微分流形上微分学——流形上的微分运算-Lie导数 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 知识要素 .1同态扩张 定义1.1(同态扩张),.设在流形上存在两个区域V以及V,两者之间存在微分同胚;具体可 理解为V的局部坐标{∈4}=1同V的局部坐标{x}m1之间有微分同胚由此可以定义以下 两种运算,推前和拉回 F 3X+FX∈TxM, 此处(FX)(g)X(goF)∈R,g∈6(V); F*:TxM36→F"e∈TM, 此处(F"0)(X)0(FX)∈R,VX∈TM 进一步,可定义 F:"TM3更F更∈"TrM, 此处,对v61,…,O∈TxM;X1,…,Xs∈TM,有 F更(61 X)全更(F 以及 F*:⑧"TxM3更口F"重∈TcEM, 此处,对v01,…,0,∈TM;x,…,x,∈TM,有 F更(61,…,日 s)全更(F F Xs 同态扩张可理解为流形上初始构型及参数构型之间有微分同胚,由此可基于初始构型的坐标 信息确定当前构型中新的基以及基于当前构型中的坐标信息确定初始构型中的新的基①,以此实 现张量的同态扩张(推前或者拉回),如图??所示 ①这种类型的基在连续介质有限变形理论中称为“随体基
微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形上的微分运算 —Lie 导数 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 同态扩张 定义 1.1 (同态扩张). 设在流形上存在两个区域 ◦ V 以及 t V , 两者之间存在微分同胚; 具体可 理解为 ◦ V 的局部坐标 {ξ A} m A=1 同 t V 的局部坐标 {x i} m i=1 之间有微分同胚. 由此可以定义以下 两种运算, 推前和拉回: F∗ : TξM ∋ ◦ X 7→ F∗ ◦ X ∈ TxM, 此处 (F∗ ◦ X)(g) , ◦ X(g ◦ F) ∈ R, ∀ g ∈ C ∞( t V ); F ∗ : T ∗ xM ∋ θ 7→ F ∗θ ∈ T ∗ ξ M, 此处 (F ∗θ)( ◦ X) , θ(F∗ ◦ X) ∈ R, ∀ ◦ X ∈ TξM. 进一步, 可定义 F∗ : ⊗ r,sTξM ∋ ◦ Φ 7→ F∗ ◦ Φ ∈ ⊗r,sTxM, 此处, 对 ∀ θ1, · · · , θr ∈ T ∗ xM; X1, · · · , Xs ∈ TxM, 有 F∗ ◦ Φ(θ1, · · · , θr, X1, · · · , Xs) , ◦ Φ(F ∗θ1, · · · , F∗θr, F −1 ∗ X1, · · · , F −1 ∗ Xs), 以及 F ∗ : ⊗ r,sTxM ∋ Φ 7→ F ∗Φ ∈ ⊗r,sTξM, 此处, 对 ∀ ◦ θ1, · · · , ◦ θr ∈ T ∗ ξ M; ◦ X1, · · · , ◦ Xs ∈ TξM, 有 F∗ ◦ Φ( ◦ θ1, · · · , ◦ θr, ◦ X1, · · · , ◦ Xs) , ◦ Φ(F −∗ ◦ θ1, · · · , F −∗ ◦ θr, F∗ ◦ X1, · · · , F∗ ◦ Xs). 同态扩张可理解为流形上初始构型及参数构型之间有微分同胚, 由此可基于初始构型的坐标 信息确定当前构型中新的基以及基于当前构型中的坐标信息确定初始构型中的新的基➀, 以此实 现张量的同态扩张 (推前或者拉回), 如图??所示. ➀ 这种类型的基在连续介质有限变形理论中称为 “随体基”. 1
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 F业=y =的8∈=的()mam8d∈M d∈TEM LrEF*M V ∈TM 微分流形 TM 图1:流形上同态扩张示意 现研究同态扩张的各种表示.由 (F*X(9=x(go F) x()()=是4ta)Ob dxi a(s) x20 ()a(g) 04a 即有 FX= FK 05 F0()0x=0(()=0(次(B) =84O ()0=6an(sds∈7g 即有 FO=F(dx2)=bm∈TM 不失一般性,设 dB∈81lT 由 F更 F④ 会(ran,F10 /=s/o (E)ds, aED
