中国地质大学（武汉）：《数字信号处理》课程教学资源（课件讲稿）第二章 z变换

X(e)F4--1V4 1/4<<4,求其z反变换 1 z"-dc∈(R,R,） 其中：Fa) 2n+1 (4-z(z-1/4)° (4-z)(z-1/4) 2≥-1时 1-4 F()在围线c内只有一阶极点z tjlm[=] x(h)=Res[F(z】1 4 Re[z 4-n 15

2 ( ) 1/4< 4 (4 )( 1/ 4) z X z z z z     例1： ， ，求其z反变换Re[ ]z j z Im[ ] 0 C 1/ 4 4 2 1 1 ( ) ( , ) 2 (4 )( 1/ 4) n x x c z x n z dz c R R  j z z        解：  2 1 1 ( ) (4 )( 1/ 4) (4 )( 1/ 4) n z z n F z z z z z z         其中： 1 1 ( ) 4 n F z c z    当 时 在围线 内只有一阶极点 1 4 ( ) Re [ ( )] z x n s F z   1 1 4 1 ( ) 4 (4 )( 1/ 4) n z z z z z             4 15 n 

当n<-1时 F(e)在围线c内有一阶极点z=。和-(n+1)阶极点z=0 4 而围线c外只有一阶极点z=4,且F(z)的分母多项式 阶次高于分子多项式阶次两次以上 (n)=-Res[F(z)]:=4 jIm[z] 4n+2 15 Relz n m=5 4n+2 (n+1)+,(-n-2) 15

1 1 ( ) ( 1) 0 4 n F z c z n z      当 时 在围线 内有一阶极点 和- 阶极点 4 ( ) Re [ ( )] z x n s F z         1 4 4 4 1/ 4 n z z z z z              2 4 15 n  而围线 外只有一阶极点 ，且 的分母多项式 c z=4 F(z) 阶次高于分子多项式阶次两次以上 2 4 4 ( ) ( 1) ( 2) 15 15 n n x n u n u n         Re[ ]z j z Im[ ] 0 C 1/ 4 4

例2：X(2)= 加 ,>4,求其z反变换 tjlm[z] 解：…收敛域是圆的外部 .x(n)是右边序列 又1imX(z)=-1, Re[z] z→00 即X(z)在Z=o处收敛 .x(n)是一个因果序列，即x(n)=0,n<0 同样当n<0时，由F2)- 在c外无 (4-z(z-1/4) 极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由 围线外极点留数为0可得x(n)=0

2 ( ) 4 (4 )( 1/ 4) z X z z z z     例2： ， ，求其z反变换Re[ ]z j z Im[ ] 0 C 4 1/ 4 解： 收敛域是圆的外部 lim ( ) 1 X(z) z= z X z     又 ， 即 在 处收敛    x n x n n ( ) ( ) 0 0 是一个因果序列，即 ， x n( )是右边序列 1 0 ( ) c (4 )( 1/ 4) 0 ( ) 0 n z n F z z z x n       同样当 时，由 在 外无 极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由 围线外极点留数为 可得

≥0时 F(a) jIm[z] (4-z)(z-1/4) 在围线c内有一阶极点z=4, 1-4 0 Re[=] n)=Res[F(z)】=4+Res[F(e)】l4 (z-4) (2- 54”-4)） 思考：n=0,1时，F(Z) am）=5（4”-4n0 在围线c外也无极点， 为何x(n)≠0

当 时 n  0 1 ( ) (4 )( 1/ 4) n z F z z z     1 4 4 在围线 内有一阶极点 ， c z  Re[ ]z j z Im[ ] 0 C 4 1/ 4 4 1/ 4 ( ) Re [ ( )] Re [ ( )] z z x n s F z s F z     1 1 1 4 4 1 ( 4) ( ) 1 1 4 (4 )( ) (4 )( ) 4 4 n n z z z z z z z z z z                                 1 2 (4 4 ) 15   n n   1 2 ( ) (4 4 ) ( ) 15 n n x n u n      思考：n=0,1时，F(z) 在围线c外也无极点， 为何 x n( ) 0 

例3：X(Z)= 0-e了d求反变换 1-a2 鑫we-c 1-a2 z”-dz 其中：F()= 1-a2 n- (a2-1)z” 1-az)1-az1） a(z-a")(z-a) c为X(z)收敛域内闭合围线 而题中未给出收敛域，根据X(z)的极点z=a,a1 有三种可能的收敛域： )>a 2)<a4 3)la4<<a

2 1 1 ( ) 1 (1 )(1 ) a X z a az az       例3： ， ，求z反变换 2 1 1 1 1 ( ) 2 (1 )(1 ) n c a x n z dz  j az az       解：  2 2 1 1 1 1 ( 1) ( ) (1 )(1 ) ( )( ) c X(z) n a a z n F z z az az a z a z a            其中： 为 收敛域内闭合围线 1 X z z a a ( ) ,  而题中未给出收敛域，根据 的极点  有三种可能的收敛域： 1 1 1) 2) 3) z a z a a z a      