微分流形上积分学—流形上 Stokes公式 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 11单位1分解 引理1.1.设U,VcRm为开集,且VcU,则彐(x)∈6(Rm),满足: supp o(a)C U, (c)≡1 vm∈V, (x)∈[0,1,x∈Rm 如图1所示 图1:单位1分解示意 证明由于vcU,则有d(V,U)=:6>0.,故可作 Vg全{x∈Uld(x,V)≤e},ε≤6, 以及 pe(a): =je*Xv (a)e/ je(y-x)xv (y)dy y (x) )x、)ky
微分流形上积分学 微分流形上积分学——流形上 Stokes 公式 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 单位 1 分解 引理 1.1. 设 U, V ⊂ R m 为开集, 且 V ⊂ U, 则 ∃ ϕ(x) ∈ C ∞ c (R m), 满足: supp ϕ(x) ⊂ U, ϕ(x) ≡ 1, ∀ x ∈ V, ϕ(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ R m. 如图1所示. X1 Xα Xm O U V Vε V2ε εε X1 Xm y O V Vε U 1 图 1: 单位 1 分解示意 证明 由于 V ⊂ U, 则有 d(V , U) =: δ > 0, 故可作 V ε , {x ∈ U|d(x, V ) 6 ε}, ε ≪ δ, 以及 ϕε(x) := jε ∗ χV ε (x) , ∫ Rm jε(y − x)χV ε (y)dy = ∫ Rm 1 εm j ( y − x ε ) χV ε (y)dy = ∫ Bε(x) 1 εm j ( y − x ε ) χV ε (y)dy, 1
微分流形上积分学—一流形上 Stokes公式 谢锡麟 此处xv(y)表示集合Ve的特征函数,jy)∈(Rm)满足 (y)∈0,1,vy∈Rm,jy)dy=1 由微积分,易见e(x)∈Ce(Rm)满足 supp oe(a)= V2E CU v∈V c(x)∈[0,1], Va∈Rmn 定理12(单位1分解( Partition of Unity).设McRm为有界闭集(紧致集),{Ul} Rm为M的任意一个有限开覆盖,则彐{01(x)}a1c6(m)满足 1. supp Bi(e)C Ui, i=l,.,N 62(x)∈0.1,c∈M, 3.∑(x)=1,Vx∈M i=1 证明对x∈M,可作B26-(x)cU,i=1,……,N,自然有 Mc∪B(x)c∪B(x)c∪U c∈M 由于McRm为有界闭集,按有限覆盖定理彐{B(ax,)}=1,满足 Mc∪B3(x)c∪B251(x)c∪U 故彐{V}1为M的开覆盖,满足v;cU,i=1,…,N.按引理11,对每一对{V,Uh},i= 1,…,N,可作1(x)∈(Rm),满足 supp oi(e)C Ui; o(x)≡1 vm∈V (c)∈o Va∈R 故可作 01()全 pi(a ∈6(R) oi(ar) 现有∑(x)>0,V∈M,满足: ①具体的函数形式可参考: Zorich. Mathematical Analysis,vol.2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,2004 Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol 2. Beijing: Beijing World Pub-
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 此处 χV ε (y) 表示集合 V ε 的特征函数, j(y) ∈ C ∞ c (R m) ➀ 满足 j(y) ∈ [0, 1], ∀ y ∈ R m, ∫ Rm j(y)dy = 1. 由微积分, 易见 ϕε(x) ∈ C∞ c (R m) 满足 supp ϕε(x) = V 2ε ⊂ U; ϕε(x) ≡ 1, ∀ x ∈ V ; ϕε(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ R m. 定理 1.2 (单位 1 分解 (Partition of Unity)). 设 M ⊂ R m 为有界闭集 (紧致集), {Ui} N i=1 ⊂ R m 为 M 的任意一个有限开覆盖, 则 ∃ {θi(x)} N i=1 ⊂ C ∞ c (R m) 满足: 1. supp θi(x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 2. θi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ M, 3. ∑ N i=1 θi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ M. 证明 对 ∀ x ∈ M, 可作 B2δx (x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 自然有 M ⊂ ∪ x∈M Bδx (x) ⊂ ∪ x∈M B2δx (x) ⊂ ∪ N i=1 Ui . 由于 M ⊂ R m 为有界闭集, 按有限覆盖定理 ∃ {Bδj (xj )} N˜ j=1, 满足 M ⊂ ∪ N˜ j=1 Bδj (xj ) ⊂ ∪ N˜ j=1 B2δj (xj ) ⊂ ∪ N i=1 Ui . 故 ∃ {Vi} N i=1 为 M 的开覆盖, 满足 V i ⊂ Ui , i = 1, · · · , N. 按引理1.1, 对每一对 {Vi , Ui}, i = 1, · · · , N, 可作 ϕi(x) ∈ C ∞ c (R m), 满足: supp ϕi(x) ⊂ Ui ; ϕi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ Vi ; ϕi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ R m. 故可作 θi(x) , ϕi(x) ∑ N j=1 ϕj (x) ∈ C ∞ c (R m), i = 1, · · · , N, 现有 ∑ N j=1 ϕj (x) > 0, ∀ x ∈ M, 满足: ➀ 具体的函数形式可参考: Zorich. Mathematical Analysis, Vol.2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004; Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol.2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999. 2
