中国地质大学（武汉）：《数字信号处理》课程教学资源（课件讲稿）第四章 快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform（FFT）

第四章快速傅里叶变换 FFT:Fast Fourier Transform 1965年，Cooley,Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》

第四章 快速傅里叶变换 FFT: Fast Fourier Transform 1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》

一、直接计算DFT的问题及改进途径 N点有限长序列x(n) DFT: X()=DFT[x(m】-∑x(m)WRv(k) n=0 IDFT: Dr7T2g”Rw

一、直接计算DFT的问题及改进途径 1 0 : ( ) [ ( )] ( ) ( ) N nk N N n DFT X k DFT x n x n W R k      1 0 : 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) N nk N N k IDFT x n IDFT X k X k W R n N       N x n 点有限长序列 ( )

运算量 复数乘法 复数加法 一个X) N N-1 o时 N个XE) N2 N(N-1) n=0 (N点DFT) (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+cb) 实数乘法 实数加法 一次复乘 4 2 一次复加 2 一个X() 4N 2N+2(N-1)=2(2N-1) N个X() 4N2 2N(2N-1) (N点DFT)

运算量 复数乘法 复数加法 一个X(k) N N – 1 N个X(k) (N点DFT) N 2 N (N – 1) 实数乘法 实数加法 一次复乘 4 2 一次复加 2 一个X (k) 4N 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) N个X (k) (N点DFT) 4N 2 2N (2N – 1) 1 0 ( ) N nk N n x n W    a jb c jd ac bd j ad cb            

WW的特性， e 对称性（()'=W=W9-=-) W.W成W.W 周期性 WWNmAWN) 可约性W=WwW=W 2π 2πN mnk mN e=em=-1 特殊点：W=1W2=-1W+w2)=-W

nk WN 的特性 * ( ) ( ) ( ) nk nk N n k n N k W W W W N N N N    对称性    ( ) ( ) nk N n k n N k W W W N N N   周期性   nk mnk 可约性 W W N mN  / / nk nk m W W N N m  0 / 2 ( / 2) 1 1 N k N k W W W W N N N N  特殊点：      2 j nk nk N W e N    Nk nk W W N N    nN nk W W N N    2 j mnk mN e    2 2 1 N j N j e e         

FFT算法的基本思想： 利用DFT系数的特性，合并DFT运算中的某些项， 把长序列DFT→短序列DFT,从而减少其运算量。 FFT算法分类： 时间抽选法 DIT:Decimation-In-Time 频率抽选法 DIF:Decimation-In-Frequency

FFT算法分类:  时间抽选法 DIT: Decimation-In-Time  频率抽选法 DIF: Decimation-In-Frequency FFT DFT DFT DFT DFT  算法的基本思想： 利用 系数的特性，合并 运算中的某些项， 把长序列 短序列 ，从而减少其运算量