《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第六章 线性空间

教学方法：讲授法 教学过程： 上节的例子告诉我们，对不同的基，同一向量的坐标一般是不相同的本节我们来研究随者基的改 变，向量的坐标是如何变化的 设B,.,Bn与，.，B是V中两组基，其关系是 S=a15+a252+.+an6n, 6=ap6+an++anEn 80=an5+an52+.+am5n: 设向量5在这两组基下的坐标分别为(3，x2,.,x)与(x,x,.,x) 5=x6+x,62+.+xEn=+x6++xe (2) 我们要找出(，x2,.,x)与(，x',.,x,)的关系 为了方便，我们给出(1)的另一种表示法记 5=6+6++6,=G,马，西 x」 则(1)即为 a:a2.am 6,)=6,5,5. (4) dnt da2.amJ 这种“形式的”写法按通常矩阵的定义未必有意义但在我们的讨论中并不会产生问题 (4)中的知阵 A=4az.4 am am2.am 称为由基，.，6n到.，的过渡矩阵，它是可逆的 先给出这种简便写法所具有的一些运算规则. 设a4,a,.,an和B,B,.,Bn是'中两个向量组，A=(a,B=(亿，)是两个n×n矩阵，则

教学方法: 讲授法. 教学过程: 上节的例子告诉我们,对不同的基,同一向量的坐标一般是不相同的.本节我们来研究,随着基的改 变,向量的坐标是如何变化的. 设 1 , ,  n 与 1 , ,  n   是 V 中两组基,其关系是 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n n n n nn n a a a a a a a a a               = + + +    = + + +    = + + + (1) 设向量  在这两组基下的坐标分别为 1 2 ( , , , ) n x x x 与 1 2 ( , , , ) n x x x    即 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n        = + + + = + + + x x x x x x       (2) 我们要找出 1 2 ( , , , ) n x x x 与 1 2 ( , , , ) n x x x    的关系. 为了方便,我们给出(1)的另一种表示法.记 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n n n n x x x x x x              = + + + =         (3) 则(1)即为 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a                =         (4) 这种“形式的”写法,按通常矩阵的定义未必有意义.但在我们的讨论中并不会产生问题. (4)中的知阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =         称为由基 1 , , n   到 1 , , n     的过渡矩阵,它是可逆的. 先给出这种简便写法所具有的一些运算规则. 设 1 2 , , ,   n 和 1 2 , , ,   n 是V 中两个向量组, ( ), ( ) A a B b = = ij ij 是两个n n 矩阵,则

((aa)A)B=(aaaX(AB) (a,42,.,an)A+(a,%2,.,an)B=(a,a2,.,CnA+B (a,42,.,an)A+(月，B,.,Bn)A=(@+月，a2+B2,.,an+Bn)A 事实上，将%，.，“看成”通常的矩阵的元素令A=(a,.,a,).B=(B,.,B)则由通常的矩阵运 算规则有 (AA)B=A(AB).AA+AB=A(A+B).AA+BA=(A+B)A. 现在就来讨论本节要解决的问题由(2)有 「x =(G,6.8 再将(4)代入上式得 「aa2.amx 5=(6,62,.,6n) aia2.n 2.amLx 与(3)式比较.由基向量的线性无关性得 a1a.am￥ a1a2.a2n (5) Lxn」La1a2.amJx」 或者 x「a1a.anTl aaa.a (6) x」aa2.a x (⑤)与(6就是与基变换(4)相对应的坐标变换公式 例令8=(1,0，.，0)，6n=(0,0,.,10,=(11.,1),8=(0,1.,1)8。=(0,0,.,1) 则，.，6n与，.，是p中两组基，且

1 2 1 2 (( , , , ) ) ( , , , )( );       n n A B AB = 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )( );          n n n A B A B + = + 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) .             n n n n A A A + = + + + 事实上,将 1 , ,  n “看成”通常的矩阵的元素.令 1 1 ( , , ). ( , , ) A B = =     n n 则由通常的矩阵运 算规则有 ( ) ( ), ( ), ( ) . AA B A AB AA AB A A B AA BA A B A = + = + + = + . 现在就来讨论本节要解决的问题.由(2)有 1 2 1 2 ( , , , ) n n x x x           =            再将(4)代入上式得 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x a a a x              =             与(3)式比较.由基向量的线性无关性得 1 1 11 12 1 2 21 22 2 2 1 2 n n n n n n nn x x a a a x a a a x x x a a a                     =                      (5) 或者 1 1 1 11 12 1 2 21 22 2 2 1 2 n n n n n n nn x x a a a x a a a x x x a a a −                     =                      (6) (5)与(6)就是与基变换(4)相对应的坐标变换公式 例 令 1 2 1 (1,0, ,0), , (0,0, ,1), (1,1, ,1), (0,1, ,1) (0,0, ,1) n n      = = = = =    .则 1 , , n   与 1 , , n     是 n P 中两组基,且