微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 1. supp Bi(e)C Ui, i=1 2.61(x)∈[0,1,x∈M 3.∑(x)=1,vx∈M 基于相对于地图册的单位1分解,一方面可将流形上的微分学及积分学处理限制于某个坐 标卡所覆盖的流形上的一部分区域;另一方面,可综合各个坐标卡所覆盖的区域至整个流形.基 于单位1分解,可将??,??中按坐标卡定义的流形上第一类,第二类积分推广至整个流形 1.2流形上的 Stokes公式 m+1 微分流形∑ Ug=o YR+1) Ua Rm+1中方块Lm+1 U∩∑ Rm+中方块 a (ana)(Uan罗) φa(Ua∩∑) 图2:流形上 Stokes公式示意 定理13(流形上的 Stokes公式).设u(X)是Rm+1中m维可定向曲面/流形∑上的 (m-1)-形式,则有 ∂∑的定向由流形M诱导 证明如图2所示,设{(xa)∈6x(Lm+1;Ua=:a(Lm+1)}a=1为∑cRm+1的一个地图 oA: Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol 2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 199
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 1. supp θi(x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 2. θi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ M, 3. ∑ N i=1 θi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ M. 基于相对于地图册的单位 1 分解, 一方面可将流形上的微分学及积分学处理限制于某个坐 标卡所覆盖的流形上的一部分区域; 另一方面, 可综合各个坐标卡所覆盖的区域至整个流形. 基 于单位 1 分解, 可将??, ??中按坐标卡定义的流形上第一类, 第二类积分推广至整个流形➀. 1.2 流形上的 Stokes 公式 X1 Xm Xm+1 O 微分流形 Σ Uα ∩ Σ Uβ ∩ Σ Uβ ∩ ∂Σ Uα = ϕα(Im+1) Uβ = ϕβ(Im+1) ∂Σ x 1 α xm α xm+1 α ϕ −1 α (Uα ∩ Σ) R m+1中方块 Im+1 O x 1 β xm β x m+1 β ϕ −1 β ϕ (Uα ∩ Σ) −1 β (Uα ∩ ∂Σ) R m+1 中方块 Im+1 O 图 2: 流形上 Stokes 公式示意 定理 1.3 (流形上的 Stokes 公式). 设 ω(X) 是 R m+1 中 m 维可定向曲面/流形 Σ 上的 (m − 1)-形式, 则有 (−1)m ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω, ∂Σ 的定向由流形 M 诱导. 证明 如图2所示, 设 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1;Uα =: ϕα(Im+1))} N α=1 为 Σ ⊂ R m+1 的一个地图 ➀ 可参考: Dubrovin, Fomenko, Novikov.Modern Geometry-Methods and Applications, Vol.2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999. 3
微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 册.设{6a(X)∈(E;R)}△=1为相对于∑的有限开覆盖{Ua}△=1的一个单位1分解,则有 Ba(x)w(x) Ba(Xw(x) X a=1 按积分的线性性,仅需证明成立关系式 dw a∑∩Ua ∑∩Ua 再由 Po(dwa)= d(iowa), a(enua ∑∩U 故需证 d(owwa) Da(aena) 中a(EnUa) 以下分两种情况考虑: 1.当∑∩Ua=时,自然有 (∑nUa) 设a的φ拉回具有如下形式 1x1∧……Ad∧…,∧dxm 式中a(x)lann=0.由 d(o)=∑0(xn) drsn dron…AdaA…Adra . (aa)dr 有 (-1)bsa)、山 drl∧…∧daA…∧dxa i=1 m Ori(aa)dz 2∧ 上式中最后的等式是由于 ua,i(xa,…,xa=±1,…,xa)=0
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 册. 设 {θα(X) ∈ C ∞(Σ; R)} N α=1 为相对于 Σ 的有限开覆盖 {Uα} N α=1 的一个单位 1 分解, 则有 ω(X) = (∑ N α=1 θα(X) ) ω(X) = ∑ N α=1 θα(X)ω(X) =: ∑ N α=1 ωα(X). 按积分的线性性, 仅需证明成立关系式 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ Σ∩Uα dωα, α = 1, · · · , N 再由 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα, ∫ Σ∩Uα dωα = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) ϕ ∗ α(dωα) = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα), 故需证 ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα), α = 1, · · · , N. 以下分两种情况考虑: 1. 当 ∂Σ ∩ Uα = ∅ 时, 自然有 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα = 0. 设 ωα 的 ϕ ∗ α 拉回具有如下形式: ϕ ∗ αωα = ∑m i=1 ωα,i(xα)dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α , 式中 ωα,i(xα) ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) = 0. 