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 微分流形 V0 ∂ ∂ξA ∈ TξM dξ A ∈ T ∗ ξ M ◦ Φ = Φ A · B ∂ ∂ξA ⊗ dξ B ∈ ⊗1,1TξM F∗Ψ = Ψ i · j ∂ξA ∂xi (x) ∂xj ∂ξB (ξ) ∂ ∂ξA ⊗ dξ B ∈ ⊗1,1TξM Vt ∂ ∂xj ∈ TxM dx j ∈ T ∗ xM F∗ ◦ Φ = Φ A · B ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x) ∂ ∂xi ⊗ dx j ∈ ⊗1,1TxM Ψ = Ψ i · j ∂ ∂xi ⊗ dx j ∈ ⊗1,1TxM O ξ 1 ξm ξ O x 1 xm x 图 1: 流形上同态扩张示意 现研究同态扩张的各种表示. 由 (F∗ ◦ X)(g) , ◦ X(g ◦ F) = ◦ XA ∂ ∂ξA (g ◦ F)(ξ) = ◦ XA ∂g ∂xi (x) ∂xi ∂ξA (ξ) = ◦ XA ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ ∂xi (g), 即有 F∗ ◦ X = F∗ ( ◦ XA ∂ ∂ξA ) = ◦ XA ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ ∂xi ∈ TxM; 由 (F ∗θ)( ◦ X) , θ(F∗ ◦ X) = θ ( F∗ ( ◦ XA ∂ ∂ξA )) = θ ( ◦ XA ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ ∂xi ) = ◦ XA ∂xi ∂ξA (ξ)θi = θi ∂xi ∂ξA (ξ)dξ A ∈ T ∗ ξ M, 即有 F ∗θ = F ∗ (θidx i ) = θi ∂xi ∂ξA (ξ)dξ A ∈ T ∗ ξ M. 不失一般性, 设 ◦ Φ = ◦ Φ A · B ∂ ∗ ∂ξA ⊗ dξ B ∈ ⊗1,1TξM, 由 (F∗ ◦ Φ) i ·j = (F∗ ◦ Φ) ( dx i , ∂ ∂xj ) , ◦ Φ ( F ∗dx i , F −1 ∗ ∂ ∂xj ) = ◦ Φ ( ∂xi ∂ξC (ξ)dξ C, ∂ξD ∂xj (x) ∂ ∂ξD ) = ∂xi ∂ξC (ξ) ∂ξD ∂xj (x) ◦ Φ C · D, 2
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 即有 a2、O5 F de (￡) 类似地,考虑 A (F更)B=(F"更)(d (a)d B(S). 即有 8dy)= 性质1.1(同态扩张的基本性质).同态扩张具有如下基本性质 对更,∈⑧°(TEM),Va,B∈R,有 F(a+)=aF更+BF业; 2对V中∈8(2MO,y∈P(A,有 F(⑧业)=(F更⑧(F业) F(dx41∧ 1≤A1<…<Ar≤m ()(4A… 1a( a(A,…,x()d4A…∧d4 4.对重∈A(TxM),有 d更)=d(F更 亦即有Fod=doF*; 5.对重∈A(TM),业∈A°(TxM),有 证明通过直接计算,可证明相关性质 按同态扩张的表达式,线性性是显然的
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 即有 F∗ ◦ Φ = F∗ (◦ Φ A · B ∂ ∂ξA ⊗ dξ B ) = ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x) ◦ Φ A · B ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j . 类似地, 考虑 Φ = Φ i ·j ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j ∈ ⊗1,1 (TxM). 由 (F ∗Φ) A · B = (F ∗Φ) ( dξ A, ∂ ∂ξB ) , Φ ( F −∗dξ A, F∗ ∂ ∂ξB ) = Φ ( ∂ξA ∂xi (x)dx i , ∂xj ∂ξB (ξ) ∂ ∂xj ) = ∂ξA ∂xi (x) ∂xj ∂ξB (ξ)Φ i ·j , 即有 F ∗Φ = F ∗ ( Φ i ·j ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j ) = Φ i ·j ∂ξA ∂xi (x) ∂xj ∂ξB (ξ) ∂ ∂ξA . 性质 1.1 (同态扩张的基本性质). 同态扩张具有如下基本性质: 1. 对 ∀ ◦ Φ, ◦ Ψ ∈ ⊗r,s(TξM), ∀ α, β ∈ R, 有 F∗(α ◦ Φ + β ◦ Ψ) = αF∗ ◦ Φ + βF∗ ◦ Ψ; 2. 对 ∀ ◦ Φ ∈ ⊗r,s(TξM), ◦ Ψ ∈ ⊗p,q(TξM), 有 F∗( ◦ Φ ⊗ ◦ Ψ) = (F∗ ◦ Φ) ⊗ (F∗ ◦ Ψ); 3. F ∗ (dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) = ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar ; 4. 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TxM), 有 F ∗ (dΦ) = d(F ∗Φ), 亦即有 F∗ ◦ d = d ◦ F∗; 5. 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TxM), Ψ ∈ Λ s (TxM), 有 F ∗ (Φ ∧ Ψ) = (F ∗Φ) ∧ (F ∗Ψ). 证明 通过直接计算, 可证明相关性质. 1. 按同态扩张的表达式, 线性性是显然的. 3
