v, f耨u, v耩耩使 得K耨u0, v0耩 耽 fuufvv。 不妨设这点为耨耰, 耰耩，此时由于fv耨耰, 耰耩 耽 耰，计算可得v − z平面上截线耨耰, 耰耩处带符号曲率为fvv耨耰, 耰耩，u − z平面上则为fuu耨耰, 耰耩。 耪一般做不到参数u, v使得ru, rv点点标准正交，除非曲面“平坦” 定义 2.1. 法曲率 取O点处任何单位切向量v与单位法向量n，将张成平面对曲面的截线参数化(弧长参数、正确方向)使得O点 切向量为v，则此时的定向{O耻 v, n}对应截得的带符号曲率Kn耨v耩称为O点处单位切向量的法曲率。 耪由于取相反的v时参数化方向与定向同时反向，Kn耨−v耩 耽 Kn耨v耩 一点处参数化使得K耨u0, v0耩 耽 fuufvv后，考虑任何v 耽 聣聯聳 θru 耫 聳聩聮 θrv，可计算发现以v − n为平面标架 时r耨t耩 耽 耨t, f耨t 聣聯聳 θ, t聳聩聮 θ耩耩即为所需的参数化曲线，此时Kn耨v耩即为fuu 聣聯聳2 θ耫fvv 聳聩聮2 θ 耽 Kn耨e1耩 聣聯聳2 θ耫 Kn耨e2耩 聳聩聮2 θ。 定理 2.2. Euler: 若Kn耨v耩不全相等，则不区分±v的意义下存在唯一方向v1使得k1 耽 Kn耨v1耩达到最大值； 唯一方向v2使得k2 耽 Kn耨v2耩达到最大值，且两方向相互垂直。若v与v1成角度θ，则Kn耨v耩 耽 聣聯聳2 θk1 耫 聳聩聮2 θk2。 §2.2 第二基本形式 考虑r耨u, v耩与一点P 耽 r耨u0, v0耩，取过P点的一条弧长参数化的曲线r耨s耩 耽 r耨u耨s耩, v耨s耩耩。 考虑hrss, ni 耽 hruu, ni u 2 s 耫 耲 hruv, ni usvs 耫 hrvv, ni v 2 s 耽 II耨V, V 耩，其中V 耽 ruus 耫 rvvs，而II即为第二 基本形式，由L 耽 hruu, ni, M 耽 hruv, ni, N 耽 hrvv, ni决定。 耪II 耽 L聤u ⊗ 聤u 耫 M聤u ⊗ 聤v 耫 M聤v ⊗ 聤u 耫 N聤v ⊗ 聤v 对P点任一切向量V 耽 λru 耫 µrv，有Kn耨V 耩 耽 hrss, niP 耽 λ µ L M M N ! λ µ ! 。 而对V 耽 λru 耫 µrv, W 耽 ξru 耫 ηrv，有II耨V, W耩 耽 λ µ L M M N ! ξ η ! ，第二基本形式是对称双线性 的。 耪当V 为单位切向量时，Kn耨V 耩 耽 II耨V, V 耩即为沿V 的法曲率