由 d(ϕ ∗ αωα) = ∑m i=1 ∂ωα,i ∂xs α (xα)dx s α ∧ dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α = ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx 1 α ∧ · · · ∧ dx m α , 有 ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα) = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα)=Im ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx 1 α ∧ · · · dx m α = ∑m i=1 (−1)i−1 ∫ Im−1 dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α [∫ Im ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx i α ] = ∑m i=1 (−1)i−1 ∫ Im−1 [ ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = 1, · · · , xm α ) − ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = −1, · · · , xm α ) ] dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α = 0. 上式中最后的等式是由于 ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = ±1, · · · , xm α ) = 0, i = 1, · · · , m. 4
微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 当O∑∩UB≠时,有 pWb 0)dx∧…Adr φa(∑nUa) drg d(gwb) (aB)dxB B (∑∩Ua) (xa)dbA…∧d (-1)an(x)drA…∧drB, 上式的第一项可以计算为 (X)=2t)10ua (C.)个3[-2a) ua(xb,…,x=1,…,) 图)drb 最后的等式由于 ( B)=0 第二项为 (x)drA……∧drB °a2(nUa)=l dr吉A…Adm-1(-1y 0)]drbA…∧dr =0drbA…Adra-1 1,xB=0dxA…Ad
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 2. 当 ∂Σ ∩ Uβ ̸= ∅ 时, 有 ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ϕ ∗ βωβ = ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ∑m i=1 ωβ,i(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ d ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β = ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β , ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ) d(ϕ ∗ βωβ) = ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β = m∑−1 i=1 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β + ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)m−1 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β , 上式的第一项可以计算为 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β , i = 1, · · · , m − 1 = (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ∫ 1 0 ) dx 1 β ∧ · · · ∧ ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β [∫ 1 −1 (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx i β ] = (−1)i−1 (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ∫ 1 0 ) [ ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = 1, · · · , xm β ) − ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = −1, · · · , xm β ) ] dx 1 β ∧ · · · ∧ d ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β = 0. 最后的等式由于 ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = ±1, · · · , xm β ) = 0, i = 1, · · · , m − 1. 第二项为 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)m−1 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β = (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β [ (−1)m−1 ∫ 1 0 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx m β ] = (−1)m−1 (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) [ ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 1) − ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)] dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β = (−1)m (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β = (−1)m ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β . 5