微分流形上微分学一一流形上的微分运算一Le导数 谢锡麟 2.不失一般性,设 o deb, y 则有 F④8=F(时p,sd、80842 a(60()(60(m)D0 Dazi e dz1⑧ aEA(S)a-(2)aBa dx o acc(5)ar(az)ca dat B F(重)⑧F(业) 3.直接计算 F(dx1A…∧dr2)=F'(r!af(dr28…@d2) F(∑mar…ed (i1) =∑a()…次()dh8…8d4 (W次) 8…⑧d(4-) 1≤A1<…<Ar≤mB∈P 4(dB(A)8…8dEB(4) O(x21,…,x2r) 1≤41<-<4,m(∈4,.4()∑8gn(dB(A)…8d(4) cA2…x1(edeA…Ad 1≤A1<…<Ar≤m a( a(sa(A1) 4(<)dso(A)A…Ad(4),va∈P ( o141-<A,5m((A1,…,(4deDA…Ad(4 sg2(,x)(6) O(5 a∈Pr1≤A1<…<Ar≤m a r!a41,…,54) ()d de 计算 104;1 F(d更)=F((a)d3AdnA…Adx 1∞1-+(m)(x2,z,…,x !(r+1)!ar O(∈B,,…,∈( de a ds 1 A…∧dk
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 2. 不失一般性, 设 ◦ Φ = ◦ Φ A · B ∂ ∂ξA ⊗ dξ B, ◦ Ψ = ◦ Φ C · D ∂ ∂ξC ⊗ dξ D, 则有 F∗( ◦ Φ ⊗ ◦ Ψ) = F∗ (◦ Φ A · B ◦ Φ C · D ∂ ∂ξA ⊗ dξ B ⊗ ∂ ∂ξC ⊗ dξ D ) = ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x) ∂xs ∂ξC (ξ) ∂ξD ∂xt (x) ◦ Φ A · B ◦ Φ C · D ∂ ∂xi ⊗ dx j ⊗ ∂ ∂xs ⊗ dx t = [ ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x) ◦ Φ A · B ∂ ∂xi ⊗ dx j ] ⊗ [ ∂xs ∂ξC (ξ) ∂ξD ∂xt (x) ◦ Φ C · D ∂ ∂xs ⊗ dx t ] = F∗( ◦ Φ) ⊗ F∗( ◦ Ψ). 3. 直接计算 F ∗ (dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) = F ∗ ( r!A (dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) ) = F ∗ (∑ σ∈Pr sgnσdx σ(i1) ⊗ · · · ⊗ dx σ(ir) ) = ∑ σ∈Pr sgnσ ∂xσ(i1) ∂ξA1 (ξ)· · · ∂xσ(ir) ∂ξAr (ξ)dξ A1 ⊗ · · · ⊗ dξ Ar = ∑ 16A1<···<Ar6m ∑ β∈Pr [∑ σ∈Pr sgnσ ( ∂xσ(i1) ∂ξβ(A1) · · · ∂xσ(ir) ∂ξβ(Ar) ) (ξ) ] dξ β(A1) ⊗ · · · ⊗ dξ β(Ar) = ∑ 16A1<···<Ar6m ∑ β∈Pr sgnβ ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ β(A1) ⊗ · · · ⊗ dξ β(Ar) = ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ) ∑ β∈Pr sgnβ(dξ β(A1) ⊗ · · · ⊗ dξ β(Ar) ) = ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξ σ(A1) , · · · , ξσ(Ar)) (ξ)dξ σ(A1) ∧ · · · ∧ dξ σ(Ar) , ∀ σ ∈ Pr = 1 r! ∑ σ∈Pr ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξ σ(A1) , · · · , ξσ(Ar)) (ξ)dξ σ(A1) ∧ · · · ∧ dξ σ(Ar) = 1 r! ∑ σ∈Pr ∑ 16A1<···<Ar6m sgn2σ ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar . 4. 计算 F ∗ (dΦ) = F ∗ ( 1 r! ∂Φi1···ir ∂xs (x)dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) = 1 r!(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∂(x s , xi1 , · · · , xir ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar 4
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 r(r+Dloe. n0 Drs=(a//os art amin )(e) dEB Os(B)a(41)a(4+) de 1 ax r!(r+1)! (E) 06(41) ()d"∧ds ∧……∧ds (+1∑=((”次)uAn(a /ax 1 azir r(,B()(B)( deA IM…Ad 次()(次 (E)dB∧d11∧…∧dAr 产6()个人 Va∈P 1 airi(E) a r A-(5)ds ads 另有 d( F*更)=d ()d∈41∧…∧d ( d(a asB(S/a(cAl . cAr) ()dBAd4∧…∧d4r 综上,有F*(d)=d(F更),更∈AT(TM) 对此性质的证明,另可考虑 (1)2B)a(∈41,…,( de IA…Ad 1>-(m)cB(E) (r!)2 ars A,…,+)()d"Ad"A…Ad4 ro(in) axa(ir) )>sino 0(B)a(4 04)(()d(A) d51(4+),∈P+1
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂xs (x) ( ∂xs ∂ξσˆ(B) ∂xi1 ∂ξσˆ(A1) · · · ∂xir ∂ξσˆ(Ar) ) (ξ) dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂ξσˆ(B) (ξ) ( ∂xi1 ∂ξσˆ(A1) · · · ∂xir ∂ξσˆ(Ar) ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ σˆ−1 (B) ∧ dξ σˆ−1 (A1) ∧ · · · ∧ dξ σˆ−1 (Ar) = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξσ(A1) · · · ∂xir ∂ξσ(Ar) ) (ξ)dξ B ∧ dξ σ(A1) ∧ · · · ∧ dξ σ(Ar) , ∀ σ ∈ Pr = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) (∑ σ∈Pr sgnσ ( ∂xi1 ∂ξσ(A1) · · · ∂xir ∂ξσ(Ar) ) (ξ) ) dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar , 另有 d(F ∗Φ) = d ( 1 (r!)2 Φi1···ir ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar ) = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar . 综上, 有 F ∗ (dΦ) = d(F ∗Φ), ∀ Φ ∈ Λ r (TM). 对此性质的证明, 另可考虑 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∂xs ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) [∑ σ∈Pr sgnσ ∂xs ∂ξB (ξ) ∂xσ(i1) ∂ξA1 · · · ∂xσ(ir) ∂ξAr (ξ) ] dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ ( ∂xs ∂ξγˆ(B) ∂xσ(i1) ∂ξγˆ(A1) · · · ∂xσ(ir) ∂ξγˆ(Ar) ) (ξ)dξ γˆ(B) ∧ dξ γˆ(A1) ∧ · · · ∧ dξ γˆ(Ar) , ∀ γˆ ∈ Pr+1 5